5.1-bo'lim: Noaniq integrallar
O'tgan ikki bobda bizga \(f\left( x \right)\) funksiyasi berildi va bu funktsiyaning hosilasi nima ekanligini so'radi. Ushbu bo'limdan boshlab biz endi narsalarni o'zgartiramiz. Endi biz \(f\left( x \right)\) funksiyasini olish uchun qanday funktsiyani ajratganimizni so'ramoqchimiz.
Keling, boshlash uchun bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Keling, ushbu muammoga qanday yondashishimiz kerakligini tushunishga yordam berish uchun ushbu funktsiyaning hosilasini olishdan boshlaylik. Bu funktsiyaning hosilasi,
\[f'\left( x \right) = 4{x^3} + 3\]Buning maqsadi bizga differentsiatsiya qanday ishlashini eslatish edi. \(x\) quvvatlarini farqlashda biz atamani asl ko'rsatkichga ko'paytiramiz va keyin ko'rsatkichni bittaga tushiramiz.
Keling, orqaga qaytib, muammoni hal qilaylik. Aslida, keling, birinchi muddatdan boshlaylik. Funktsiyani farqlash orqali biz \({x^4}\) ga ega bo'ldik va ko'rsatkichni bittaga tushirganimiz uchun biz \({x^5}\) ni farqlagan bo'lishimiz kerak. Ammo, agar biz \({x^5}\) ni farqlaganimizda, bizda \(5{x^4}\) bo‘lar edi va bizda birinchi muddatda 5 yo‘q, shuning uchun biz farqlaganimizdan keyin 5 ni bekor qilishimiz kerak. Ko'rinishidan, \({x^4}\) ni olish uchun biz \(\frac{1}{5}{x^5}\) ni farqlashimiz kerak edi.
Xuddi shunday, ikkinchi hadga, olish uchun 3x farqlashdan keyin biz \(\frac{3}{2}{x^2}\) ni farqlashimiz kerak edi. Shunga qaramay, kasr farqlashda biz tanlagan 2 ni bekor qilish uchun mavjud.
Uchinchi had faqat konstanta va biz \(x\) ni farqlasak, 1 ni olishimizni bilamiz. Demak, oxirgi hadni olish uchun -9\(x\) ni farqlashimiz kerak edi.
Bularning barchasini jamlash quyidagi funktsiyani beradi:
\[F\left( x \right) = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{3}{2}{x^2} - 9x\]Bizning javobimiz tekshirish uchun etarlicha oson. \(F\left( x \right)\)-ni shunchaki farqlang.
\[F'\left( x \right) = {x^4} + 3x - 9 = f\left( x \right)\]Shunday qilib, biz to'g'ri funktsiyani oldik. Yoki biz qildikmi? Biz bilamizki, doimiyning hosilasi nolga teng va shuning uchun quyidagilardan har biri farqlashda \(f\left( x \right)\) ni ham beradi.
\[\begin{align*}F\left( x \right) & = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{3}{2}{x^2} - 9x + 10\\ F\left( x \right) & = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{3}{2}{x^2} - 9x - 1954\\ F\left( x \right) & = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{3}{2}{x^2} - 9x + \frac{{3469}}{{123}}\\ & etc.\end{align*}\]Aslida, shaklning har qanday funktsiyasi,
\[F\left( x \right) = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{3}{2}{x^2} - 9x + c,\,\,\hspace{0.25in}c{\mbox{ is a constant}}\]farqlashda \(f\left( x \right)\) beradi.
Bu oxirgi misolda ikkita nuqta bor edi. Birinchi nuqta sizni ushbu muammolarni qanday hal qilish haqida o'ylash edi. Dastlab shuni yodda tutish kerakki, biz berilgan funktsiyani olish uchun biz nimani farqlaganimizni so'rayapmiz.
Yana bir nuqta shundaki, biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan cheksiz sonli funktsiyalar mavjudligini tan olish va ularning barchasi doimiy bilan farq qiladi.
Endi biz misol bilan ishlaganimizdan so'ng, keling, ba'zi ta'riflar va atamalarni yo'lga qo'yamiz.
Noaniq integral ta'riflari
Funktsiya berilgan, \(f\left( x \right)\), an anti-derivativ \(f\left( x \right)\) har qanday \(F\left( x \right)\) funktsiyasidir, shunday qilib
\[F'\left( x \right) = f\left( x \right)\]Agar \(F\left( x \right)\) \(f\left( x \right)\) ning har qanday anti-hosilasi bo'lsa, \(f\left( x \right)\) ning eng umumiy anti-hosilasi deyiladi. noaniq integral va belgilangan,
\[\int{{f\left( x \right)\,dx}} = F\left( x \right) + c,\hspace{0.25in}\,\,\,\,c{\mbox{ is an arbitrary constant}}\]Ushbu ta'rifda \(\int{{}}\) is deb ataladi integral belgisi, \(f\left( x \right)\) deb ataladi integral, \(x\) deb ataladi integratsiya o'zgaruvchisi va "\(c\)" deyiladi integratsiya doimiysi.
E'tibor bering, biz ko'pincha noaniq integral o'rniga integralni aytamiz (yoki ularga kelganimizda aniq integral). Muammoning mazmunidan ma'lum bo'ladiki, biz noaniq integral (yoki aniq integral) haqida gapiramiz.
Noaniq integralni topish jarayoni deyiladi integratsiya or integratsiyalash \(f\left( x \right)\) . Agar biz integratsiya o'zgaruvchisi haqida aniq bo'lishimiz kerak bo'lsa, biz shunday deb aytamiz integratsiyalash \(f\left( x \right)\) \(x\) ga nisbatan.
Keling, yangi terminologiya nuqtai nazaridan birinchi muammoni qayta ishlaymiz.
Yechim
Bu haqiqatan ham eng umumiy antiderivativni so'raganligi sababli, biz birinchi misoldagi yakuniy javobni qayta ishlatishimiz kerak.
Noaniq integral bu,
\[\int{{{x^4} + 3x - 9\,dx}} = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{3}{2}{x^2} - 9x + c\]Endi bir nechta ogohlantirishlar kerak. Talabalar integrallar bilan (ham noaniq, ham aniq) yo'l qo'yadigan eng keng tarqalgan xatolardan biri bu dx integral oxirida. Bu talab qilinadi! Integral belgisi va ni o'ylab ko'ring dx qavslar to'plami sifatida. Qavsni har safar ochganingizda uni yopishingiz kerak degan fikrni allaqachon bilgansiz va bu fikrdan juda qulaydirsiz. Integrallar bilan, integral belgisini "ochiq qavs" deb tasavvur qiling va dx "yaqin qavs" sifatida.
Agar siz tashlasangiz dx integrand qayerda tugashi aniq bo'lmaydi. Yuqoridagi misolning quyidagi o'zgarishlarini ko'rib chiqing.
\[\begin{align*}\int{{{x^4} + 3x - 9\,dx}} & = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{3}{2}{x^2} - 9x + c\\ \int{{{x^4} + 3x\,dx}} - 9 & = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{3}{2}{x^2} + c - 9\\ \int{{{x^4}\,dx}} + 3x - 9 & = \frac{1}{5}{x^5} + c + 3x - 9\end{align*}\]Siz faqat integral belgisi va o'rtasidagi narsani birlashtirasiz dx. Yuqoridagi integrallarning har biri boshqa joyda tugaydi va shuning uchun biz har xil javoblarni olamiz, chunki biz har safar har xil miqdordagi atamalarni integrallaymiz. Ikkinchi integralda "-9" integraldan tashqarida, shuning uchun yolg'iz qoladi va integrallanmagan. Xuddi shunday, uchinchi integralda "\(3x - 9\)" integraldan tashqarida va shuning uchun yolg'iz qoladi.
Qaysi atamalarni birlashtirish kerakligini bilish \(dx\) ni yozishning yagona sababi emas. In O'zgartirish qoidasi bo'limda biz aslida muammoda \(dx\) bilan ishlaymiz va agar biz uni yozish odatiga ega bo'lmasak, bu haqda unutish oson bo'ladi va keyin biz o'sha bosqichda noto'g'ri javob olamiz.
Buning axloqi ishonch hosil qilish va \(dx\) ni qo'yishdir! Ushbu bosqichda buni qilish ahmoqona tuyulishi mumkin, lekin u erda bo'lishi kerak, agar integral qaerda to'xtashini bilishdan boshqa hech qanday sabab bo'lmasa.
Yana bir eslatma, \(dx\) yozuvi sizga biroz tanish bo'lib tuyulishi kerak. Biz shunga o'xshash narsalarni bir necha bo'lim oldin ko'rganmiz. Biz \(dx\) a deb nom oldik differensial bu bo'limda va ha, aynan shunday. Integralni tugatuvchi \(dx\) differensialdan boshqa narsa emas.
Bu erda muhokama qilishimiz kerak bo'lgan keyingi mavzu - bu integralda ishlatiladigan integratsiya o'zgaruvchisi. Aslida, integratsiya o'zgaruvchisi muhim emasligini ta'kidlashdan tashqari, bu erda muhokama qilinadigan ko'p narsa yo'q. Masalan,
\[\begin{align*}\int{{{x^4} + 3x - 9\,dx}} & = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{3}{2}{x^2} - 9x + c\\ \int{{{t^4} + 3t - 9\,dt}} & = \frac{1}{5}{t^5} + \frac{3}{2}{t^2} - 9t + c\\ \int{{{w^4} + 3w - 9\,dw}} & = \frac{1}{5}{w^5} + \frac{3}{2}{w^2} - 9w + c\end{align*}\]Integraldagi integratsiya o'zgaruvchisini o'zgartirish javobdagi o'zgaruvchini o'zgartiradi. Shuni ta'kidlash kerakki, biz integraldagi integratsiya o'zgaruvchisini o'zgartirganimizda, biz yangi o'zgaruvchiga mos keladigan differensialni (\(dx\), \(dt\) yoki \(dw\)) o'zgartirdik. Bu biz hozir tushunganimizdan ham muhimroqdir.
Integral oxiridagi differentsialning yana bir qo'llanilishi bizga qaysi o'zgaruvchiga nisbatan integrallashayotganimizni aytishdir. Ushbu bosqichda bu ahamiyatsiz bo'lib tuyulishi mumkin, chunki biz bu erda ishlamoqchi bo'lgan integrallarning aksariyati faqat bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi. Ammo, agar siz sizni ko'p o'zgaruvchili hisob-kitoblarga olib boradigan daraja yo'lida bo'lsangiz, bu o'sha bosqichda juda muhim bo'ladi, chunki muammoda bir nechta o'zgaruvchi bo'ladi. Siz integral oxirida to'g'ri differentsial yozishni odat qilishingiz kerak, shuning uchun u sinflarda muhim bo'lganda, siz uni yozish odatiga ega bo'lasiz.
Bu nima uchun muhimligini bilish uchun quyidagi ikkita integralni ko'rib chiqing.
\[\int{{2x\,dx}}\hspace{1.0in}\int{{2t\,dx}}\]Birinchi integral yetarlicha sodda.
\[\int{{2x\,dx}} = {x^2} + c\]Ikkinchi integral ham juda oddiy, lekin biz ehtiyot bo'lishimiz kerak. The dx bizga \(x\)-ni birlashtirganimizni aytadi. Bu shuni anglatadiki, biz faqat integranda bo'lgan \(x\) ni birlashtiramiz va integranddagi barcha boshqa o'zgaruvchilar doimiy hisoblanadi. Ikkinchi integral esa,
\[\int{{2t\,dx}} = 2tx + c\]Shunday qilib, har doim qo'yish ahmoqona tuyulishi mumkin dx, lekin bu juda muhim belgi bo'lib, agar biz uni qo'yishga e'tibor bermasak, noto'g'ri javob olishimizga olib kelishi mumkin.
Endi biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan integrallarning muhim xususiyatlari mavjud.
Noaniq integralning xossalari
- \(\displaystyle \int{{k\,f\left( x \right)\,dx}} = k\int{{f\left( x \right)\,dx}}\) bu yerda \(k\) istalgan raqam. Shunday qilib, biz noaniq integrallardan multiplikativ konstantalarni faktor qilishimiz mumkin.
ga qarang Har xil integral formulalarni isbotlash Ushbu mulkning isbotini ko'rish uchun Qo'shimchalar bo'limi.
- \(\displaystyle \int{{ - f\left( x \right)\,dx}} = - \int{{f\left( x \right)\,dx}}\). Bu haqiqatan ham \(k = - 1\) bilan birinchi xususiyat va shuning uchun bu xususiyatga hech qanday dalil berilmaydi.
- \(\displaystyle \int{{f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\,dx}} = \int{{f\left( x \right)\,dx}} \pm \int{{g\left( x \right)\,dx}}\). Boshqacha qilib aytganda, funksiyalar yig‘indisi yoki farqining integrali individual integrallarning yig‘indisi yoki ayirmasi hisoblanadi. Ushbu qoida biz kerak bo'lgan ko'plab funktsiyalarga kengaytirilishi mumkin.
ga qarang Har xil integral formulalarni isbotlash Ushbu mulkning isbotini ko'rish uchun Qo'shimchalar bo'limi.
E'tibor bering, biz yuqoridagi birinchi misol bilan ishlaganimizda muhokamada birinchi va uchinchi xususiyatdan foydalanganmiz. Biz har bir atamani alohida-alohida birlashtirdik, har qanday konstantalarni qayta kiritdik va keyin hamma narsani tegishli belgi bilan birlashtirdik.
Yuqoridagi xususiyatlarda ko'rsatilmagan mahsulotlar va ko'rsatkichlarning integrallari edi. Buning sababi oddiy. Xuddi lotinlarda bo'lgani kabi, quyida ko'rsatilganlarning har biri ishlamaydi.
\[\int{{f\left( x \right)g\left( x \right)\,dx}} \ne \int{{f\left( x \right)dx}}\int{{g\left( x \right)\,dx}}\hspace{0.75in}\int{{\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\,dx}} \ne \frac{{\int{{f\left( x \right)\,dx}}}}{{\int{{g\left( x \right)\,dx}}}}\]Losmalar bilan bizda mahsulot qoidasi va bu holatlar bilan shug'ullanish uchun ko'rsatkich qoidasi mavjud edi. Biroq, integrallar bilan bunday qoidalar yo'q. Integraldagi mahsulot va qismga duch kelganimizda, biz integral nima ekanligiga qarab, u bilan ishlashning turli usullariga ega bo'lamiz.
Ushbu bo'limda qisqacha muhokama qilinadigan bitta yakuniy mavzu mavjud. Ba'zida bizga \(f'\left( x \right)\) beriladi va \(f\left( x \right)\) nima ekanligini so'raymiz. Endi bu savolga noaniq integral bilan osongina javob berishimiz mumkin.
\[f\left( x \right) = \int{{f'\left( x \right)\,dx}}\]Yechim
Ushbu bo'limda bu savolga javob berish juda oddiy.
\[f\left( x \right) = \int{{f'\left( x \right)\,dx}} = \int{{{x^4} + 3x - 9\,dx}} = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{3}{2}{x^2} - 9x + c\]Ushbu bo'limda biz barcha misollarimizda bir xil noaniq integralni baholashda davom etdik. Ushbu bo'limning maqsadi noaniq integrallarni bajarish emas, balki bizni noaniq integrallarning yozuvlari va ba'zi asosiy g'oyalari va xususiyatlari bilan tanishtirish edi. Keyingi ikkita bo'lim noaniq integrallarni haqiqatda baholashga bag'ishlangan.