12.11-bo'lim: Tezlik va tezlanish
Ushbu bo'limda biz harakatlanuvchi jismning tezligi va tezlanishini ko'rib chiqishimiz kerak.
Hisoblashdan I shuni bilamizki, jismning joylashuv funksiyasi berilganda, jismning tezligi pozitsiya funktsiyasining birinchi hosilasi va ob'ektning tezlanishi pozitsiya funktsiyasining ikkinchi hosilasidir.
Demak, shuni hisobga olgan holda, agar ob'ektning pozitsiyasi funksiyasi \(\vec r\left( t \right)\) vektor funktsiyasi bilan berilgan bo'lsa, u holda ob'ektning tezligi va tezlanishi quyidagicha ifodalanishi ajablanarli emas.
\[\vec v\left( t \right) = \vec r'\left( t \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec a\left( t \right) = \vec r''\left( t \right)\]E'tibor bering, tezlik va tezlanish ham vektor bo'ladi.
Jismlarning harakatini o'rganishda tezlanish ko'pincha a ga bo'linadi tangensial komponent, \({a_T}\) va a normal komponent, \({a_N}\). Tangensial komponent tezlanishning egri chiziqqa tangensial bo'lgan qismi va normal komponent tezlanishning egri chiziqqa normal (yoki ortogonal) bo'lgan qismidir. Agar shunday qilsak, tezlanishni quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[\vec a = {a_T}\vec T + {a_N}\vec N\]bu erda \(\vec T\) va \(\vec N\) pozitsiya funksiyasi uchun tangens va normal birlikdir.
Agar \(v = \left\| {\vec v\left( t \right)} \right\|\) ni aniqlasak, tezlashuvning tangensial va normal komponentlari quyidagicha ifodalanadi:
Tezlanishning tangensial va normal komponentlari
bu erda \(\kappa \) egrilik joylashuv funktsiyasi uchun.
Bu erda tezlashtirishning har bir komponenti uchun ikkita formuladan foydalanish mumkin va ikkinchi formula juda murakkab ko'rinishi mumkin bo'lsa-da, bu ko'pincha ikkalasidan ham osonroqdir. Tangensial komponentda \(v\) tartibsiz bo'lishi mumkin va hosilani hisoblash yoqimsiz bo'lishi mumkin. Oddiy komponentda biz egrilikni olish uchun bu miqdorlarning ikkalasini ham hisoblab chiqamiz va shuning uchun bu holda ikkinchi formula, shubhasiz, ikkalasidan ham osonroqdir.
Keling, bir nechta misollarni tezda ko'rib chiqaylik.
Yechim
Biz birinchi navbatda tezlikni olamiz. Buning uchun (yaxshi deyarli hammasi) biz tezlashtirishni birlashtirishimiz kerak.
\[\begin{align*}\vec v\left( t \right) & = \int{{\vec a\left( t \right)\,dt}}\\ & = \int{{\vec i + 2\vec j + 6t\vec k\,dt}}\\ & = t\,\vec i + 2t\,\vec j + 3{t^2}\,\vec k + \vec c\end{align*}\]Tezlikni to'liq olish uchun biz integratsiyaning "doimiyligini" aniqlashimiz kerak. Buni olish uchun dastlabki tezlikdan foydalanishimiz mumkin.
\[\vec j - \vec k = \vec v\left( 0 \right) = \vec c\]U holda jismning tezligi,
\[\begin{align*}\vec v\left( t \right) & = t\,\vec i + 2t\,\vec j + 3{t^2}\,\vec k + \vec j - \vec k\\ & = t\,\vec i + \left( {2t + 1} \right)\,\vec j + \left( {3{t^2} - 1} \right)\,\vec k\end{align*}\]Tezlik funksiyasini integrallash orqali pozitsiya funksiyasini topamiz.
\[\begin{align*}\vec r\left( t \right) & = \int{{\vec v\left( t \right)\,dt}}\\ & = \int{{t\,\vec i + \left( {2t + 1} \right)\,\vec j + \left( {3{t^2} - 1} \right)\,\vec k\,dt}}\\ & = \frac{1}{2}{t^2}\,\vec i + \left( {{t^2} + t} \right)\vec j + \left( {{t^3} - t} \right)\vec k + \vec c\end{align*}\]Dastlabki pozitsiyadan foydalanish bizga beradi,
\[\vec i - 2\vec j + 3\vec k = \vec r\left( 0 \right) = \vec c\]Demak, pozitsiya funksiyasi,
\[\vec r\left( t \right) = \left( {\frac{1}{2}{t^2} + 1} \right)\,\vec i + \left( {{t^2} + t - 2} \right)\vec j + \left( {{t^3} - t + 3} \right)\vec k\]Yechim
Bu erda, albatta, formulalarga ulanishdan boshqa qiladigan ko'p narsa yo'q. Buning uchun biz shuni ta'kidlashimiz kerak,
\[\begin{align*}\vec r'\left( t \right) & = t\,\vec i + \left( {2t + 1} \right)\,\vec j + \left( {3{t^2} - 1} \right)\,\vec k\\ \vec r''\left( t \right) & = \vec i + 2\vec j + 6t\vec k\end{align*}\]Keling, birinchi navbatda formulalar uchun kerak bo'ladigan nuqta mahsulotini va o'zaro mahsulotni hisoblaylik.
\[\vec r'\left( t \right)\centerdot \vec r''\left( t \right) = t + 2\left( {2t + 1} \right) + 6t\left( {3{t^2} - 1} \right) = 18{t^3} - t + 2\] \[\begin{align*}\vec r'\left( t \right) \times \vec r''\left( t \right) & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\t&{2t + 1}&{3{t^2} - 1}\\1&2&{6t}\end{array}} \right|\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}\\t&{2t + 1}\\1&2\end{array}\\ & = \left( {6t} \right)\left( {2t + 1} \right)\vec i + \left( {3{t^2} - 1} \right)\vec j + 2t\vec k - 6{t^2}\vec j - 2\left( {3{t^2} - 1} \right)\vec i - \left( {2t + 1} \right)\vec k\\ & = \left( {6{t^2} + 6t + 2} \right)\vec i - \left( {3{t^2} + 1} \right)\vec j - \vec k\end{align*}\]Keyinchalik, bizga bir nechta kattalik kerak.
\[\begin{align*}\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\| & = \sqrt {{t^2} + {{\left( {2t + 1} \right)}^2} + {{\left( {3{t^2} - 1} \right)}^2}} = \sqrt {9{t^4} - {t^2} + 4t + 2} \\ \left\| {\vec r'\left( t \right) \times \vec r''\left( t \right)} \right\| & = \sqrt {{{\left( {6{t^2} + 6t + 2} \right)}^2} + {{\left( {3{t^2} + 1} \right)}^2} + 1} = \sqrt {45{t^4} + 72{t^3} + 66{t^2} + 24t + 6} \end{align*}\]Tezlanishning tangensial komponenti u holda,
\[{a_T} = \frac{{18{t^3} - t + 2}}{{\sqrt {9{t^4} - {t^2} + 4t + 2} }}\]Tezlashtirishning normal komponenti,
\[{a_N} = \frac{{\sqrt {45{t^4} + 72{t^3} + 66{t^2} + 24t + 6} }}{{\sqrt {9{t^4} - {t^2} + 4t + 2} }} = \sqrt {\frac{{45{t^4} + 72{t^3} + 66{t^2} + 24t + 6}}{{9{t^4} - {t^2} + 4t + 2}}} \]