7.2-bo'lim: Trig funksiyalarini o'z ichiga olgan integrallar
Ushbu bo'limda biz trig-funksiyalarni o'z ichiga olgan bir nechta integrallarni va ularni baholashda foydalanishimiz mumkin bo'lgan ba'zi usullarni ko'rib chiqamiz. Keling, allaqachon bajarishimiz kerak bo'lgan integraldan boshlaylik.
\[\begin{align*}\int{{\cos x\sin ^5 x\,dx}} & = \int{{{u^5}\,du}}\hspace{0.25in}{\mbox{using the substitution }}u = \sin x\\ & = \frac{1}{6}{\sin ^6}x + c\end{align*}\]Ushbu integralni almashtirish bilan bajarish oson, chunki kosinus mavjudligi, ammo keyingi integral haqida nima deyish mumkin.
Yechim
Bu integralda endi yuqorida ishlatgan almashtirishdan foydalanishga imkon beradigan kosinus mavjud emas. Shuning uchun, bu almashtirish ishlamaydi va biz bu integralni bajarishning boshqa usulini izlashimiz kerak.
Keling, birinchi navbatda integralni quyidagicha yozishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik,
\[\int{{{{\sin }^5}x\,dx}} = \int{{{{\sin }^4}x\,\sin x\,dx}} = \int{{{{\left( {{{\sin }^2}x} \right)}^2}\,\sin x\,dx}}\]Endi trig identifikatorini eslang,
\[{\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\hspace{0.25in}\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\]Bu identifikatsiya bilan integralni quyidagicha yozish mumkin:
\[\int{{{{\sin }^5}x\,dx}} = \int{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}^2}\,\sin x\,dx}}\]va endi biz \(u = \cos x\) almashtirishdan foydalanishimiz mumkin. Bu bizga beradi,
\[\begin{align*}\int{{{{\sin }^5}x\,dx}} & = - \int{{{{\left( {1 - {u^2}} \right)}^2}\,du}}\\ & = - \int{{1 - 2{u^2} + {u^4}\,du}}\\ & = - \left( {u - \frac{2}{3}{u^3} + \frac{1}{5}{u^5}} \right) + c\\ & = - \cos x + \frac{2}{3}{\cos ^3}x - \frac{1}{5}{\cos ^5}x + c\end{align*}\]Shunday qilib, integrandni biroz qayta yozish orqali biz buni juda oddiy almashtirishga qisqartira oldik.
E'tibor bering, biz oldingi misolda qilgan qayta yozishni amalga oshira oldik, chunki sinusdagi ko'rsatkich g'alati edi. Bunday hollarda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa sinuslardan birini olib tashlashdir. Qolgan sinuslardagi ko'rsatkich teng bo'ladi va biz identifikatsiyadan foydalanib, qolgan sinuslarni osongina kosinuslarga aylantira olamiz,
\[\begin{equation}{\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1 \label{eq:eq1} \end{equation}\]Agar sinuslardagi ko'rsatkich teng bo'lganida, buni qilish qiyin bo'lar edi. Biz sinusni ajratib olishimiz mumkin edi, ammo qolgan sinuslar g'alati ko'rsatkichga ega bo'ladi va biz ularni kosinuslarga aylantira olsak, natijada olingan integral ko'p hollarda dastlabki integraldan ham qiyinroq bo'ladi.
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Demak, bu holda bizda muammoda sinuslar ham, kosinuslar ham bor va bu holda sinusdagi ko‘rsatkich juft bo‘lsa, kosinusdagi ko‘rsatkich toq bo‘ladi. Shunday qilib, biz ushbu integralda shunga o'xshash texnikadan foydalanishimiz mumkin. Bu safar biz kosinusni ajratamiz va qolganini sinuslarga aylantiramiz.
\[\begin{align*}\int{{\sin^6 x \cos^3 x\,dx}} & = \int{{\sin^6 x \cos^2 x\,\cos x\,dx}}\\ & = \int{{{{\sin }^6}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\,\cos x\,dx}}\hspace{0.5in}u = \sin x\\ & = \int{{{u^6}\left( {1 - {u^2}} \right)\,du}}\\ & = \int{{{u^6} - {u^8}\,du}}\\ & = \frac{1}{7}{\sin ^7}x - \frac{1}{9}{\sin ^9}x + c\end{align*}\]Shu nuqtada, sinus va kosinus kuchlarini integratsiya qilish haqida shu paytgacha o'rganganlarimizni umumlashtirish uchun bir soniya to'xtalib o'tamiz.
\[\begin{equation}\int{{\sin^n x \cos^m x\,dx}} \label{eq:eq2} \end{equation}\]Ushbu integralda, agar sinuslardagi ko'rsatkich (\(n\)) g'alati bo'lsa, biz bitta sinusni ajratib olamiz, qolganini \(\eqref{eq:eq1}\) yordamida kosinuslarga aylantiramiz va keyin \(u = \cos x\) o'rnini bosamiz. Xuddi shunday, agar kosinuslardagi ko'rsatkich (\(m\)) g'alati bo'lsa, biz bitta kosinusni ajratib olamiz va qolganini sinuslarga aylantiramiz va \(u = \sin x\) almashtirishdan foydalanamiz.
Albatta, agar ikkala ko'rsatkich ham toq bo'lsa, biz ikkala usuldan ham foydalanishimiz mumkin. Biroq, bu holatlarda atamani kichikroq ko'rsatkichga aylantirish odatda osonroq bo'ladi.
Biz ko'rib chiqmagan bitta holat, agar ikkala ko'rsatkich juft bo'lsa nima bo'ladi? Bunday holda, biz birinchi ikkita misolda qo'llagan texnikamiz ishlamaydi va aslida bu integrallarni bajarish uchun hech qanday o'rnatilgan usul yo'q. Har bir integral har xil va ba'zi hollarda integralni bajarishning bir nechta usullari bo'ladi.
Shu bilan birga, ikkala ko‘rsatkichi juft bo‘lgan sinuslar va kosinuslarning ko‘paytmalarini o‘z ichiga olgan integrallarning hammasi bo‘lmasa ham, ko‘pchiligi integrandni qayta yozish uchun quyidagi formulalardan biri yoki bir nechtasi yordamida bajarilishi mumkin.
\[\begin{align*}{\cos ^2}x & = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos \left( {2x} \right)} \right)\\ {\sin ^2}x & = \frac{1}{2}\left( {1 - \cos \left( {2x} \right)} \right)\\ \sin x\cos x & = \frac{1}{2}\sin \left( {2x} \right)\end{align*}\]Birinchi ikkita formulalar trig sinfining standart yarim burchak formulasi bo'lib, ulardan foydalanish biz uchun qulayroq bo'ladi. Oxirgi sinus uchun standart ikki burchakli formula, yana kichik qayta yozish bilan.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Yuqorida ta'kidlanganidek, ko'rsatkichlarning ikkalasi ham juft bo'lgan integrallarni bajarishning bir nechta usullari mavjud. Bu integral bunga misoldir. Ushbu muammoni hal qilishning kamida ikkita usuli mavjud. Biz ikkala yechimni ham, ehtimol, ikkalasining uzunroq qismidan boshlab qilamiz, lekin bu ham ko'pchilik birinchi bo'lib ko'rgan echimdir.
Yechim 1
Ushbu yechimda biz yuqoridagi ikki yarim burchak formulasidan foydalanamiz va ularni faqat integralga almashtiramiz.
Shunday qilib, bizda hali ham to'liq bajarib bo'lmaydigan integral bor, ammo e'tibor bering, biz integralni muammoni keltirib chiqaradigan ikkita atama emas, balki muammoni keltirib chiqaradigan bitta atamaga (teng kuchga ega kosinus) kamaytirishga muvaffaq bo'ldik.
Aslida, qolgan muammo atamasini bartaraf qilish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa yuqorida keltirilgan birinchi yarim burchak formulasini qayta ishlatishdir.
\[\begin{align*}\int{{\sin ^2 x \cos ^2 x\,dx}} & = \frac{1}{4}\int{{1 - \frac{1}{2}\left( {1 + \cos \left( {4x} \right)} \right)\,dx}}\\ & = \frac{1}{4}\int{{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos \left( {4x} \right)\,dx}}\\ & = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{2}x - \frac{1}{8}\sin \left( {4x} \right)} \right) + c\\ & = \frac{1}{8}x - \frac{1}{{32}}\sin \left( {4x} \right) + c\end{align*}\]Shunday qilib, ushbu yechim to'ldirish uchun jami uchta trig identifikatorini talab qildi.
Yechim 2
Ushbu yechimda biz integralni quyidagi tarzda soddalashtirishga yordam berish uchun ikki burchakli formuladan foydalanamiz.
Endi sinus uchun yarim burchak formulasidan foydalanib, integralni kamaytiramiz.
\[\begin{align*}\int{{\sin ^2 x \cos ^2 x\,dx}} & = \frac{1}{8}\int{{1 - \cos \left( {4x} \right)\,dx}}\\ & = \frac{1}{8}x - \frac{1}{{32}}\sin \left( {4x} \right) + c\end{align*}\]Bu usul bajarish uchun faqat ikkita trig identifikatorini talab qildi.
E'tibor bering, bu ikki usul o'rtasidagi farq ko'proq "tartibsizlik" dir. Ikkinchi usul sezilarli darajada oson emas (bir kam trig identifikatorini talab qilishdan tashqari) u unchalik chalkash emas va bu ko'pincha "osonroq" jarayonga aylanadi.
Oldingi misolda biz bir xil javob beradigan ikki xil yechim usullarini ko'rdik. E'tibor bering, bu har doim ham sodir bo'lmaydi. Darhaqiqat, ko'pincha biz turli xil javoblarni olamiz. Biroq, biz maqolada muhokama qilganimizdek Qismlar bo'yicha integratsiya bo'limda ikkita javob doimiydan ko'p bo'lmagan farq qiladi.
Umuman olganda, ikkala ko'rsatkichi ham teng bo'lgan sinuslar va kosinuslar mahsulotiga ega bo'lsak, integralni biz integrallashimiz mumkin bo'lgan shaklga kamaytirish uchun bir qator yarim burchak va/yoki ikki burchakli formulalardan foydalanishimiz kerak bo'ladi. Bundan tashqari, ko'rsatkichlar qanchalik katta bo'lsa, biz ushbu formulalardan shunchalik ko'p foydalanishimiz kerak va shuning uchun muammo shunchalik chigalroq bo'ladi.
Ba'zan ikkala ko'rsatkichi teng bo'lgan integrallarni kamaytirish jarayonida biz argumentlari har xil bo'lgan sinus va kosinus hosilalari bilan duch kelamiz. Bu mahsulotlarni biz qila oladigan integrallarga kamaytirish uchun quyidagi formulalardan birini talab qiladi.
\[\begin{align*}\sin \alpha \cos \beta & = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ \sin \alpha \sin \beta & = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ \cos \alpha \cos \beta & = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\end{align*}\]Keling, bunday turdagi integrallardan biriga misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Ushbu integral yuqorida sanab o'tilgan oxirgi formulani talab qiladi.
\[\begin{align*}\int{{\cos \left( {15x} \right)\cos \left( {4x} \right)\,dx}} & = \frac{1}{2}\int{{\cos \left( {11x} \right) + \cos \left( {19x} \right)\,dx}}\\ & = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{11}}\sin \left( {11x} \right) + \frac{1}{{19}}\sin \left( {19x} \right)} \right) + c\end{align*}\]Xo'sh, bu erda biz sinuslar va kosinuslar hosilalari bilan bog'liq bo'lgan deyarli barcha holatlarni ko'rib chiqdik. Endi sekantlar va tangenslarning hosilalari ishtirok etadigan integrallarni ko'rib chiqish vaqti keldi.
Bu safar, keling, misollarga o'tishdan oldin imkoniyatlarni biroz tahlil qilaylik. Umumiy integral quyidagicha bo'ladi:
\[\begin{equation}\int{{ \sec^n x \tan^m x\,dx}} \label{eq:eq3} \end{equation}\]E'tibor berish kerak bo'lgan birinchi narsa shundaki, biz \(\eqref{eq:eq1}\) ga o'xshash formuladan foydalanib, hatto sekantlarning kuchlarini tangenslarga va hatto tangenslarning kuchlarini sekantlarga osongina aylantira olamiz. Aslida, formula \(\eqref{eq:eq1}\) dan olinishi mumkin, shuning uchun buni qilaylik.
\[\begin{align}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x & = 1 \nonumber\\ \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} & = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \nonumber \\ {\tan ^2}x + 1 & = {\sec ^2}x \label{eq:eq4} \end{align}\]Endi biz \(\eqref{eq:eq2}\) bilan qanday muomala qilganimiz kabi \(\eqref{eq:eq3}\) bilan ishlashni xohlaymiz. Biz oxir-oqibat quyidagi almashtirishlardan birini ishlatmoqchimiz.
\[\begin{align*}u & = \tan x & \hspace{0.5in}du & = {\sec ^2}x\,dx\\ u & = \sec x & \hspace{0.5in}du & = \sec x\tan x\,dx\end{align*}\]Shunday qilib, agar biz \(u = \tan x\) almashtirishdan foydalansak, almashtirish ishlashi uchun bizga ikkita sekant kerak bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, agar sekantdagi ko'rsatkich (\(n\)) teng bo'lsa, biz ikkitasini ajratib olishimiz va keyin qolgan sekantlarni \(\eqref{eq:eq4}\) yordamida tangentlarga aylantirishimiz mumkin.
Keyinchalik, agar biz \(u = \sec x\) almashtirishdan foydalanmoqchi bo'lsak, almashtirishdan foydalanish uchun bizga bitta sekant va bitta tangens kerak bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, agar tangensdagi ko'rsatkich (\(m\)) g'alati bo'lsa va bizda kamida bitta sekant bo'lsa, biz tangenslardan birini va sekantlardan birini ajratib olishimiz mumkin. Keyin tangens teng darajaga ega bo'ladi va shuning uchun biz \(\eqref{eq:eq4}\) dan qolgan tangenslarni sekantlarga aylantirishimiz mumkin. E'tibor bering, bu usul bizda integralda kamida bitta sekant bo'lishini talab qiladi. Agar sekantlar bo'lmasa, biz boshqacha qilishimiz kerak bo'ladi.
Agar sekantdagi ko'rsatkich juft va tangensdagi ko'rsatkich toq bo'lsa, biz ikkala holatdan ham foydalanishimiz mumkin. Shunga qaramay, atamani eng kichik ko'rsatkich bilan aylantirish osonroq bo'ladi.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Birinchidan, shuni yodda tutingki, sekantdagi ko'rsatkich hatto bo'lmagani uchun biz \(u = \tan x\) almashtirishdan foydalana olmaymiz. Biroq, tangensdagi ko'rsatkich g'alati va bizda integralda sekant bor va shuning uchun biz \(u = \sec x\) almashtirishdan foydalana olamiz. Bu \(\eqref{eq:eq4}\) yordamida bitta tangentni (sekant bilan birga) olib tashlash va qolgan tangenslarni sekantlarga aylantirishni anglatadi.
Mana bu integral uchun ish.
\[\begin{align*}\int{{ \sec^9 x \tan^5 x \,dx}} & = \int{{ \sec^8 x \tan^4 x\,\tan x\sec x\,dx}}\\ & = \int{{{{\sec }^8}x{{\left( {{{\sec }^2}x - 1} \right)}^2}\,\tan x\sec x\,dx}}\hspace{0.5in}u = \sec x\\ & = \int{{{u^8}{{\left( {{u^2} - 1} \right)}^2}\,du}}\\ & = \int{{{u^{12}} - 2{u^{10}} + {u^8}\,du}}\\ & = \frac{1}{{13}}{\sec ^{13}}x - \frac{2}{{11}}{\sec ^{11}}x + \frac{1}{9}{\sec ^9}x + c\end{align*}\]Yechim
Shunday qilib, bu misolda tangensdagi ko'rsatkich teng bo'lgani uchun \(u = \sec x\) almashtirish ishlamaydi. Sekantdagi ko'rsatkich juft va shuning uchun biz bu integral uchun \(u = \tan x\) almashtirishdan foydalanishimiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, biz ikkita sekantni ajratib olishimiz va qolganlarini tangensga aylantirishimiz kerak. Mana bu integral uchun ish.
\[\begin{align*}\int{{\sec^4 x \tan^6 x\,dx}} & = \int{{\sec^2 x \tan^6 x\,{{\sec }^2}x\,dx}}\\ & = \int{{\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right){{\tan }^6}x\,{{\sec }^2}x\,dx}}\hspace{0.5in}u = \tan x\\ & = \int{{\left( {{u^2} + 1} \right){u^6}\,du}}\\ & = \int{{{u^8} + {u^6}\,du}}\\ & = \frac{1}{9}{\tan ^9}x + \frac{1}{7}{\tan ^7}x + c\end{align*}\]Oldingi ikkala misol ham yuqorida muhokama qilingan naqshlarga juda mos tushadi va shuning uchun ishlash unchalik qiyin emas edi. Biroq, yuqoridagi naqshlardan bir nechta istisnolar mavjud va bu holatlarda har bir muammo uchun ishlaydigan yagona usul yo'q. Har bir integral har xil bo'ladi va integralni baholash uchun turli yechim usullarini talab qilishi mumkin.
Keling, avval tangenslarda toq ko'rsatkichlari bo'lgan, lekin sekantlari bo'lmagan bir nechta integrallarni ko'rib chiqaylik. Bunday hollarda biz \(u = \sec x\) almashtirishdan foydalana olmaymiz, chunki u integralda kamida bitta sekant bo‘lishini talab qiladi.
Yechim
Ushbu integralni bajarish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa sinus va kosinus nuqtai nazaridan tangensning ta'rifini eslash va keyin bu integral Hisob I almashtirishdan boshqa narsa emas.
\[\begin{align*}\int{{\tan x\,dx}} & = \int{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\,dx}}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,u = \cos x\\ & = - \int{{\frac{1}{u}\,du}}\\ & = - \ln \left| {\cos x} \right| + c\hspace{0.5in}r\ln x = \ln {x^r}\\ & = \ln {\left| {\cos x} \right|^{ - 1}} + c\\ & = \ln \left| {\sec x} \right| + c\end{align*}\]E'tibor bering, ko'p odamlar uchun
\[\int{{\tan x\,dx}} = - \ln \left| {\cos x} \right| + c\]
Biz biroz soddalashtirilgan holda bir-ikki qadam oldinga bordik. Soddalashtirish faqat logarifm oldidagi minus belgisini yo'q qilish uchun qilingan. Buni umuman qilish shart emas, lekin har doim minus belgilarini yo'qotish oson va bu holda javobga hech qanday haqiqiy murakkablik kiritmasdan uni yo'q qilish oson edi va biz shunday qildik.
Yechim
Buning hiylasi integralning quyidagi manipulyatsiyasini bajarishdir.
\[\begin{align*}\int{{{{\tan }^3}x\,dx}} & = \int{{\tan x \tan^2 x\,dx}}\\ & = \int{{\tan x\left( {{{\sec }^2}x - 1} \right)\,dx}}\\ & = \int{{\tan x \sec^2 x\,dx}} - \int{{\tan x\,dx}}\end{align*}\]Endi biz birinchi integralda \(u = \tan x\) almashtirishni va ikkinchi integralda oldingi misoldagi natijalardan foydalanishimiz mumkin.
U holda integral,
\[\int{{{{\tan }^3}x\,dx}} = \frac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\sec x} \right| + c\]E'tibor bering, tangensning barcha g'alati kuchlari (birinchi kuchdan tashqari) biz oldingi misolda qo'llagan usul yordamida birlashtirilishi mumkin. Masalan,
\[\int{{{{\tan }^5}x\,dx}} = \int{{{{\tan }^3}x\left( {{{\sec }^2}x - 1} \right)\,dx}} = \int{{\tan^3 x \sec^2 x\,dx}} - \int{{{{\tan }^3}x\,dx}}\]Shunday qilib, tez almashtirish (\(u = \tan x\)) bizga birinchi integralni beradi va ikkinchi integral har doim oldingi toq kuch bo'ladi.
Keling, sekantdagi ko'rsatkich toq va tangensdagi ko'rsatkich juft bo'lgan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. Bunday hollarda yuqoridagi almashtirishlar ishlamaydi.
Shuni ham ta'kidlash kerakki, quyidagi ikkita integralning ikkalasi ham biz ushbu bobning keyingi bo'limlarida va keyingi boblarda ko'rib chiqamiz. Shu sababli, bu natijalarni yozib qo'yish yomon fikr bo'lmaydi, shunda ularni keyinroq kerak bo'lganda tayyorlab qo'yasiz.
Yechim
Nima qilishingiz kerakligini ko'rganingizdan so'ng, bu juda yomon emas. O'z-o'zidan integral bajarilmaydi. Ammo, agar biz integralni quyidagi tarzda manipulyatsiya qilsak, buni qila olamiz.
\[\begin{align*}\int{{\sec x\,dx}} & = \int{{\frac{{\sec x\left( {\sec x + \tan x} \right)}}{{\sec x + \tan x}}\,dx}}\\ & = \int{{\frac{{{{\sec }^2}x + \tan x\sec x}}{{\sec x + \tan x}}\,dx}}\end{align*}\]Bu shaklda biz \(u = \sec x + \tan x\) almashtirish yordamida integralni bajarishimiz mumkin. Buni qilish,
\[\int{{\sec x\,dx}} = \ln \left| {\sec x + \tan x} \right| + c\]Yuqoridagi misolda qo'llangan g'oya yodda tutish kerak bo'lgan yaxshi fikrdir. Hududning pay va maxrajini yuqoridagi bir xil hadga ko'paytirish, ba'zida integralni integrallash mumkin bo'lgan shaklga keltirishi mumkin. E'tibor bering, bu usul har doim ham ishlamaydi va hatto u bajarilganda ham hisob va maxrajni nimaga ko'paytirish kerakligi har doim ham aniq bo'lmaydi. Biroq, u ishlaganda va siz qaysi atama kerakligini aniqlay olasiz, bu integralni sezilarli darajada soddalashtirishi mumkin.
Mana keyingi misol.
Yechim
Bu biz ushbu bo'limda qilgan boshqa integrallardan farq qiladi. Ushbu integralni bajarish uchun birinchi qadam \(u\) va \(dv\) uchun quyidagi tanlovlardan foydalangan holda qismlar bo'yicha integratsiyani amalga oshirishdir.
\[\begin{align*}u & = \sec x &\hspace{0.5in}dv & = {\sec ^2}x\,dx\\ du & = \sec x\tan x\,dx & \hspace{0.5in}v & = \tan x\end{align*}\]E'tibor bering, ushbu muammo bo'yicha qismlar bo'yicha integratsiyadan foydalanish aniq tanlov emas, lekin bu erda juda yaxshi ishlaydi. Bizda mavjud qismlar bo'yicha integratsiyani amalga oshirgandan so'ng,
\[\int{{{{\sec }^3}x\,dx}} = \sec x\tan x - \int{{\sec x \tan^2 x\,dx}}\]Endi yangi integral ham sekantda toq ko'rsatkichga va tangensda juft ko'rsatkichga ega va shuning uchun sekant va tangenslar mahsulotining oldingi misollari bizga hech qanday foyda keltirmaydi.
Bu integralni bajarish uchun avvalo integraldagi tangenslarni sekantlarda yozamiz. Shunga qaramay, bu aniq tanlov emas, lekin bu holatda nima qilishimiz kerak.
\[\begin{align*}\int{{{{\sec }^3}x\,dx}} & = \sec x\tan x - \int{{\sec x\left( {{{\sec }^2}x - 1} \right)\,dx}}\\ & = \sec x\tan x - \int{{{{\sec }^3}x\,dx}} + \int{{\sec x\,dx}}\end{align*}\]Endi biz oldingi misoldagi natijalardan ikkinchi integralni bajarish uchun foydalanishimiz mumkin va birinchi integral aynan bizdan minus belgisi bilan baholashimiz so'ralayotgan integral ekanligini ko'ramiz. Shunday qilib, olish uchun uni ikkala tomonga qo'shing,
\[2\int{{{{\sec }^3}x\,dx}} = \sec x\tan x + \ln \left| {\sec x + \tan x} \right|\]Nihoyat, ikkiga bo'ling va biz tugatdik.
\[\int{{{{\sec }^3}x\,dx}} = \frac{1}{2}\left( {\sec x\tan x + \ln \left| {\sec x + \tan x} \right|} \right) + c\]Yana shuni yodda tutingki, biz o'ng tomonni asl integral paydo bo'lguncha integrallash va keyin uni chap tomonga o'tkazish va baholashni yakunlash uchun uning koeffitsientiga bo'lish g'oyasidan yana foydalandik. Biz buni birinchi bo'limda ko'rdik Qismlar bo'yicha integratsiya bo'limda va o'sha paytda bu eslash uchun yaxshi texnika ekanligini ta'kidladi. Mana bu texnikaning yana bir misoli.
Endi biz sekantlar va tangenslarning hosilalarini ko'rib chiqqanimizdan so'ng, keling, buni ham tan olaylik, chunki biz kosekantlar va kotangentlarni quyidagicha bog'lashimiz mumkin.
\[1 + {\cot ^2}x = {\csc ^2}x\]Sekantlar va tangenslar hosilalari uchun qilgan barcha ishlarimiz kosekantlar va kotangentlar hosilalari uchun ham ishlaydi. Buni tekshirishni sizga qoldiramiz.
Davom etishdan oldin ushbu bo'limda muhokama qilinadigan bitta yakuniy mavzu mavjud.
Shu paytgacha biz faqat sinuslar va kosinuslar hosilalari hamda sekant va tangenslar hosilalarini ko‘rib chiqdik. Biroq, bu integrallarni bajarish uchun ishlatiladigan usullar sinuslar va kosinuslar va sekantlar va tangenslar (demak, kosekantlar va kotangentlar ishtirok etgan bo'limlar) ishtirokidagi ba'zi bo'laklarda ham qo'llanilishi mumkin.
Keling, buning misolini tezda ko'rib chiqaylik.
Yechim
Agar bu sinuslar va kosinuslarning hosilasi bo'lsa, nima qilish kerakligini bilib olardik. Biz sinusni ajratamiz (chunki sinusdagi ko'rsatkich toq) va qolgan sinuslarni kosinuslarga aylantiramiz. Xuddi shu fikr bu holatda ishlaydi. Numeratordan sinusni ajratib olamiz va qolganini kosinuslarga quyidagicha aylantiramiz:
\[\begin{align*}\int{{\frac{{{{\sin }^7}x}}{{{{\cos }^4}x}}\,dx}} & = \int{{\frac{{{{\sin }^6}x}}{{{{\cos }^4}x}}\,\sin x\,dx}}\\ & = \int{{\frac{{{{\left( {{{\sin }^2}x} \right)}^3}}}{{{{\cos }^4}x}}\,\sin x\,dx}}\\ & = \int{{\frac{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}^3}}}{{{{\cos }^4}x}}\,\sin x\,dx}}\end{align*}\]Bu vaqtda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(u = \cos x\) o'rnini ishlatishdir va biz tugatdik.
\[\begin{align*}\int{{\frac{{{{\sin }^7}x}}{{{{\cos }^4}x}}\,dx}} & = - \int{{\frac{{{{\left( {1 - {u^2}} \right)}^3}}}{{{u^4}}}\,du}}\\ & = - \int{{{u^{ - 4}} - 3{u^{ - 2}} + 3 - {u^2}\,du}}\\ & = - \left( { - \frac{1}{3}\frac{1}{{{u^3}}} + 3\frac{1}{u} + 3u - \frac{1}{3}{u^3}} \right) + c\\ & = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{3}{{\cos x}} - 3\cos x + \frac{1}{3}{\cos ^3}x + c\end{align*}\]Shunday qilib, to'g'ri sharoitda biz trig funktsiyalarining ko'rsatkichlari bilan shug'ullanish uchun trig funktsiyalari mahsulotlari bilan ishlashga yordam berish uchun ishlab chiqilgan g'oyalardan foydalanishimiz mumkin. Shunda tabiiy savol tug'iladi: to'g'ri sharoitlar qanday?
Avval e'tibor bering, agar qism bu integraldagi kabi teskari bo'lsa,
\[\int{{\frac{{{{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^7}x}}\,dx}}\]biz sinusni yo'q qila olmagan bo'lardik.
\[\int{{\frac{{{{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^7}x}}\,dx}} = \int{{\frac{{{{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^6}x}}\,\,\frac{1}{{\sin x}}\,\,dx}}\]Bu holda “chiqib chiqarilgan” sinus maxrajda qoladi va bu bizga \(u = \cos x\) almashtirish uchun hech qanday foyda keltirmaydi, chunki bu almashtirish qismning hisoblagichida sinusni talab qiladi. Shuni ham yodda tutingki, biz sinuslarni kosinuslarga aylantira olsak-da, natijada olingan integral hali ham juda qiyin integral bo'ladi.
Shunday qilib, biz trig funksiyalarning ko'rsatkichlariga qo'llagan usullardan, agar qismlarni ajratib olish kerak bo'lgan atama bo'linmaning surati bo'lsa, trig funktsiyalarining ko'rsatkichlariga nisbatan qo'llashimiz mumkin.