2.2-bo'lim: Chiziqli tenglamalar
Ushbu bobning yechish qismini chiziqli tenglamalarni yechishdan boshlaymiz. A chiziqli tenglama shaklida yozilishi mumkin bo'lgan har qanday tenglamadir
\[ax + b = 0\]bu erda \(a\) va \(b\) haqiqiy sonlar va \(x\) o'zgaruvchidir. Ushbu shakl ba'zan deyiladi standart shakl chiziqli tenglama. E'tibor bering, ko'pgina chiziqli tenglamalar ushbu shaklda boshlanmaydi. Bundan tashqari, o'zgaruvchi \(x\) bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin, shuning uchun u erda har doim \(x\) ni ko'rishga o'ta bermang.
Chiziqli tenglamalarni yechish uchun quyidagi faktlardan keng foydalanamiz.
- Agar \(a = b\) bo'lsa, har qanday \(c\) uchun \(a + c = b + c\). Bularning barchasi shuni anglatadiki, biz tenglamaning ikkala tomoniga \(c\) raqamini qo'shishimiz va tenglamani o'zgartirmasligimiz mumkin.
- Agar \(a = b\) bo'lsa, har qanday \(c\) uchun \(a - c = b - c\). Oxirgi xususiyatda bo'lgani kabi biz tenglamaning ikkala tomonidan \(c\) sonini ayirishimiz mumkin.
- Agar \(a = b\) bo'lsa, har qanday \(c\) uchun \(ac = bc\). Qo'shish va ayirish kabi, tenglamani o'zgartirmasdan, tenglamaning ikkala tomonini \(c\) raqamiga ko'paytirishimiz mumkin.
- Agar \(a = b\) bo'lsa, \(\displaystyle \frac{a}{c} = \frac{b}{c}\) har qanday nolga teng bo'lmagan \(c\) uchun. Tenglamaning ikkala tomonini tenglamani o'zgartirmasdan, nolga teng bo'lmagan \(c\) soniga bo'lishimiz mumkin.
Ushbu faktlar biz ushbu bobda ko'rib chiqiladigan deyarli barcha echish usullarining asosini tashkil qiladi, shuning uchun siz ularni bilishingiz va ular haqida unutmasligingiz juda muhimdir. Ushbu qoidalar haqida o'ylashning bir usuli quyidagilardir. Tenglamaning bir tomoniga nima qilsak, biz tenglamaning boshqa tomoniga ham shunday qilishimiz kerak. Agar buni eslasangiz, siz har doim bu faktlarni to'g'ri olasiz.
Ushbu bo'limda biz chiziqli tenglamalarni echamiz va chiziqli tenglamalarni echish uchun chiroyli oddiy jarayon mavjud. Keling, avval jarayonni umumlashtiramiz va keyin bir nechta misollar bilan ishlaymiz.
Chiziqli tenglamalarni yechish jarayoni
- Agar tenglamada kasrlar bo'lsa, kasrlarni tozalash uchun eng kichik umumiy maxrajdan foydalaning. Buni tenglamaning ikkala tomonini LCD bilan ko'paytirish orqali qilamiz.
Bundan tashqari, kasrlarning maxrajlarida o'zgaruvchilar mavjud bo'lsa, o'zgaruvchining qiymatlarini aniqlang, bu nolga bo'linishni beradi, chunki biz yechimimizda bu qiymatlardan qochishimiz kerak. - Tenglamaning ikkala tomonini soddalashtiring. Bu har qanday qavsni tozalash va o'xshash atamalarni birlashtirishni anglatadi.
- Tenglamalarning bir tomonida o'zgaruvchisi bo'lgan barcha atamalarni (albatta bitta atamaga birlashtirgan holda) va boshqa tomonidagi barcha konstantalarni olish uchun yuqoridagi dastlabki ikkita faktdan foydalaning.
- Agar o'zgaruvchining koeffitsienti bitta bo'lmasa, koeffitsientni bitta qilish uchun yuqoridagi uchinchi yoki to'rtinchi faktdan foydalaning (bu faqat raqamga bog'liq bo'ladi).
E'tibor bering, biz odatda tenglamaning ikkala tomonini koeffitsientga bo'lamiz, agar u butun son bo'lsa yoki tenglamaning ikkala tomonini, agar u kasr bo'lsa, koeffitsientning o'zaro nisbatiga ko'paytiramiz. - JAVOBINGIZNI TASHLAB OLING! Bu oxirgi bosqich va eng ko'p o'tkazib yuborilgan qadam, lekin bu jarayondagi eng muhim qadamdir. Ushbu qadam yordamida siz to'g'ri javob oldingizmi yoki yo'qmi, o'qituvchingiz unga qarashidan ancha oldin bilib olishingiz mumkin. Javobni oldingi qadamlardagi natijalarni ilovaga kiritish orqali tasdiqlaymiz original tenglama. Asl tenglamaga ulanish juda muhim, chunki siz birinchi qadamda xatoga yo'l qo'ygan bo'lishingiz mumkin, bu sizni noto'g'ri javobga olib keldi.
Bundan tashqari, agar muammoda kasrlar bo'lsa va o'zgaruvchining nolga bo'linishini ta'minlaydigan qiymatlari bo'lsa (birinchi qadamni eslang ...), bu qiymatlardan biri yechim to'plamida tugamasligiga ishonch hosil qilish kerak. Misolda ko'rib turganimizdek, bu qiymatlar yechimlar to'plamida ko'rsatilishi mumkin.
Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(3\left( {x + 5} \right) = 2\left( { - 6 - x} \right) - 2x\)
- \(\displaystyle \frac{{m - 2}}{3} + 1 = \frac{{2m}}{7}\)
- \(\displaystyle \frac{5}{{2y - 6}} = \frac{{10 - y}}{{{y^2} - 6y + 9}}\)
- \(\displaystyle \frac{{2z}}{{z + 3}} = \frac{3}{{z - 10}} + 2\)
Munozarani ko'rsatish
a \(3\left( {x + 5} \right) = 2\left( { - 6 - x} \right) - 2x\) Yechim
Ushbu muammo uchun kasrlar yo'q, shuning uchun jarayonning birinchi bosqichi haqida tashvishlanishga hojat yo'q. Keyingi qadam ikkala tomonni ham soddalashtirishni aytadi. Shunday qilib, biz raqamlarni ko'paytirish orqali har qanday qavsni tozalaymiz va keyin o'xshash shartlarni birlashtiramiz.
\[\begin{align*}3\left( {x + 5} \right) & = 2\left( { - 6 - x} \right) - 2x\\ 3x + 15 & = - 12 - 2x - 2x\\ 3x + 15 & = - 12 - 4x\end{align*}\]Keyingi qadam barcha \(x\)-larni bir tomondan va barcha raqamlarni boshqa tomondan olishdir. \(x\) qaysi tomonda ishlashi sizga bog'liq va ehtimol muammoga qarab farq qilishi mumkin. Qoida tariqasida, biz odatda ijobiy koeffitsient beradigan o'zgaruvchilarni yon tomonga qo'yamiz. Bu shunchaki koeffitsientdagi minus belgisini yo'qotish oson bo'lgani uchun amalga oshiriladi va shuning uchun uning ijobiy ekanligiga ishonch hosil qilsak, bu haqda tashvishlanishga hojat qolmaydi.
Shunday qilib, bizning holatlarimiz uchun bu ikkala tomonga 4\(x\) qo'shish va ikkala tomondan 15 ni ayirish degani bo'ladi. Shuni ham yodda tutingki, biz ushbu operatsiyalarni shu vaqt ichida amalga oshirsak ham, biz odatda bu operatsiyalarni boshimizda qilamiz.
\[\begin{align*}\require{color} 3x + 15 & = - 12 - 4x\\ 3x + 15 {\color{Red} - 15}{\color{Blue} + 4x} & = - 12 - 4x {\color{Blue} + 4x} {\color{Red} - 15}\\ 7x & = - 27\end{align*}\]Keyingi qadam \(x\) oldida 1 koeffitsientini olish kerakligini aytadi. Bunday holda, biz buni ikkala tomonni 7 ga bo'lish orqali qilishimiz mumkin.
\[\begin{align*}\frac{{7x}}{7} &= \frac{{ - 27}}{7}\\ x & = - \frac{{27}}{7}\end{align*}\]Endi, agar biz barcha ishimizni to'g'ri bajargan bo'lsak, \(x = - \frac{{27}}{7}\) tenglamaning yechimidir.
Oxirgi va oxirgi qadam, keyin yechimni tekshirish. Jarayon sxemasida ta'kidlanganidek, biz yechimni tekshirishimiz kerak original tenglama. Bu juda muhim, chunki biz birinchi bosqichda xatoga yo'l qo'ygan bo'lishimiz mumkin va agar biz xato qilgan bo'lsak va keyin javobni ushbu bosqich natijalarida tekshirib ko'rsak, bu yechim to'g'ri ekanligini ko'rsatishi mumkin, qachonki haqiqat shundaki, biz dastlab qilgan xatomiz tufayli to'g'ri javobga ega emasmiz.
Muammo shundaki, bu yechim bilan tekshirish biroz chalkash bo'lishi mumkin. Keling, baribir qilaylik.
\[\begin{align*}3\left( { - \frac{{27}}{7} + 5} \right) & \mathop = \limits^? 2\left( { - 6 - \left( { - \frac{{27}}{7}} \right)} \right) - 2\left( { - \frac{{27}}{7}} \right)\\ 3\left( {\frac{8}{7}} \right) & \mathop = \limits^? 2\left( { - \frac{{15}}{7}} \right) + \frac{{54}}{7}\\ \frac{{24}}{7} & = \frac{{24}}{7}\hspace{0.5in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Shunday qilib, biz ishimizni to'g'ri bajardik va tenglamaning yechimi:
\[x = - \frac{{27}}{7}\]E'tibor bering, biz bu erda echimlar to'plami belgisini ishlatmadik. Yagona echimlar uchun biz bu sinfda buni kamdan-kam qilamiz. Ammo, agar biz ushbu muammoni hal qilishni istasak, notatsiya quyidagicha bo'lar edi.
\[\left\{ { - \frac{{27}}{7}} \right\}\]Keyingi masalaga o‘tishdan oldin, avval ushbu javobning “tartibsizligi” haqida qisqacha fikr bildiramiz. Barcha javoblar chiroyli oddiy butun sonlar bo‘lishini kutmang. Ko‘pchilik javoblarni sodda saqlashga harakat qilsak ham, ular ko‘pincha shunday bo‘lmaydi, javob oddiy butun son bo‘lishi kerak, degan fikrga BERMAGAN “javob” tufayli siz darhol xatoga yo‘l qo‘ygan deb o‘ylaysiz.
b \(\displaystyle \frac{{m - 2}}{3} + 1 = \frac{{2m}}{7}\) Yechim
OK, bu bilan biz muammoga unchalik ko'p izoh bermaymiz.
Bu holda bizda kasrlar bor, shuning uchun hayotimizni osonlashtirish uchun biz ikkala tomonni LCD bilan ko'paytiramiz, bu holda bu 21 ga teng. Buni qilgandan so'ng, muammo oldingi muammoga juda o'xshash bo'ladi. Shuni ham yodda tutingki, denominatorlar faqat raqamlardir va shuning uchun biz nolga bo'linish haqida tashvishlanishimiz shart emas.
Keling, avval ikkala tomonni LCD bilan ko'paytiramiz.
\[\begin{align*}21\left( {\frac{{m - 2}}{3} + 1} \right) & = \left( {\frac{{2m}}{7}} \right)21\\ 21\left( {\frac{{m - 2}}{3}} \right) + 21\left( 1 \right) & = \left( {\frac{{2m}}{7}} \right)21\\ 7\left( {m - 2} \right) + 21 & = \left( {2m} \right)\left( 3 \right)\end{align*}\]Chap tarafdagi qavs orqali 21 ni to'g'ri taqsimlashga ehtiyot bo'ling. Qavs ichidagi hamma narsani soddalashtirishdan oldin 21 ga ko'paytirish kerak. Ayni paytda bizda oldingi muammoga o'xshash muammo bor va biz bu safar barcha tushuntirishlar bilan bezovta qilmaymiz.
\[\begin{align*}7\left( {m - 2} \right) + 21 & = \left( {2m} \right)\left( 3 \right)\\ 7m - 14 + 21 & = 6m\\ 7m + 7 & = 6m\\ m & = - 7\end{align*}\]Shunday qilib, \(m = - 7\) bu yechimga o'xshaydi. Ishonch hosil qilish uchun buni tasdiqlaylik.
\[\begin{align*}\frac{{ - 7 - 2}}{3} + 1 & \mathop = \limits^? \frac{{2\left( { - 7} \right)}}{7}\\ \frac{{ - 9}}{3} + 1 & \mathop = \limits^? - \frac{{14}}{7}\\ - 3 + 1 &\mathop = \limits^? - 2\\ - 2 & = - 2\hspace{0.5in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Demak, bu yechim.
c \(\displaystyle \frac{5}{{2y - 6}} = \frac{{10 - y}}{{{y^2} - 6y + 9}}\) Yechim
Bu avvalgisiga o'xshaydi, bundan tashqari endi bizda maxrajda o'zgaruvchilar bor. Shunday qilib, LCD displeyni olish uchun birinchi navbatda har bir oqilona ifodaning maxrajlarini to'liq hisobga olishimiz kerak.
\[\frac{5}{{2\left( {y - 3} \right)}} = \frac{{10 - y}}{{{{\left( {y - 3} \right)}^2}}}\]Shunday qilib, LCD displey \(2{\left( {y - 3} \right)^2}\) ga o'xshaydi. Shuni ham yodda tutingki, biz \(y = 3\) dan qochishimiz kerak, chunki agar biz uni tenglamaga kiritsak, biz nolga bo'linamiz.
Endi, maxrajdagi \(y\)-dan tashqari, bu muammo avvalgisiga o'xshash ishlaydi, shuning uchun ishni bajaramiz.
\[\begin{align*}\left( 2 \right){\left( {y - 3} \right)^2}\left( {\frac{5}{{2\left( {y - 3} \right)}}} \right) & = \left( {\frac{{10 - y}}{{{{\left( {y - 3} \right)}^2}}}} \right)\left( 2 \right){\left( {y - 3} \right)^2}\\ 5\left( {y - 3} \right) & = 2\left( {10 - y} \right)\\ 5y - 15 & = 20 - 2y\\ 7y & = 35\\ & y = 5\end{align*}\]Endi yechim \(y = 3\) emas, shuning uchun biz yechim bilan nolga bo'linmaymiz, bu yaxshi narsa. Nihoyat, keling, tezkor tekshirishni amalga oshiramiz.
\[\begin{align*}\frac{5}{{2\left( 5 \right) - 6}} & \mathop = \limits^? \frac{{10 - 5}}{{{5^2} - 6\left( 5 \right) + 9}}\\ \frac{5}{4} & = \frac{5}{4}\hspace{0.5in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]d \(\displaystyle \frac{{2z}}{{z + 3}} = \frac{3}{{z - 10}} + 2\) Yechim
Bunday holda, LCD displey \(\left( {z + 3} \right)\left( {z - 10} \right)\) kabi ko'rinadi va biz nolga bo'linmasligimiz uchun \(z = - 3\) va \(z = 10\) dan qochishimiz kerak bo'ladi.
Keling, ushbu muammoni hal qilishni boshlaylik.
\[\begin{align*}\left( {z + 3} \right)\left( {z - 10} \right)\left( {\frac{{2z}}{{z + 3}}} \right) & = \left( {\frac{3}{{z - 10}} + 2} \right)\left( {z + 3} \right)\left( {z - 10} \right)\\ 2z\left( {z - 10} \right) & = 3\left( {z + 3} \right) + 2\left( {z + 3} \right)\left( {z - 10} \right)\\ 2{z^2} - 20z & = 3z + 9 + 2\left( {{z^2} - 7z - 30} \right)\end{align*}\]Shu nuqtada to'xtab qolamiz va bizda borligini tan olaylik z2 bu erda ishda. Bundan hayajonlanmang. Ba'zida ular ushbu muammolarda vaqtincha namoyon bo'ladi. Agar biz soddalashtirish ishlarini tugatganimizdan keyin hali ham mavjud bo'lsa, bu haqda tashvishlanishingiz kerak.
Shunday qilib, muammoni tugatamiz.
\[\begin{align*}\require{cancel} \cancel{{2{z^2}}} - 20z & = 3z + 9 + \cancel{{2{z^2}}} - 14z - 60\\ - 20z & = - 11z - 51\\ 51 & = 9z\\ \frac{{51}}{9} & = z\\ & \frac{{17}}{3} = z\end{align*}\]E'tibor bering, z2 aslida bekor qildi. Endi, agar biz ishimizni to'g'ri bajargan bo'lsak, \(z = \frac{{17}}{3}\) yechim bo'lishi kerak, chunki u nolga bo'linishni beradigan ikkita qiymatdan biri emas. Buni tasdiqlaylik.
\[\begin{align*}\frac{{2\left( {\frac{{17}}{3}} \right)}}{{\frac{{17}}{3} + 3}} & \mathop = \limits^? \frac{3}{{\frac{{17}}{3} - 10}} + 2\\ \frac{{\,\,\frac{{34}}{3}\,\,}}{{\frac{{26}}{3}}} & \mathop = \limits^? \frac{3}{{ - \frac{{13}}{3}}} + 2\\ \frac{{34}}{3}\left( {\frac{3}{{26}}} \right) & \mathop = \limits^? 3\left( { - \frac{3}{{13}}} \right) + 2\\ \frac{{17}}{{13}} & = \frac{{17}}{{13}}\hspace{0.5in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Tekshirish ba'zida biroz chalkash bo'lishi mumkin, ammo bu biz yechim to'g'ri ekanligini BILISHimizni anglatadi.
Xo'sh, oldingi misolning so'nggi ikki qismida biz muammolarni nolga bo'lishdan ehtiyot bo'lishni davom ettirdik, ammo bu muammo bo'lgan joyda hech qachon yechim topmadik. Shunday qilib, ularning qanday ishlashini ko'rish uchun biz bir nechta muammolarni hal qilishimiz kerak.
- \(\displaystyle \frac{2}{{x + 2}} = \frac{{ - x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\)
- \(\displaystyle \frac{2}{{x + 1}} = 4 - \frac{{2x}}{{x + 1}}\)
a \(\displaystyle \frac{2}{{x + 2}} = \frac{{ - x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) Yechim
Birinchi qadam, LCD displeyni olish uchun denominatorlarni hisobga olishdir.
\[\frac{2}{{x + 2}} = \frac{{ - x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]Shunday qilib, LCD bu \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\) va biz nolga bo'linmaslik uchun \(x = - 2\) va \(x = - 3\) dan qochishimiz kerak.
Mana bu muammo uchun ish.
\[\begin{align*}\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{2}{{x + 2}}} \right) & = \left( {\frac{{ - x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\ 2\left( {x + 3} \right) & = - x\\ 2x + 6 & = - x\\ 3x & = - 6\\ x & = - 2\end{align*}\]Shunday qilib, biz nolga bo'linmaslik uchun biz undan qochishimiz kerak bo'lgan raqamlar ro'yxatida joylashgan "yechim" ni olamiz va shuning uchun uni yechim sifatida ishlata olmaymiz. Biroq, bu ham yagona mumkin bo'lgan yechim. Bu yaxshi. Bu shunchaki bu tenglama borligini anglatadi yechim yo'q.
b \(\displaystyle \frac{2}{{x + 1}} = 4 - \frac{{2x}}{{x + 1}}\) Yechim
Ushbu tenglama uchun LCD displey \(x + 1\) va biz nolga bo'linmaslik uchun \(x = - 1\) dan qochishimiz kerak. Mana bu tenglama uchun ish.
\[\begin{align*}\left( {\frac{2}{{x + 1}}} \right)\left( {x + 1} \right) & = \left( {4 - \frac{{2x}}{{x + 1}}} \right)\left( {x + 1} \right)\\ 2 & = 4\left( {x + 1} \right) - 2x\\ 2 & = 4x + 4 - 2x\\ 2 & = 2x + 4\\ - 2 & = 2x\\ - 1 & = x\end{align*}\]Shunday qilib, biz yana bir bor \(x\) ning yagona qiymatiga erishamiz, undan qochishimiz kerak, shuning uchun biz nolga bo'linmasligimiz kerak. Shunday qilib, bu tenglama mavjud yechim yo'q.
Shunday qilib, biz ko'rib turganimizdek, biz ratsional ifodalarni o'z ichiga olgan tenglamalardan boshlaganimizda, nolga bo'lish masalalarida ehtiyot bo'lishimiz kerak.
Shu o‘rinda, agar bizda nolga bo‘linish bo‘lmasa (masalan, oxirgi misollar to‘plamida) chiziqli tenglamalar aynan bitta yechimga ega bo‘lishini ham tan olishimiz kerak. Biz hech qachon bir nechta yechimga ega bo'la olmaymiz va hech qanday yechim topa olmaydigan yagona vaqt, agar biz "yechim" bilan nolga bo'lingan muammolarga duch kelsak.
Ushbu bo'limni tark etishdan oldin shuni ta'kidlashimiz kerakki, chiziqli tenglamalarni echishning ko'plab usullari har xil turdagi tenglamalarni ko'rib chiqayotganimizda qayta-qayta namoyon bo'ladi, shuning uchun siz ushbu jarayonni tushunishingiz juda muhimdir.