5.2-bo'lim: Noaniq integrallarni hisoblash
Oldingida biz noaniq integrallarni ko'rib chiqishni boshladik va bu bo'limda biz deyarli faqat noaniq integralning yozuvlari, tushunchalari va xususiyatlariga e'tibor qaratdik. Ushbu bo'limda biz noaniq integrallarni qanday hisoblashimiz haqida o'ylashni boshlashimiz kerak. Biz ba'zi asosiy noaniq integrallardan boshlaymiz.
Biz ko'rib chiqadigan birinchi integral \(x\) kuchining integralidir.
\[\int{{{x^n}\,dx}} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + c,\,\,\,\,\,n \ne - 1\]\(x\) quvvatini integrallashda umumiy qoida, biz ko'rsatkichga bittasini qo'shamiz va keyin yangi ko'rsatkichga bo'lamiz. Ushbu formulada \(n = - 1\) dan qochishimiz kerakligi aniq (umid qilamanki). Ushbu formulada \(n = - 1\) ga ruxsat bersak, biz nolga bo'linish bilan yakunlanamiz. Biz bu ishni birozdan keyin hal qilamiz.
Keyingi oson integrallardan biri, lekin har doim odamlar uchun muammo tug'diradi.
\[\int{{k\,dx}} = kx + c,\hspace{0.25in}\,\,\,\,c\text{ va }k{\mbox{ are constants}}\]Esingizda bo'lsa, biz so'ragan narsa - biz integralni olish uchun nimani farqladik, bu juda oddiy, ammo bu ba'zida muammolarni keltirib chiqaradigan ko'rinadi.
Endi trig funktsiyalarini ko'rib chiqaylik.
\[\begin{array}{ll}\int{{\sin x\,dx}} = - \cos x + c \hspace{0.75in} & \int{{\cos x\,dx}} = \sin x + c\\ \int{{{{\sec }^2}x\,dx}} = \tan x + c \hspace{0.75in} & \int{{\sec x\tan x\,dx}} = \sec x + c\\ \int{{{{\csc }^2}x\,dx}} = - \cot x + c \hspace{0.75in} & \int{{\csc x\cot x\,dx}} = - \csc x + c\end{array}\]E'tibor bering, biz bu erda oltita trig funktsiyasidan faqat ikkitasini birlashtirdik. Qolgan to'rtta integral haqiqatan ham qolgan to'rtta trig funksiyasini beradigan integraldir. Bundan tashqari, bu erda belgilar bilan ehtiyot bo'ling. Hosil va integral belgilarini aralashtirish oson. Yana shuni yodda tutingki, biz integralni olish uchun qanday funktsiyani ajratganimizni so'rayapmiz.
Biz qolgan to'rtta trig funksiyasini bir nechta bo'limlarga birlashtira olamiz, ammo ularning barchasi O'zgartirish qoidasi.
Keling, eksponensial va logarifm funktsiyalari haqida qayg'uraylik.
\[\int{{{{\bf{e}}^x}\,dx}} = {{\bf{e}}^x} + c\hspace{0.25in}\,\hspace{0.25in}\,\,\,\,\int{{{a^x}\,dx}} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + c\hspace{0.5in}\int{{\frac{1}{x}\,dx}} = \int{{{x^{ - 1}}\,dx}} = \ln \left| x \right| + c\]Logarifmlarni integratsiyalash uchun odatda Hisob II da o‘qitiladigan mavzu kerak bo‘ladi, shuning uchun biz bu sinfda logarifmni integratsiya qilmaymiz. Uchinchi integralni bir necha usulda yozish mumkinligiga e'tibor bering va uchinchi integralga javobda \(x\) mutlaq qiymat satrini unutmang.
Nihoyat, keling, teskari trig va giperbolik funktsiyalar haqida qayg'uraylik.
\[\begin{array}{ll}\displaystyle \int{{\frac{1}{{{x^2} + 1}}\,dx}} = {\tan ^{ - 1}}x + c\hspace{0.75in} & \displaystyle \int{{\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\,dx}} = {\sin ^{ - 1}}x + c\\ \int{{\sinh x\,dx}} = \cosh x + c\hspace{0.75in} & \int{{\cosh x\,dx}} = \sinh x + c\\ \int{{{{{\mathop{\rm sech}\nolimits} }^2}x\,dx}} = \tanh x + c\hspace{0.75in}& \int{{{\mathop{\rm sech}\nolimits} x\tanh x\,dx}} = - {\mathop{\rm sech}\nolimits} x + c\\ \int{{{{{\mathop{\rm csch}\nolimits} }^2}x\,dx}} = - \coth x + c\hspace{0.75in} & \int{{{\mathop{\rm csch}\nolimits} x\coth x\,dx}} = - {\mathop{\rm csch}\nolimits} x + c\end{array}\]Teskari trig funksiyalarini integrallovchi logarifmlarda bo‘lgani kabi, odatda Calculus II da o‘qitiladigan mavzuni talab qiladi va shuning uchun biz ularni bu sinfga birlashtirmaymiz. Yuqoridagi ikkinchi integral uchun boshqa javob ham mavjud. Bu erda biz so'ragan hamma narsa integralni olish uchun qanday funktsiyani ajratganimizni eslab, ikkinchi integral ham bo'lishi mumkin,
\[\int{{\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\,dx}} = - {\cos ^{ - 1}}x + c\]An'anaviy tarzda biz ushbu integralning birinchi shaklidan foydalanamiz.
Xo'sh, endi biz asosiy integrallarning ko'pchiligini yo'lga qo'yganimizdan keyin bir nechta noaniq integrallarni bajaramiz. Ushbu masalalarning barchasida biz har doim javobimizni farqlash va integratsiyani olishimizga ishonch hosil qilish orqali tekshirishimiz mumkinligini yodda tuting.
- \(\displaystyle \int{{5{t^3} - 10{t^{ - 6}} + 4\,dt}}\)
- \(\displaystyle \int{{{x^8} + {x^{ - 8}}\,dx}}\)
- \(\displaystyle \int{{3\sqrt[4]{{{x^3}}} + \frac{7}{{{x^5}}} + \frac{1}{{6\sqrt x }}\,dx}}\)
- \(\displaystyle \int{{dy}}\)
- \(\displaystyle \int{{\left( {w + \sqrt[3]{w}} \right)\left( {4 - {w^2}} \right)dw}}\,\)
- \(\displaystyle \int{{\frac{{4{x^{10}} - 2{x^4} + 15{x^2}}}{{{x^3}}}\,dx}}\)
Munozarani ko'rsatish
Xo'sh, bularning barchasida noaniq integrallarning asosiy qoidalarini eslang. Birinchidan, yig'indi va farqlarni birlashtirish uchun biz individual shartlarni birlashtiramiz va keyin shartlarni tegishli belgilar bilan bir joyga qo'yamiz. Keyinchalik, ushbu atamani integratsiyalash tugaguniga qadar har qanday koeffitsientlarni e'tiborsiz qoldirib, keyin koeffitsientni qayta qo'yishimiz mumkin. Shuningdek, oxirida "+\(c\)" ni unutmang, bu muhim va u erda bo'lishi kerak.
Shunday qilib, keling, ba'zi integrallarni baholaylik.
a \(\displaystyle \int{{5{t^3} - 10{t^{ - 6}} + 4\,dt}}\) Yechim
Bu bo'limning boshidan boshlab birinchi ikkita formuladan foydalanishdan boshqa ko'p ish yo'q. Esda tutingki, kuchlarni integrallashganda (bu, albatta, -1 emas) biz ko'rsatkichga bitta qo'shamiz va keyin yangi ko'rsatkichga bo'lamiz.
\[\begin{align*}\int{{5{t^3} - 10{t^{ - 6}} + 4\,dt}} & = 5\left( {\frac{1}{4}} \right){t^4} - 10\left( {\frac{1}{{ - 5}}} \right){t^{ - 5}} + 4t + c\\ & = \frac{5}{4}{t^4} + 2{t^{ - 5}} + 4t + c\end{align*}\]Salbiy ko'rsatkichlarni integrallashda ehtiyot bo'ling. Eksponentga bitta qo'shishni unutmang. Manfiy ko‘rsatkichlarni integrallashda o‘quvchilar yo‘l qo‘yadigan keng tarqalgan xatolardan biri bu “bitta qo‘shish” va yakunda “-5” ko‘rsatkichining to‘g‘ri ko‘rsatkichi o‘rniga “-7” ko‘rsatkichini olishdir.
b \(\displaystyle \int{{{x^8} + {x^{ - 8}}\,dx}}\) Yechim
Bu manfiy ko'rsatkichlarni integratsiyalash to'g'risida fikrni olishimizga ishonch hosil qilish uchun.
\[\int{{{x^8} + {x^{ - 8}}\,dx}} = \frac{1}{9}{x^9} - \frac{1}{7}{x^{ - 7}} + c\]c \(\displaystyle \int{{3\sqrt[4]{{{x^3}}} + \frac{7}{{{x^5}}} + \frac{1}{{6\sqrt x }}\,dx}}\) Yechim
Bunday holda, radikallar yoki ratsional ifodalar bilan aniq munosabatda bo'lish uchun formula mavjud emas. Biroq, xuddi hosilalarda bo'lgani kabi, biz bu atamalarning barchasini hisoblagichda va ularning barchasida ko'rsatkichga ega bo'lgan holda yozishimiz mumkin. Bu, xuddi farqlashda bo'lgani kabi, bunday integral bilan duch kelganingizda hamisha sizning birinchi qadamingiz bo'lishi kerak.
\[\begin{align*}\int{{3\sqrt[4]{{{x^3}}} + \frac{7}{{{x^5}}} + \frac{1}{{6\sqrt x }}\,dx}} & = \int{{3{x^{\frac{3}{4}}} + 7{x^{ - 5}} + \frac{1}{6}{x^{ - \,\,\frac{1}{2}}}\,dx}}\\ & = 3\frac{1}{{{}^{7}/{}_{4}}}{x^{\frac{7}{4}}} - \frac{7}{4}{x^{ - 4}} + \frac{1}{6}\left( {\frac{1}{{{}^{1}/{}_{2}}}} \right){x^{\frac{1}{2}}} + c\\ & = \frac{{12}}{7}{x^{\frac{7}{4}}} - \frac{7}{4}{x^{ - 4}} + \frac{1}{3}{x^{\frac{1}{2}}} + c\end{align*}\]Kasr ko'rsatkichlari bilan ishlashda biz odatda "yangi ko'rsatkichga bo'linmaymiz". Buni qilish yangi ko'rsatkichni o'zaro ko'paytirishga teng va biz odatda shunday qilamiz.
d \(\displaystyle \int{{dy}}\) Yechim
Buni avvalgidan ko'ra qiyinlashtirmang ...
\[\int{{dy}} = \int{{1\,dy}} = y + c\]Bunday holda, biz haqiqatan ham bittasini birlashtiramiz!
e \(\displaystyle \int{{\left( {w + \sqrt[3]{w}} \right)\left( {4 - {w^2}} \right)dw}}\,\) Yechim
Bu yerda bizda mahsulot bor va oldingi bo'limda ta'kidlaganimizdek, mahsulotlar bilan ishlashda hech qanday qoida yo'q. Biroq, bu holatda bizga qoida kerak emas. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu narsalarni ko'paytirish (albatta, bir vaqtning o'zida radikallarga g'amxo'rlik qilish) va keyin biz integratsiyalasha olamiz.
\[\begin{align*}\int{{\left( {w + \sqrt[3]{w}} \right)\left( {4 - {w^2}} \right)\,dw}} &= \int{{4w - {w^3} + 4{w^{\frac{1}{3}}} - {w^{\frac{7}{3}}}dw}}\\ & = 2{w^2} - \frac{1}{4}{w^4} + 3{w^{\frac{4}{3}}} - \frac{3}{{10}}{w^{\frac{{10}}{3}}} + c\end{align*}\]f \(\displaystyle \int{{\frac{{4{x^{10}} - 2{x^4} + 15{x^2}}}{{{x^3}}}\,dx}}\) Yechim
Oldingi qismda bo'lgani kabi, bizda bu integral uchun ko'rsatkichlar uchun qoida yo'qligi muammo emas. Bunday holda, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu qismni ajratish va keyin alohida atamalarni birlashtirish.
\[\begin{align*}\int{{\frac{{4{x^{10}} - 2{x^4} + 15{x^2}}}{{{x^3}}}\,dx}} & = \int{{\frac{{4{x^{10}}}}{{{x^3}}}\, - \frac{{2{x^4}}}{{{x^3}}} + \frac{{15{x^2}}}{{{x^3}}}dx}}\\ & = \int{{4{x^7}\, - 2x + \frac{{15}}{x}dx}}\\ & = \frac{1}{2}{x^8} - {x^2} + 15\ln \left| x \right| + c\end{align*}\]Ehtiyot bo'ling, uchinchi atamani integratsiya maqsadlari uchun kuchga \(x\) deb o'ylamang. Ushbu qoidani uchinchi muddatda qo'llash ishlamaydi. Uchinchi atama oddiygina logarifmdir. Bundan tashqari, 15 dan hayajonlanmang. 15 shunchaki doimiy va shuning uchun uni integraldan ajratib olish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, biz uchinchi muddatni birlashtirish uchun nima qildik.
\[\int{{\frac{{15}}{x}\,dx}} = 15\int{{\frac{1}{x}\,dx}} = 15\ln \left| x \right| + c\]Har doim esda tutingki, siz mahsulot va koeffitsientlarni biz summalar va farqlarni birlashtirgandek birlashtira olmaysiz. Bu nuqtada mahsulot va koeffitsientlarni birlashtirishning yagona yo'li mahsulotni ko'paytirish yoki bo'linishdir. Oxir-oqibat, biz boshqa yo'llar bilan hal qilinishi mumkin bo'lgan boshqa mahsulotlar va ko'rsatkichlarni ko'ramiz. Biroq, hech qachon barcha mahsulotlar uchun ishlaydigan yagona qoida bo'lmaydi va hech qachon barcha ko'rsatkichlar uchun ishlaydigan yagona qoida bo'lmaydi. Har bir mahsulot va koeffitsient har xil va har bir alohida holatda ishlash kerak bo'ladi.
Birinchi misollar to'plami deyarli faqat \(x\) (yoki biz har bir misolda ishlatgan har qanday o'zgaruvchi) quvvatlariga qaratilgan. Boshqa funktsiyalarni o'z ichiga olgan ba'zi misollar qilish vaqti keldi.
- \(\displaystyle \int{{3{{\bf{e}}^x} + 5\cos x - 10{{\sec }^2}x\,dx}}\)
- \(\displaystyle \int{{2\sec w\tan w + \frac{1}{{6w}}\,dw}}\)
- \(\displaystyle \int{{\frac{{23}}{{{y^2} + 1}} + 6\csc y\cot y + \frac{9}{y}\,dy}}\)
- \(\displaystyle \int{{\frac{3}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + 6\sin x\, + 10\sinh x\,dx}}\)
- \(\displaystyle \int{{\frac{{7 - 6{{\sin }^2}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta }}\,d\theta }}\)
Munozarani ko'rsatish
Ushbu misoldagi muammolarning aksariyati ushbu bo'limning boshidan boshlab formulalardan foydalanadi. Ushbu funktsiyalarning aksariyati bilan bog'liq yanada murakkab muammolar biz almashtirish qoidasiga erishgunimizcha kutishimiz kerak.
a \(\displaystyle \int{{3{{\bf{e}}^x} + 5\cos x - 10{{\sec }^2}x\,dx}}\) Yechim
Bu formulalardan foydalanishdan boshqa hech narsa yo'q.
\[\int{{3{{\bf{e}}^x} + 5\cos x - 10{{\sec }^2}x\,dx}} = 3{{\bf{e}}^x} + 5\sin x - 10\tan x + c\]b \(\displaystyle \int{{2\sec w\tan w + \frac{1}{{6w}}\,dw}}\) Yechim
Keling, bu bilan biroz ehtiyot bo'laylik. Avval uni ikkita integralga ajrating va ikkinchi integralda qayta yozilgan integralga e'tibor bering.
\[\begin{align*}\int{{2\sec w\tan w + \frac{1}{{6w}}\,dw}} & = \int{{2\sec w\tan w\,dw}} + \int{{\frac{1}{6}\frac{1}{w}\,dw}}\\ & = \int{{2\sec w\tan w\,dw}} + \frac{1}{6}\int{{\frac{1}{w}\,dw}}\end{align*}\]Ikkinchi integralni qayta yozish ushbu dastlabki bosqichda integratsiyaga ozgina yordam beradi. Biz maxrajdagi 6 ni atama oldidagi 1/6 ga teng deb hisoblashimiz mumkin va keyin bu doimiy bo'lgani uchun uni integraldan ajratib olish mumkin. Unda javob shuki,
\[\int{{2\sec w\tan w + \frac{1}{{6w}}\,dw}} = 2\sec w + \frac{1}{6}\ln \left| w \right| + c\]E'tibor bering, biz birinchi integraldan 2 ni hisobga olmadik, chunki biz ikkinchidan 1/6 qismini ajratdik. Aslida, biz odatda keyingi muammolarda ham 1/6 ni hisobga olmaymiz. Bu faqat biz qilayotgan ishimizga rioya qilishingizga ishonch hosil qilish uchun qilingan.
c \(\displaystyle \int{{\frac{{23}}{{{y^2} + 1}} + 6\csc y\cot y + \frac{9}{y}\,dy}}\) Yechim
Bunda biz faqat yuqoridagi formulalardan foydalanamiz va koeffitsientlar haqida hayajonlanmaymiz. Ular shunchaki multiplikativ konstantalardir va shuning uchun biz har bir atamani birlashtirganda e'tiborga olinmasligi mumkin va keyin berilgan atamani integratsiyalashgandan so'ng, biz shunchaki koeffitsientlarni qayta kiritamiz.
\[\int{{\frac{{23}}{{{y^2} + 1}} + 6\csc y\cot y + \frac{9}{y}\,dy}} = 23{\tan ^{ - 1}}y - 6\csc y + 9\ln \left| y \right| + c\]d \(\displaystyle \int{{\frac{3}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + 6\sin x\, + 10\sinh x\,dx}}\) Yechim
Shunga qaramay, bu bilan koeffitsientlarga g'amxo'rlik qilishda yuqoridan tegishli formuladan foydalanishdan boshqa ko'p narsa yo'q.
\[\int{{\frac{3}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + 6\sin x\, + 10\sinh x\,dx}} = 3{\sin ^{ - 1}}x - 6\cos x + 10\cosh x + c\]e \(\displaystyle \int{{\frac{{7 - 6{{\sin }^2}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta }}\,d\theta }}\) Yechim
Agar siz bunga tayyor bo'lmasangiz, bu biroz qiyin bo'lishi mumkin. Yuqorida muhokama qilinganidek, bu nuqtada bizda bo'laklar bilan shug'ullanishning yagona yo'li uni buzishdir.
\[\begin{align*}\int{{\frac{{7 - 6{{\sin }^2}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta }}\,d\theta }} & = \int{{\frac{7}{{{{\sin }^2}\theta }} - 6\,d\theta }}\\ & = \int{{7{{\csc }^2}\theta - 6\,d\theta }}\end{align*}\]E'tibor bering, integralni sindirish bilan biz kosekantning ta'rifini eslab, integralni yanada soddalashtirdik. Ushbu soddalashtirish bilan biz integralni bajarishimiz mumkin.
\[\int{{\frac{{7 - 6{{\sin }^2}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta }}\,d\theta }} = - 7\cot \theta - 6\theta + c\]Ushbu misolning oxirgi qismida ko'rsatilganidek, biz ularni ko'rganimizda soddalashtirishni eslasak, bu nuqtada juda murakkab ko'rinadigan ko'rsatkichlarni amalga oshirishimiz mumkin. Aslida, bu siz doimo yodda tutishingiz kerak bo'lgan narsadir. Biz bu erda qilayotgan deyarli har qanday muammoda iloji boricha soddalashtirishni unutmang. Deyarli har bir holatda bu faqat muammoni hal qilishga yordam beradi va kamdan-kam hollarda muammoni murakkablashtiradi.
Keyingi muammoda biz mahsulotni ko'rib chiqamiz va bu safar mahsulotni shunchaki ko'paytira olmaymiz. Ammo, agar biz biroz soddalashtirish haqidagi sharhni eslasak, bu muammo juda oddiy bo'ladi.
Yechim
Ushbu integralni bajarishning bir necha yo'li mavjud va ularning aksariyati keyingi bo'limni talab qiladi. Biroq, bu integralni faqat ushbu bo'limdagi material yordamida amalga oshirishning bir usuli bor. Buning uchun integralni biroz soddalashtirish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan trig formulasini eslab qolish kifoya. Quyidagi ikki burchakli formulani eslang.
\[\sin \left( {2t} \right) = 2\sin t\cos t\]Ushbu formulaning kichik qayta yozilishi shuni beradi:
\[\sin t\cos t = \frac{1}{2}\sin \left( {2t} \right)\]Agar biz barcha \(t\)-larni \(\frac{t}{2}\) bilan almashtirsak, biz shunday bo'lamiz:
\[\sin \left( {\frac{t}{2}} \right)\cos \left( {\frac{t}{2}} \right) = \frac{1}{2}\sin \left( t \right)\]Ushbu formuladan foydalanib, integral biz qila oladigan narsaga aylanadi.
\[\begin{align*}\int{{\sin \left( {\frac{t}{2}} \right)\cos \left( {\frac{t}{2}} \right)\,dt}} & = \int{{\frac{1}{2}\sin \left( t \right)dt}}\\ & = - \frac{1}{2}\cos \left( t \right) + c\end{align*}\]Yuqorida aytib o'tilganidek, bu integralni bajarishning yana bir usuli mavjud. Aslida, ikkita alternativ usul mavjud. Uchalasini ham ko'rish uchun bo'limga qarang Integratsiya doimiyligi Qo'shimchalar bo'limida, lekin shuni yodda tutingki, qolgan ikkitasi keyingi bo'limda yoritilgan materialni talab qiladi.
Oldingi muammodagi formula/soddalashtirish esda tutish uchun yoqimli "hiyla" dir. Bu ba'zi muammolarni sezilarli darajada soddalashtirish uchun vaqti-vaqti bilan ishlatilishi mumkin.
Ushbu bo'limdan chiqishdan oldin qilishimiz kerak bo'lgan yana bir misollar mavjud.
- \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 9 + 2\sin x + 7{{\bf{e}}^x},\,\,f\left( 0 \right) = 15\)
- \(f''\left( x \right) = 15\sqrt x + 5{x^3} + 6,\,\,\,\,f\left( 1 \right) = - \frac{5}{4},\,\,\,f\left( 4 \right) = 404\)
Munozarani ko'rsatish
Bularning ikkalasida ham buni eslashimiz kerak bo'ladi
\[f\left( x \right) = \int{{f'\left( x \right)\,dx}}\]Shuni ham yodda tutingki, biz ma'lum nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini berganimiz sababli, biz ushbu muammolarda integratsiya konstantasi qanday bo'lishini ham aniqlaymiz.
a \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 9 + 2\sin x + 7{{\bf{e}}^x},\,\,f\left( 0 \right) = 15\) Yechim
Bu erda birinchi qadam eng umumiy \(f\left( x \right)\) ni aniqlash uchun integratsiyadir.
\[\begin{align*}f\left( x \right) & = \int{{4{x^3} - 9 + 2\sin x + 7{{\bf{e}}^x}\,dx}}\\ & = {x^4} - 9x - 2\cos x + 7{{\bf{e}}^x} + c\end{align*}\]Endi bizda funktsiyaning qiymati bor, shuning uchun keling, \(x = 0\) ni ulaymiz va \(c\) integratsiya konstantasining qiymatini aniqlaymiz.
\[\begin{align*}15 = f\left( 0 \right) & = {0^4} - 9\left( 0 \right) - 2\cos \left( 0 \right) + 7{{\bf{e}}^0} + c\\ & = - 2 + 7 + c\\ & = 5 + c\end{align*}\]Shunday qilib, bu \(c = 10\) ga o'xshaydi. Bu shuni anglatadiki, funktsiya,
\[f\left( x \right) = {x^4} - 9x - 2\cos x + 7{{\bf{e}}^x} + 10\]b \(f''\left( x \right) = 15\sqrt x + 5{x^3} + 6,\,\,\,\,f\left( 1 \right) = - \frac{5}{4},\,\,\,f\left( 4 \right) = 404\) Yechim
Bu birinchisidan biroz farq qiladi. Funktsiyani olish uchun bizga birinchi hosila kerak bo'ladi va bizda ikkinchi hosila mavjud. Biroq, biz birinchi hosiladan funktsiyani olish uchun integraldan foydalanganimiz kabi, ikkinchi hosiladan birinchi hosilani olish uchun integraldan foydalanishimiz mumkin.
Shunday qilib, keling, birinchi hosilani ikkinchi hosilani birlashtirib, eng umumiy mumkin bo'lgan birinchi hosilani olamiz.
\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = \int{{f''\left( x \right)\,dx}}\\ & = \int{{15{x^{\frac{1}{2}}} + 5{x^3} + 6\,dx}}\\ & = 15\left( {\frac{2}{3}} \right){x^{\frac{3}{2}}} + \frac{5}{4}{x^4} + 6x + c\\ & = 10{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{5}{4}{x^4} + 6x + c\end{align*}\]Integratsiya doimiyligini unutmang!
Endi biz yuqorida topilgan birinchi hosilani integrallash orqali mumkin bo'lgan eng umumiy funktsiyani topishimiz mumkin.
\[\begin{align*}f\left( x \right) & = \int{{10{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{5}{4}{x^4} + 6x + c\,dx}}\\ & = 4{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{1}{4}{x^5} + 3{x^2} + cx + d\end{align*}\]\(c\)-ni integratsiya qilishdan hayajonlanmang. Bu shunchaki doimiy va biz konstantalarni qanday integratsiya qilishni bilamiz. Bundan tashqari, har bir bosqichda integratsiyadan kelib chiqadigan integratsiya konstantalari bir xil bo'ladi deb o'ylash uchun hech qanday sabab bo'lmaydi va shuning uchun biz har bir integratsiya doimiysini boshqacha, \(d\) deb atashimiz kerak bo'ladi.
Endi bizda mavjud bo'lgan funksiyaning ikkita qiymatini ulang.
\[\begin{align*} - \frac{5}{4} & = f\left( 1 \right) = 4 + \frac{1}{4} + 3 + c + d = \frac{{29}}{4} + c + d\\ 404 & = f\left( 4 \right) = 4\left( {32} \right) + \frac{1}{4}\left( {1024} \right) + 3\left( {16} \right) + c\left( 4 \right) + d = 432 + 4c + d\end{align*}\]Bu bizga ikkita noma'lum bo'lgan ikkita tenglamalar sistemasini beradi, biz ularni hal qila olamiz.
\[\begin{align*} - \frac{5}{4} & = \frac{{29}}{4} + c + d\\ 404 & = 432 + 4c + d\end{align*}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in} \begin{aligned}c & = - \frac{{13}}{2} \\d & = - 2\end{aligned}\]Keyin funktsiya,
\[f\left( x \right) = 4{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{1}{4}{x^5} + 3{x^2} - \frac{{13}}{2}x - 2\]Tizimlarni qanday hal qilishni eslay olmaysizmi? ni tekshiring Yechish tizimlari Algebra/Trig Review qismi.
Ushbu bo'limda biz integratsiya jarayonini boshladik. Biz bir nechta asosiy integrallarni qanday bajarishni ko'rdik va oxirgi misolda integrallarning tezkor qo'llanilishini ham ko'rdik.
Ushbu bo'limda biz bilishimiz kerak bo'lgan ko'plab yangi formulalar mavjud. Ammo, agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, ular haqiqatan ham yangi formulalar emas. Ular, aslida, biz allaqachon bilishimiz kerak bo'lgan integrallar nuqtai nazaridan yozilgan hosila formulalaridan boshqa narsa emas. Esingizda bo'lsa, ushbu bo'limdagi formulalarni eslab qolish osonroq bo'ladi.
Har doim esda tutingki, integratsiya biz integrandni olish uchun qanday funktsiyani ajratganimizdan boshqa hech narsa so'ramaydi. Esingizda bo'lsa, biz ushbu bo'limda ko'rgan ko'plab asosiy integrallar va keyingi bo'limlardagi ko'plab integrallar unchalik yomon emas.