2.4-bo'lim: Limit xususiyatlari
Ba'zi cheklovlarni hisoblash vaqti deyarli keldi. Biroq, buni amalga oshirishdan oldin, bizga hayotimizni biroz osonlashtiradigan chegaralarning ba'zi xususiyatlari kerak bo'ladi. Shunday qilib, keling, birinchi navbatda ularni ko'rib chiqaylik. Ushbu xususiyatlardan ba'zilarining isbotini topish mumkin Har xil chegaraviy xususiyatlarni isbotlash Qo'shimchalar bo'limi.
Limitlarning xossalari
Birinchidan, biz \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)\) va \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)\) mavjud va \(c\) har qanday doimiy deb faraz qilamiz. Keyin,
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {cf\left( x \right)} \right] = c\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)\)
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz ko'paytiruvchi konstantani chegaradan "faktor" qilishimiz mumkin.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)\)
Shunday qilib, yig'indi yoki farq chegarasini olish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa alohida qismlarning chegarasini olish va keyin ularni tegishli belgi bilan bir joyga qo'yishdir. Bu ham ikkita funktsiya bilan cheklanmaydi. Bu fakt biz "+" yoki "-" bilan qancha funktsiyalarni ajratganimizdan qat'iy nazar ishlaydi.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)\)
Biz mahsulot chegaralarini yig'indisi yoki farqini olishimiz mumkin bo'lgan tarzda olamiz. Faqat bo'laklarning chegarasini oling va keyin ularni bir joyga qo'ying. Bundan tashqari, summalar yoki farqlar kabi, bu haqiqat faqat ikkita funktsiya bilan chegaralanmaydi.
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right] = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)}}{\rm{,}}\,\,\,\,\,{\rm{provided }}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right) \ne 0\)
Bayonotda ta'kidlanganidek, biz faqat qism chegarasini bajarganimizda, maxrajdagi chegara nolga teng bo'lishi haqida tashvishlanishimiz kerak. Agar u nol bo'lsa, biz nolga bo'linish bilan yakunlanardik va biz bundan qochishimiz kerak.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f\left( x \right)} \right]^n} = {\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right]^n},\,\,\,\,{\mbox{where }}n{\mbox{ is any real number}}\)
Bu xossada \(n\) har qanday haqiqiy son (musbat, manfiy, butun son, kasr, irratsional, nol, va hokazo.). Agar \(n\) butun son bo'lsa, bu qoidani kengaytirilgan holat sifatida ko'rish mumkin. 3.
Masalan, \(n = \)2 misolini ko'rib chiqing.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} & = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)f\left( x \right)} \right]\\ & = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)\hspace{0.5in}{\mbox{using property 3}}\\ & = {\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right]^2}\end{align*}\]Xuddi shu narsani \(n\) har qanday butun son uchun qilish mumkin.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\sqrt[n]{{f\left( x \right)}}} \right] = \sqrt[n]{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}\)
Bu faqat oldingi misolning alohida holati.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\sqrt[n]{{f\left( x \right)}}} \right] & = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{\frac{1}{n}}}\\ & = {\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right]^{\frac{1}{n}}}\\ & = \sqrt[n]{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}\end{align*}\] - \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} c = c,\,\,\,\,c{\mbox{ is any real number}}\)
Boshqacha qilib aytganda, konstantaning chegarasi faqat doimiydir. \(f\left( x \right) = c\) grafigini chizish orqali bunga o'zingizni ishontira olishingiz kerak.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x = a\)
Oxirgi misolda bo'lgani kabi, \(f\left( x \right) = x\) grafigini chizish orqali o'zingizni bunga ishontirishingiz kerak.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^n} = {a^n}\)
Bu, albatta, mulkning alohida holati 5 \(f\left( x \right) = x\) yordamida.
E'tibor bering, bu xususiyatlarning barchasi ikkita bir tomonlama chegaralar uchun ham amal qiladi, shuningdek, biz joyni tejash uchun ularni bir tomonlama chegaralar bilan yozmadik.
Keling, ushbu xususiyatlardan foydalangan holda bir yoki ikkita chegarani hisoblaymiz. Keyingi bir nechta misollar bizni doimiy ravishda ishlatadigan chegaralar haqidagi haqiqatan ham foydali faktlarga olib keladi.
Yechim
Bu birinchi marta chegarani hisoblash uchun faqat yuqoridagi xususiyatlardan foydalanamiz.
Birinchidan, biz mulkdan foydalanamiz 2 chegarani uchta alohida chegaraga bo'lish. Keyin mulkdan foydalanamiz 1 konstantalarni dastlabki ikki chegaradan chiqarish uchun. Bu bizga beradi,
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {3{x^2} + 5x - 9} \right) & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} 3{x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} 5x - \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} 9\\ & = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^2} + \mathop {5\lim }\limits_{x \to - 2} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} 9\end{align*}\]Endi biz xususiyatlardan foydalanishimiz mumkin 7 orqali 9 chegarani aslida hisoblash uchun.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {3{x^2} + 5x - 9} \right) & = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^2} + \mathop {5\lim }\limits_{x \to - 2} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} 9\\ & = 3{\left( { - 2} \right)^2} + 5\left( { - 2} \right) - 9\\ & = - 7\end{align*}\]Keling, e'tibor bering, agar biz aniqlagan bo'lsak
\[p\left( x \right) = 3{x^2} + 5x - 9\]keyin davomiy misol bo'lar edi,
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} p\left( x \right) & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {3{x^2} + 5x - 9} \right)\\ & = 3{\left( { - 2} \right)^2} + 5\left( { - 2} \right) - 9\\ & = - 7\\ & = p\left( { - 2} \right)\end{align*}\]Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bu holda biz ushbu nuqtadagi funktsiyani baholash orqali biz oladigan chegara bir xil qiymat ekanligini ko'ramiz. Bu biz hozirgacha ko'rgan cheklovlar haqidagi asosiy tushunchalardan birini buzayotganga o'xshaydi.
Oldingi ikki bo'limda biz chegaralar ko'rib chiqilayotgan nuqtada nima sodir bo'layotganiga ahamiyat bermasligi haqida katta fikr bildirdik. Ular faqat nuqta atrofida nima sodir bo'layotganiga e'tibor berishadi. Xo'sh, oldingi misol bunga qanday mos keladi, chunki u chegaralar haqidagi asosiy fikrni buzgandek tuyuladi?
Tashqi ko'rinishiga qaramay, limit hali ham \(x = - 2\) da funksiya nima qilayotganiga ahamiyat bermaydi. Bunday holda, bizda mavjud bo'lgan funktsiya shunchaki "etarlicha yoqimli" bo'lib, nuqta atrofida sodir bo'layotgan voqealar xuddi shu nuqtada sodir bo'layotgan narsalar bilan bir xil bo'ladi. Oxir-oqibat Biz "etarlicha yaxshi" deganda nimani anglatishini rasmiylashtiramiz. Shu nuqtada, keling, "etarlicha yoqimli" nima haqida ko'p tashvishlanmaylik. Keling, ba'zi funktsiyalar nima bo'lishidan qat'i nazar, "etarlicha yoqimli" bo'lishidan foydalanaylik.
Oxirgi misoldagi funksiya polinom edi. Ma'lum bo'lishicha, barcha ko'phadlar "etarlicha yoqimli" bo'lib, nuqta atrofida sodir bo'layotgan narsalar nuqtada sodir bo'layotgan narsalar bilan bir xil bo'ladi. Bu quyidagi faktga olib keladi.
Polinomlarning chegaralari
Agar \(p(x)\) polinom bo'lsa,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} p\left( x \right) = p\left( a \right)\]Ushbu bo'limning oxiriga kelib, biz ushbu kurs davomida ko'radigan funktsiyalarning aksariyati uchun buni sezilarli darajada umumlashtiramiz.
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Avvalo, biz mulkdan foydalanishimiz mumkinligiga e'tibor bering 4 chegarani quyidagicha yozish uchun,
\[\mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{{6 - 3z + 10{z^2}}}{{ - 2{z^4} + 7{z^3} + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{z \to 1} 6 - 3z + 10{z^2}}}{{\mathop {\lim }\limits_{z \to 1} - 2{z^4} + 7{z^3} + 1}}\]Xo'sh, aslida biz biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Maxraj chegarasi nolga teng bo'lmasa, buni qilishimiz mumkin. Ko'rib turganimizdek, bu holatda emas, shuning uchun biz yaxshimiz.
Endi hisoblagich ham, maxraj ham polinomlardir, shuning uchun biz yuqoridagi faktdan pay va maxraj chegaralarini, shuning uchun chegaraning o'zini hisoblash uchun foydalanishimiz mumkin.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{{6 - 3z + 10{z^2}}}{{ - 2{z^4} + 7{z^3} + 1}} & = \frac{{6 - 3\left( 1 \right) + 10{{\left( 1 \right)}^2}}}{{ - 2{{\left( 1 \right)}^4} + 7{{\left( 1 \right)}^3} + 1}}\\ & = \frac{{13}}{6}\end{align*}\]E'tibor bering, maxraj chegarasi nolga teng emas edi va shuning uchun biz mulkdan foydalanishimiz mumkin 4 qonuniy edi.
Oldingi misolda, polinomlarda bo'lgani kabi, biz haqiqatan ham funksiyani ko'rib chiqilayotgan nuqtada baholash edi. Shunday qilib, buni amalga oshirish mumkin bo'lgan juda katta funktsiyalar sinfi mavjud. Keling, yuqoridagi faktni biroz umumlashtiraylik.
“Yetarli darajada yaxshi” funksiyalarining chegaralari
Agar \(f(x)\) bizda "etarlicha yaxshi" bo'lsa,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\]Yana, biz "etarlicha yaxshi" deganda nimani nazarda tutayotganimizni rasmiylashtiramiz. oxir-oqibat. Shu nuqtada, biz qilmoqchi bo'lgan yagona narsa, qaysi funktsiyalar "etarlicha yoqimli" ekanligi haqida tashvishlanishdir. Ba'zi funksiyalar barcha \(x\) uchun "etarli darajada yoqimli", boshqalari esa faqat \(x\) ning ma'lum qiymatlari uchun "etarlicha yoqimli" bo'ladi. Hammasi funktsiyaga bog'liq bo'ladi.
Bayonotda ta'kidlanganidek, bu fakt oddiy chegara bilan bir qatorda ikkita bir tomonlama chegaralar uchun ham amal qiladi.
Bu erda "etarlicha yoqimli" bo'lgan ba'zi keng tarqalgan funktsiyalar ro'yxati.
- Polinomlar barcha \(x\) uchun etarlicha yaxshi.
- Agar \(\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\) bo'lsa, \(f(x)\) yaxshi bo'ladi, agar \(p(x)\) ham, \(q(x)\) ham etarlicha yaxshi bo'lsa va biz baholayotgan nuqtada nolga bo'linmasak.
- \(\cos \left( x \right),\,\,\sin \left( x \right)\) barcha \(x\) lar uchun etarlicha yaxshi
- \(\sec \left( x \right),\,\,\tan \left( x \right)\) yetarli darajada yoqimli, \(x \ne \ldots , - \frac{{5\pi }}{2}, - \frac{{3\pi }}{2},-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{5\pi }}{2}, \ldots \) Boshqacha qilib aytganda, sekant va tangens kosinus nolga teng bo'lmagan hamma joyda ham yaxshi. Nima uchun bu ikkalasi ham haqiqatan ham ratsional funktsiyalar ekanligini va kosinus ikkalasining maxrajida ekanligini eslash uchun orqaga qayting va yuqoridagi ikkinchi o'qga qarang.
- \(\csc \left( x \right),\,\,\cot \left( x \right)\) yetarli darajada yoqimli, \(x \ne \ldots , - 2\pi ,\,\, - \pi ,\,\,0,\,\,\pi ,\,\,2\pi , \ldots \) Boshqacha qilib aytganda, kosekant va kotangent sinus nolga teng bo'lmagan hamma joyda ham yaxshi.
- \(\sqrt[n]{x}\), agar \(n\) g'alati bo'lsa, barcha \(x\) uchun etarlicha yaxshi.
- \(\sqrt[n]{x}\), \(n\) teng bo'lsa, \(x \ge 0\) uchun etarlicha yaxshi. Bu erda murakkab qiymatlar bilan shug'ullanmaslik uchun \(x \ge 0\) talab qilinadi.
- \({a^x},\,\,{{\bf{e}}^x}\) barcha \(x\) lar uchun etarlicha yaxshi.
- \({\log _b}x,\,\,\,\ln x\) \(x > 0\) uchun etarlicha yaxshi. Esda tutingki, biz logarifmlarga faqat ijobiy raqamlarni kiritishimiz mumkin, nol yoki manfiy raqamlar emas.
- Yuqoridagi funktsiyalarning har qanday summasi, farqi yoki mahsuloti ham etarlicha yoqimli bo'ladi. Cheklovni baholashda biz nolga bo'linmasak, miqdorlar etarlicha yaxshi bo'ladi.
Oxirgi o'q muhim. Bu shuni anglatadiki, ushbu funktsiyalarning har qanday kombinatsiyasi uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa ushbu nuqtadagi funktsiyani baholash va cheklovlarning hech biri buzilmaganligiga ishonch hosil qilishdir. Bu shuni anglatadiki, biz endi ko'p sonli cheklovlarni amalga oshirishimiz mumkin.
Yechim
Bu yuqorida sanab o'tilgan bir nechta funksiyalarning kombinatsiyasi bo'lib, cheklovlarning hech biri buzilmaydi, shuning uchun limitni olish uchun funksiyaga \(x = 3\) ni ulashimiz kifoya.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( { - \sqrt[5]{x} + \frac{{{{\bf{e}}^x}}}{{1 + \ln \left( x \right)}} + \sin \left( x \right)\cos \left( x \right)} \right) & = - \sqrt[5]{3} + \frac{{{{\bf{e}}^3}}}{{1 + \ln \left( 3 \right)}} + \sin \left( 3 \right)\cos \left( 3 \right)\\ & = {\rm{8}}{\rm{.1854272743}}\end{align*}\]Juda chiroyli javob emas, lekin biz endi chegarani qila olamiz.