ShapeofGraphPtII | MathModel.uz

4.6-bo'lim: Grafik shakli, II qism

Oldingida biz funktsiyaning grafigi haqida ba'zi ma'lumotlarni olish uchun funktsiyaning birinchi hosilasidan qanday foydalanishimiz mumkinligini ko'rib chiqdik. Ushbu bo'limda biz funktsiyaning ikkinchi hosilasi bizga funktsiya grafigi haqida ma'lumot berishi mumkinligi haqidagi ma'lumotlarni ko'rib chiqamiz.

Buni qilishdan oldin bizga bir nechta ta'riflar kerak bo'ladi. Ushbu bo'limda biz muhokama qiladigan asosiy tushuncha - bu konkavlik. Qatlamni grafik yordamida ko'rish eng oson (biz matematik ta'rifni birozdan keyin beramiz).

There are four graphs in this image. Starting in the upper left and moving clockwise they are. A decreasing graph that is cupped vaguely upwards labeled at “Concave up, Decreasing”. An increasing graph that is cupped vaguely upwards labeled at “Concave up, Increasing”. An increasing graph that is cupped vaguely downwards labeled at “Concave down, Increasing”. A decreasing graph that is cupped vaguely downwards labeled at “Concave down, Decreasing”.

Demak, funktsiya konkav agar u "ochilsa" va funksiya bo'lsa botiq pastga agar u "ochilsa". E'tibor bering, konkavlikning o'sishi yoki kamayishi bilan hech qanday aloqasi yo'q. Funktsiya yuqoriga konkav bo'lishi mumkin va ortib yoki kamayishi mumkin. Xuddi shunday, funktsiya pastga konkav bo'lishi va ortib borishi yoki kamayishi mumkin.

Ehtimol, bu konkavlikni qaysi yo'l bilan "ochilishini" aytish orqali aniqlashning eng yaxshi usuli emas, chunki bu biroz noaniq ta'rif. Mana botiqlikning matematik ta'rifi.

Konkavlik ta'rifi

Keyin $f\left( x \right)$ funktsiyasi berilgan

$f\left( x \right)$ is konkav $I$ oralig'ida, agar $I$ dagi egri chiziqning barcha tangenslari $f\left( x \right)$ grafigidan past bo'lsa.
$f\left( x \right)$ is botiq pastga $I$ oralig'ida, agar $I$ dagi egri chiziqning barcha tangenslari $f\left( x \right)$ grafigidan yuqori bo'lsa.

Yuqoridagi grafiklar aslida yuqorida da'vo qilingan konkavlikka ega ekanligini ko'rsatish uchun bu erda yana grafik (narsalarni aniqroq qilish uchun biroz portlatilgan).

This is the same image above except this time all the graphs that are labeled with “Concave up” have several tangent line sketched in all of them are below the graph of the function. Likewise, all graphs that are labeled with “Concave down” have several tangent line sketched in all of them are above the graph of the function.

Shunday qilib, siz ko'rib turganingizdek, ikkita yuqori grafikda chizilgan barcha tangens chiziqlar funksiya grafigidan pastda joylashgan va ular yuqoriga botiq. Pastki ikkita grafikda barcha tangens chiziqlar funksiya grafigidan yuqorida joylashgan va ular pastga botiq.

Shunga qaramay, e'tibor bering, konkavlik va funktsiyaning ortishi/kamayishi butunlay alohida va bir-biriga hech qanday aloqasi yo'q. Shuni ta'kidlash kerakki, talabalar ko'pincha bu ikkalasini aralashtiradilar va ikkinchisi haqida ma'lumot olish uchun biri haqidagi ma'lumotlardan foydalanadilar.

Biz yo'ldan chiqib ketishimiz kerak bo'lgan yana bir ta'rif bor.

Burilish nuqtasining ta'rifi

$x = c$ nuqtaga an deyiladi burilish nuqtasi agar funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa va grafikning botiqligi shu nuqtada o‘zgarsa.

Endi bizda barcha konkavlik ta'riflari mavjud bo'lib, biz ikkinchi hosilani aralashga kiritishimiz kerak. Grafik haqida ma'lumot olish uchun ikkinchi hosiladan foydalanmoqchimiz deb ushbu bo'limni boshladik. Quyidagi fakt funktsiyaning ikkinchi hosilasini uning botiqligi bilan bog'laydi. Bu haqiqatning isboti Hosila ilovalaridan dalillar Qo'shimchalar bo'limi.

Konkavlik va ikkinchi hosila

$f\left( x \right)$ funksiyasini hisobga olgan holda,

Agar $f''\left( x \right) > 0$ barcha $x$ uchun $I$ oralig'ida bo'lsa, $f\left( x \right)$ $I$ da konkav bo'ladi.
Agar $f''\left( x \right) < 0$ barcha $x$ uchun $I$ oralig'ida bo'lsa, $f\left( x \right)$ $I$ da konkav bo'ladi.

Shunday qilib, bu fakt bizga shuni aytadiki, burilish nuqtalari ikkinchi hosila o'zgarishi belgisi bo'lgan barcha nuqtalar bo'ladi. Oldingi bobda funktsiya nol bo'lsa yoki mavjud bo'lmasa, belgilarini o'zgartirishi mumkinligini ko'rdik. E'tibor bering, biz oldingi bo'limda birinchi hosila bilan ishlagan edik, lekin nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan belgilarni o'zgartirishi mumkin bo'lgan funktsiya birinchi hosila bilan hech qanday aloqasi yo'q. Bu shunchaki fakt, ular hosila bo'ladimi yoki yo'qmi, barcha funktsiyalarga tegishli.

Bu, o'z navbatida, mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxati ikkinchi hosila nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar bo'lishini aytadi, chunki bular ikkinchi hosila belgisini o'zgartirishi mumkin bo'lgan yagona nuqtalardir.

Ehtiyot bo'ling, ikkinchi hosila nolga teng bo'lsa yoki mavjud bo'lmasa, nuqta burilish nuqtasi bo'ladi, deb taxmin qilmang. Biz uning egilish nuqtasi ekanligini uning ikkala tomonidagi konkavlikni aniqlaganimizdan keyingina bilib olamiz. Agar nuqtaning har ikki tomonida konkavlik har xil bo'lsa, u faqat burilish nuqtasi bo'ladi.

Endi biz konkavlik haqida bilganimizdan so'ng, biz ushbu ma'lumotdan, shuningdek, oldingi bo'limdagi o'sish/kamayish ma'lumotlaridan grafik qanday ko'rinishi haqida juda yaxshi tasavvurga ega bo'lish uchun foydalanishimiz mumkin. Keling, bunga misolni ko'rib chiqaylik.

1-misol Quyidagi funktsiya uchun funktsiya ortib borayotgan va kamayadigan intervallarni va funktsiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni aniqlang. Grafikni chizish uchun ushbu ma'lumotlardan foydalaning. \[h\left( x \right) = 3{x^5} - 5{x^3} + 3\]

Yechim

OK, bizga birinchi ikkita hosila kerak bo'ladi, shuning uchun ularni birinchi bo'lib olamiz.

\[\begin{align*}h'\left( x \right) & = 15{x^4} - 15{x^2} = 15{x^2}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\\ h''\left( x \right) & = 60{x^3} - 30x = 30x\left( {2{x^2} - 1} \right)\end{align*}\]

Keling, ortib borayotgan/kamayayotgan ma'lumotlardan boshlaylik, chunki oxirgi bo'limdan keyin biz bunga juda qulay bo'lishimiz kerak.

Bu funksiya uchun uchta muhim nuqta mavjud: $x = - 1$, $x = 0$ va $x = 1$. Quyida o'sish/kamayish ma'lumotlari uchun raqam chizig'i mavjud.

Basic number line with scale in the range from -2 < x < 2 and divided into four ranges by vertical dashed lines at x=-1, x=0 and x=1 In the range x < -1 the 1st derivative is positive at the test point of x=-2. In the range -1 < x < 0 the 1st derivative is negative at the test point of x=-1/2. In the range 0 < x < 1 the 1st derivative is negative at the test point of x=1/2. In the range x > 1 the 1st derivative is positive at the test point of x=2.

Shunday qilib, bizda quyidagi o'sish va pasayish intervallari borga o'xshaydi.

\[\begin{align*}{\mbox{Increasing : }} & - \infty < x < - 1\text{ va }1 < x < \infty \\ {\mbox{Decreasing : }} & - 1 < x < 0,\,\,\,0 < x < 1\end{align*}\]

E'tibor bering, birinchi lotin testidan biz $x = - 1$ nisbiy maksimal va $x = 1$ nisbiy minimum deb aytishimiz mumkin. Bundan tashqari, $x = 0$ nisbiy minimal yoki maksimal emas.

Endi funksiya yuqoriga va pastga botiq bo'lgan intervallarni olamiz. Agar siz o'ylab ko'rsangiz, bu jarayon biz o'sish va pasayish oraliqlarini aniqlash uchun ishlatadigan jarayon bilan deyarli bir xil. Bu yagona farq shundaki, biz birinchi hosila o'rniga ikkinchi hosiladan foydalanamiz.

Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - bu mumkin bo'lgan burilish nuqtalarini aniqlash. Bular ikkinchi hosila nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan joyda bo'ladi. Bu holda ikkinchi hosila ko'phaddir va shuning uchun hamma joyda mavjud bo'ladi. Quyidagi nuqtalarda u nolga teng bo'ladi.

\[x = 0,\,\,x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \pm \,0.7071\]

O'sish va kamayish qismida bo'lgani kabi, biz raqamlar chizig'ini chizishimiz va son chizig'ini hududlarga bo'lish uchun bu nuqtalardan foydalanishimiz mumkin. Bu hududlarda biz bilamizki, ikkinchi hosila har doim bir xil belgiga ega bo'ladi, chunki bu uchta nuqta funktsiyaning yagona joyidir. mumkin belgisini o'zgartirish. Shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - har bir mintaqadan nuqta tanlash va uni ikkinchi hosilaga ulash. Keyin ikkinchi hosila nuqta kelgan butun mintaqada o'sha belgiga ega bo'ladi

Mana bu ikkinchi hosila uchun raqam chizig'i.

Basic number line with scale in the range from -1.5 < x < 1.5 and divided into four ranges by vertical dashed lines at x=-0.7, x=0 and x=0.7 In the range x < -0.7 the 2nd derivative is negative at the test point of x=-1. In the range -0.7 < x < 0 the 2nd derivative is positive at the test point of x=-1/2. In the range 0 < x < 0.7 the 2nd derivative is negative at the test point of x=1/2. In the range x > 0.7 the 2nd derivative is positive at the test point of x=1.

Shunday qilib, bizda quyidagi konkavlik intervallari borga o'xshaydi.

\[\begin{align*}{\mbox{Concave Up : }} & - \frac{1}{{\sqrt 2 }} < x < 0\text{ va }\frac{1}{{\sqrt 2 }} < x < \infty \\ {\mbox{Concave Down : }} & - \infty < x < - \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\mbox{ and }}0 < x < \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{align*}\]

Bu ham shuni anglatadi

\[x = 0,\,\,x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \pm 0.7071\]

barcha burilish nuqtalari.

Grafikni chizishda bu ma'lumotlarning barchasi biroz og'ir bo'lishi mumkin. Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - bu boshlang'ich nuqtalarni olishdir. Kritik nuqtalar va burilish nuqtalari yaxshi boshlang'ich nuqtadir. Shunday qilib, birinchi navbatda ushbu nuqtalarning grafigini tuzing.

Shu nuqtadan boshlab, grafikni chizishni davom ettirishning bir necha usullari mavjud. Biz eng oson deb topadigan usul (garchi siz buni qilmasligingiz mumkin va bu juda yaxshi bo'lsa ham….) bu ma'lumotni oshirish/kamaytirishdan boshlash va oldingi bo'limda qilganimizdek, xuddi shu ma'lumotlardan grafikni chizishni boshlashdir. Biroq, oldingi bo'limdan farqli o'laroq, bu safar egri chiziqning ortib borayotgan yoki kamayib borayotgan qismini chizishda biz egri chiziqning konkavligiga ham e'tibor beramiz.

Shunday qilib, agar biz $x < - 1$ bilan boshlasak, bizda ortib borayotgan funktsiya borligini bilamiz. Shu bilan birga, biz ham bu diapazonda konkav bo'lishimiz kerakligini bilamiz. Shunday qilib, biz $x = - 1$ ga etgunimizcha, o'sib borayotgan egri chiziqni chizishdan boshlashimiz mumkin.

Bu vaqtda grafik pasayishni boshlaydi va biz $x = 1$ ga tegmagunimizcha pasayishni davom ettiradi. Biroq, biz kamayganimizdan so'ng, konkavlik $x \approx - 0.707$ da konkavga o'tishi kerak va keyin $x \approx 0.707$ da konkavga o'tish uchun so'nggi kalit bilan $x = 0$ da pastga o'tish kerak.

Biz $x = 1$ ni bosganimizdan so'ng, grafik o'sishni boshlaydi va hali ham konkav bo'lib qoladi va bu ikkala xatti-harakatlar grafikning qolgan qismida davom etadi.

Ushbu ma'lumotlarni bir joyga qo'yish bizga funktsiyaning quyidagi grafigini beradi.

This is a sketch of the function from the problem statement. It starts at approximately (-1.5, -3). The graph starts off increasing and concave down until reaching (-1,5) and then starts to decrease, staying concave down, until it reaches (-0.707, 4.237) and which point it now becomes concave up. The graph continues to decrease until it reaches (0,3) and becomes concave down and decreases further until it reaches (0.707, 1.762) and now becomes concave up. From this point the graph continues to decrease until it reaches (1,1) and then increases, staying concave up, until it stops at approximately (1.5, 9).

Funksiyaning ayrim kritik nuqtalarini nisbiy maksimal yoki nisbiy minimumlar sifatida tasniflashning boshqa usulini tasvirlash uchun oldingi misoldan foydalanishimiz mumkin.

E'tibor bering, $x = - 1$ nisbiy maksimal va funktsiya bu nuqtada pastga bo'g'iq. Bu $f''\left( { - 1} \right)$ salbiy bo'lishi kerakligini anglatadi. Xuddi shunday, $x = 1$ nisbiy minimal bo'lib, bu nuqtada funktsiya konkav bo'ladi. Bu $f''\left( 1 \right)$ ijobiy bo'lishi kerakligini anglatadi.

Birozdan keyin ko'rib chiqamiz, biz $x = 0$ bilan juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bu holda ikkinchi hosila nolga teng, lekin bu aslida $x = 0$ nisbiy minimal yoki maksimal emasligini anglatmaydi. Birozdan keyin buning ba'zi misollarini ko'rib chiqamiz, lekin birinchi navbatda boshqa ma'lumotlarni olishimiz kerak.

Shuni ham ta'kidlash kerakki, ushbu misoldagi barcha tanqidiy nuqtalar birinchi hosila nolga teng bo'lgan tanqidiy nuqtalar edi va bu ishlashi uchun bu talab qilinadi. Biz bu testdan lotin mavjud bo'lmagan muhim nuqtalarda foydalana olmaymiz.

Funktsiyaning ba'zi muhim nuqtalarini tasniflash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan test. Ushbu testning isboti hujjatda Hosil bo'lgan ilovalarning dalillari Qo'shimchalar bo'limi.

Ikkinchi hosilaviy test

Faraz qilaylik, $x = c$ $f\left( x \right)$ ning kritik nuqtasi bo'lib, $f'\left( c \right) = 0$ va $f''\left( x \right)$ $x = c$ atrofidagi mintaqada uzluksiz bo'lsin. Keyin,

Agar $f''\left( c \right) < 0$ bo'lsa, $x = c$ nisbiy maksimaldir.
Agar $f''\left( c \right) > 0$ bo'lsa, $x = c$ nisbiy minimaldir.
Agar $f''\left( c \right) = 0$ bo'lsa, $x = c$ nisbiy maksimal, nisbiy minimum yoki hech biri bo'lmasligi mumkin.

Ikkinchi lotin testining uchinchi qismiga e'tibor berish muhimdir. Agar ikkinchi hosila nolga teng bo'lsa, kritik nuqta har qanday bo'lishi mumkin. Quyida uchta funktsiyaning grafiklari keltirilgan, ularning barchasi $x = 0$ da kritik nuqtaga ega, barcha funksiyalarning ikkinchi hosilasi $x = 0$ da nolga teng va shu bilan birga har uchala imkoniyat ham namoyish etilgan.

Birinchisi $f\left( x \right) = {x^4}$ ning grafigi. Bu grafik $x = 0$ da nisbiy minimumga ega.

$The graph of $f\left( x \right)={{x}^{4}}$ (almost the same as the graph of $x^{2}$ except the vertex at the origin is a little flatter) on the domain -2<x<2.$

Keyingisi $x = 0$ da nisbiy maksimalga ega $f\left( x \right) = - {x^4}$ grafigi.

$The graph of $f\left( x \right)=-{{x}^{4}}$ (almost the same as the graph of $x^{2}$ except the vertex at the origin is a little flatter) on the domain -2<x<2.$

Va nihoyat, $f\left( x \right) = {x^3}$ grafigi mavjud va bu grafik $x = 0$ da nisbiy minimal yoki nisbiy maksimalga ega emas edi.

$The graph of $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}$ on the domain -2<x<2.$

Shunday qilib, agar biz uchinchi holatga tushib qolsak, ehtiyot bo'lishimiz kerakligini ko'rishimiz mumkin. Bunday holatda biz tanqidiy nuqtani tasniflashning boshqa usullariga murojaat qilishimiz kerak bo'ladi. Bu odatda birinchi lotin testi bilan amalga oshiriladi.

Keling, orqaga qaytaylik va birinchi misoldagi muhim fikrlarni ko'rib chiqaylik va agar iloji bo'lsa, ular uchun Ikkinchi hosilaviy testdan foydalanamiz.

2-misol Funktsiyaning kritik nuqtalarini tasniflash uchun ikkinchi hosila testidan foydalaning, \[h\left( x \right) = 3{x^5} - 5{x^3} + 3\]

Yechim

E'tibor bering, biz bu erda qilayotgan barcha narsa birinchi misoldagi natijalarni tekshirishdir. Ikkinchi hosila,

\[h''\left( x \right) = 60{x^3} - 30x\]

Ushbu funktsiyaning uchta kritik nuqtasi ($x = - 1$, $x = 0$ va $x = 1$) birinchi hosila nolga teng bo'lgan kritik nuqtalardir, shuning uchun bizda hech bo'lmaganda Ikkinchi hosilaviy testning ishlashi uchun imkoniyat borligini bilamiz. Ularning har biri uchun ikkinchi hosilaning qiymati,

\[h''\left( { - 1} \right) = - 30\hspace{0.5in}h''\left( 0 \right) = 0\hspace{0.5in}h''\left( 1 \right) = 30\]

$x = - 1$ da ikkinchi hosila manfiy, shuning uchun Ikkinchi hosilaviy testda bu kritik nuqta biz birinchi misolda ko'rganimizdek nisbiy maksimaldir. $x = 1$-dagi ikkinchi hosila ijobiy va shuning uchun biz birinchi misolda ko'rganimizdek, Ikkinchi hosilaviy testda bu erda nisbiy minimumga egamiz.

$x = 0$ holatida ikkinchi hosila nolga teng va shuning uchun biz ushbu muhim nuqtani tasniflash uchun Ikkinchi hosilaviy testdan foydalana olmaymiz. Shuni yodda tutingki, biz birinchi misolda ishlatgan Birinchi hosilaviy testdan bilamiz bu holda tanqidiy nuqta nisbiy ekstremal emas.

Keling, yana bir misol bilan ishlaylik.

3-misol Quyidagi funktsiya uchun burilish nuqtalarini toping va agar iloji bo'lsa, kritik nuqtalarni tasniflash uchun ikkinchi hosilaviy testdan foydalaning. Shuningdek, o'sish/kamayish oraliqlarini va botiq yuqoriga/pastga bo'lgan intervallarni aniqlang va funksiya grafigini chizing. \[f\left( t \right) = t{\left( {6 - t} \right)^{\frac{2}{3}}}\]

Yechim

Bizni boshlash uchun birinchi va ikkinchi hosilalar kerak bo'ladi. Ushbu lotinlarni tekshirishni sizga qoldiramiz, lekin shuni yodda tutingki, biz har bir hosilani olganimizdan keyin biroz soddalashtirdik.

\[f'\left( t \right) = \frac{{18 - 5t}}{{3{{\left( {6 - t} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\hspace{0.5in}f''\left( t \right) = \frac{{10t - 72}}{{9{{\left( {6 - t} \right)}^{\frac{4}{3}}}}}\]

Kritik nuqtalar,

\[t = \frac{{18}}{5} = 3.6\hspace{0.5in}t = 6\]

Shuni ham yodda tutingki, biz ushbu muhim nuqtani tasniflash uchun $t = 6$ da ikkinchi hosilaviy testdan foydalana olmaymiz, chunki bu nuqtada hosila mavjud emas. Buni tasniflash uchun bizga grafikni chizish uchun ko'paytiruvchi/kamayuvchi ma'lumotlar kerak bo'ladi.

Biroq, biz ikkinchi hosilaviy testdan boshqa muhim nuqtani tasniflash uchun foydalanishimiz mumkin, shuning uchun eskizni boshlashdan oldin buni qilaylik. Mana $t = 3.6$ da ikkinchi hosilaning qiymati.

\[f''\left( {3.6} \right) = - 1.245 < 0\]

Shunday qilib, ikkinchi hosilaviy testga ko'ra, $t = 3.6$ nisbiy maksimaldir.

Keling, grafikning eskizini olish bo'yicha ishni davom ettiramiz va bizda ortib borayotgan/kamayuvchi ma'lumotlarga ega bo'lgach, $t = 6$ ni tasniflashimiz mumkinligiga e'tibor qaratamiz.

Bu erda birinchi hosila uchun raqam chizig'i.

Basic number line with scale in the range from 2 < x < 8 and divided into three ranges by vertical dashed lines at x=3.6 and x=6 In the range x < 3.6 the 1st derivative is positive at the test point of x=2. In the range 3.6 < x < 6 the 1st derivative is negative at the test point of x=4. In the range x > 6 the 1st derivative is positive at the test point of x=7.

Shunday qilib, birinchi lotin testiga ko'ra, biz $t = 3.6$ nisbiy maksimal ekanligini tekshirishimiz mumkin. Bundan tashqari, $t = 6$ nisbiy minimal ekanligini ko'rishimiz mumkin.

Ehtiyot bo'ling, ikkinchi hosilaviy testda ishlatib bo'lmaydigan tanqidiy nuqta nisbiy ekstremal bo'lmaydi. Biz ushbu misolda ham, testdan so'ng muhokamada ham aniq ko'rdikki, biz Ikkinchi hosilaviy testdan yoki Ikkinchi hosilaviy testdan foydalana olmasligimiz bizga tanqidiy nuqta haqida hech narsa aytmasa, bu tanqidiy nuqta nisbiy ekstremal bo'lmaydi degani emas. Bu ko'pchilik o'quvchilarning keng tarqalgan xatosi bo'lib, ikkinchi hosilaviy testdan foydalanishda ehtiyot bo'ling.

Mayli, muammoni hal qilaylik. Bizga mumkin bo'lgan burilish nuqtalari ro'yxati kerak bo'ladi. Bular,

\[t = 6\hspace{0.5in}t = \frac{{72}}{{10}} = 7.2\]

Bu erda ikkinchi hosila uchun raqam chizig'i. E'tibor bering, yuqoridagi ikkita nuqta aslida burilish nuqtasi yoki yo'qligini bilish uchun bizga kerak bo'ladi.

Basic number line with scale in the range from 5 < x < 8 and divided into three ranges by vertical dashed lines at x=6 and x=7.2 In the range x < 6 the 2nd derivative is negative at the test point of x=5. In the range 6 < x < 7.2 the 2nd derivative is negative at the test point of x=7. In the range x > 7.2 the 2nd derivative is positive at the test point of x=8.

Shunday qilib, konkavlik faqat $t = 7.2$ da o'zgaradi va shuning uchun bu funktsiya uchun yagona burilish nuqtasidir.

Mana grafikning eskizi.

This is a sketch of the function from the problem statement. It starts in the lower left corner of the 3rd quadrant. The graph starts out increasing and concave down and increases through the origin until reaching a peak at (3.6, 6.453). At this point the graph starts to decrease but remains concave down until it comes into the point (6,0) vertically. The graph leaves the point (6,0) vertically increasing and remaining concave down until it reaches (7.2, 8.131) and then continues to increase but now as a concave up graph. Note that the concavity for x > 6 is very “shallow” and is hard to discern the actual concavity of the graph.

$t = 7.2$-da konkavlik o'zgarishini ko'rish qiyin, ammo bu erda u konkavlikdagi juda nozik o'zgarishdir.