Chiziqli sistemalarda biz har qanday tizimda har qanday usuldan foydalanishni tanlashimiz mumkin edi. Har doim ham shunday bo'lmaydi chiziqli bo'lmagan tizimlar bilan. Birinchi tenglamada ikkala o'zgaruvchi ham kvadrat shaklida, ikkinchi tenglamada esa ikkala o'zgaruvchi ham birinchi darajaga to'g'ri keladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bu erda biz bartaraf etishdan foydalanishimiz mumkin emas va shuning uchun biz almashtirishdan foydalanishimiz kerak. Yaxshiyamki, bu tizim uchun juda yomon emas, chunki biz \(y\) uchun ikkinchi tenglamani osongina yechib, uni birinchi tenglamaga almashtira olamiz.

\[y = 1 - 2x\] \[{x^2} + {\left( {1 - 2x} \right)^2} = 10\]

Bu biz hal qila oladigan kvadrat tenglama.

\[\begin{align*}{x^2} + 1 - 4x + 4{x^2} & = 10\\ 5{x^2} - 4x - 9 & = 0\\ \left( {x + 1} \right)\left( {5x - 9} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 1,\,\,x = \frac{9}{5}\end{align*}\]

Shunday qilib, bizda \(x\) ning ikkita qiymati bor. Endi biz \(y\) qiymatlarini aniqlashimiz kerak va bu erda keng tarqalgan xatoga yo'l qo'ymaslik uchun ehtiyot bo'lishimiz kerak. Biz \(y\) qiymatlarini o'zgartirishimizga \(x\) ni ulash orqali aniqlaymiz.

\[x = - 1 \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = 1 - 2\left( { - 1} \right) = 3\] \[x = \frac{9}{5}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = 1 - 2\left( {\frac{9}{5}} \right) = - \frac{{13}}{5}\]

Endi bizda faqat ikkita yechim bor. Faqat \(x\) va \(y\) ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini eritmalarga aralashtirish va moslashtirishni boshlamang. Biz \(y = 3\) ni FAQAT \(x = - 1\) bo'lsa, yechim sifatida olamiz va shuning uchun birinchi yechim:

\[x = - 1,\,\,y = 3\]

Xuddi shunday, biz \(y = - \frac{{13}}{5}\) ni FAQAT \(x = \frac{9}{5}\) bo'lsagina olamiz va shuning uchun ikkinchi yechim:

\[x = \frac{9}{5},\,\,y = - \frac{{13}}{5}\]

Shunday qilib, bizda ikkita yechim bor. Endi, ushbu bo'limning boshida ta'kidlanganidek, bu ikki yechim bu ikki egri chiziqning kesishish nuqtalarini ifodalaydi. Birinchi tenglama aylana va ikkinchi tenglama chiziq bo'lgani uchun ikkita kesishish nuqtasi bor, albatta. Buni tasdiqlash uchun ikkita tenglamaning eskizi.

OK, bu holatda bizda bor giperbola (birinchi tenglama, garchi u standart shaklda bo'lmasa ham) va a ratsional funktsiya (ikkinchi tenglama, agar biz \(y\) uchun yechsak). Birinchi misolda bo'lgani kabi, biz bu tizimda eliminatsiyadan foydalana olmaymiz, shuning uchun biz almashtirishdan foydalanishimiz kerak.

Eng yaxshi usul \(x\) yoki \(y\) uchun ikkinchi tenglamani yechishdir. Ikkalasi ham bizga deyarli bir xil ishni beradi, shuning uchun biz \(y\) ni hal qilamiz, chunki bu, ehtimol, tenglamani biz o'tmishda ko'rib chiqqanlarga o'xshash qiladi. Boshqacha qilib aytganda, yangi tenglama \(x\) nuqtai nazaridan bo'ladi va bu biz tenglamalarda ko'rishga odatlangan o'zgaruvchidir.

\[y = \frac{2}{x}\] \[\begin{align*}{x^2} - 2{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} & = 2\\ {x^2} - 2\frac{4}{{{x^2}}} & = 2\\ {x^2} - \frac{8}{{{x^2}}} & = 2\end{align*}\]

Ushbu tenglamani echish yo'lidagi birinchi qadam hamma narsani ko'paytirish bo'ladi x² denominatorlarni tozalash uchun.

\[\begin{align*}{x^4} - 8 & = 2{x^2}\\ {x^4} - 2{x^2} - 8 & = 0\end{align*}\]

Endi, bu kvadratik shaklda va biz bunday tenglamalarni qanday yechishni bilamiz. Agar aniqlasak,

\[u = {x^2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{u^2} = {\left( {{x^2}} \right)^2} = {x^4}\]

va tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

\[\begin{align*}{u^2} - 2u - 8 & = 0\\ \left( {u - 4} \right)\left( {u + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}u = - 2,\,\,\,u = 4\end{align*}\]

\(x\) nuqtai nazaridan bu bizda quyidagilar borligini anglatadi:

\[\begin{align*}{x^2} & = 4\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \pm \,2\\ {x^2} & = - 2\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \pm \,\sqrt 2 \,\,i\end{align*}\]

Shunday qilib, bizda \(x\) ning to'rtta mumkin bo'lgan qiymati bor va ulardan ikkitasi murakkab. \(y\) qiymatlarini aniqlash uchun biz ularni almashtirishimizga ulashimiz mumkin.

\[\begin{align*}x & = 2\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = \frac{2}{2} = 1\\ x & = - 2\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = \frac{2}{{ - 2}} = - 1\end{align*}\] \[\begin{align*}x & = \sqrt 2 \,i\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = \frac{2}{{\sqrt 2 \,i}} = \frac{2}{{\sqrt 2 \,i}}\frac{i}{i} = \frac{{2i}}{{\sqrt 2 \,{i^2}}} = - \frac{{2i}}{{\sqrt 2 }}\\ x & = - \sqrt 2 \,i\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = - \frac{2}{{\sqrt 2 \,i}} = - \frac{2}{{\sqrt 2 \,i}}\frac{i}{i} = - \frac{{2i}}{{\sqrt 2 \,{i^2}}} = \frac{{2i}}{{\sqrt 2 }}\end{align*}\]

Murakkab echimlar uchun \(i\) hisoblagichda ekanligiga ishonch hosil qilganimizga e'tibor bering. Keyin to'rtta yechim,

\[\begin{align*}& x = 2,\,\,\,y = 1\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}x = - 2,y = - 1\hspace{0.25in}\text{va}\\ & x = \sqrt 2 \,i,\,\,\,y = - \frac{{2i}}{{\sqrt 2 }}\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}x = - \sqrt 2 \,i,\,\,\,y = \frac{{2i}}{{\sqrt 2 }}\end{align*}\]

Yechimlarning ikkitasi haqiqiy va shuning uchun bu ikki tenglamaning grafiklarining kesishish nuqtalarini ifodalaydi. Qolgan ikkitasi murakkab echimlar va echimlar egri chiziqlarning kesishish nuqtalarini ifodalamaydi.

Malumot uchun, bu erda ikkita egri chiziqning eskizi.

E'tibor bering, ikkita haqiqiy echim taklif qilganidek, ushbu ikkita grafikning faqat ikkita kesishish nuqtasi mavjud. Murakkab yechimlar hech qachon ikkita egri chiziqning kesishishini ifodalamaydi.

Bu safar bizda ellips va giperbola. Biroq, ularning hech biri standart shaklda emas.

Birinchi ikkita misolda biz tizimni hal qilish uchun almashtirish usulidan foydalanganmiz va bu erda ham foydalanishimiz mumkin. E'tibor bering, agar biz ikkita tenglamani qo'shsak, \(y\)-ni tizimdan olib tashlaymiz, shuning uchun biz buni shunday qilamiz.

\[\begin{array}{c} 2{x^2} + {y^2} = 24\\ \underline{ {x^2} - {y^2} = - 12 } \end{array} \\ 3{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12 \]

Buni \(x\) uchun hal qilish juda oson.

\[\begin{align*}3{x^2} & = 12\\ {x^2} & = 4\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \pm \,2\end{align*}\]

\(y\) ning qiymat(lar)ini aniqlash uchun biz ularni tenglamalardan biriga almashtirishimiz mumkin. Biz birinchisidan foydalanamiz, chunki tashvishlanish uchun hech qanday minus belgilar bo'lmaydi.

\(x = 2:\)

\[\begin{align*}2{\left( 2 \right)^2} + {y^2} & = 24\\ 8 + {y^2} & = 24\\ {y^2} & = 16\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = \pm 4\end{align*}\]

\(x = - 2:\)

\[\begin{align*}2{\left( { - 2} \right)^2} + {y^2} & = 24\\ 8 + {y^2} & = 24\\ {y^2} & = 16\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}y = \pm 4\end{align*}\]

E'tibor bering, ushbu tizim uchun oldingi misollardan farqli o'laroq, \(x\) ning har bir qiymati \(y\) ning ikkita mumkin bo'lgan qiymatini berdi. Bu aslida to'rtta echim borligini anglatadi. Ular,

\[\left( {2,4} \right)\hspace{0.25in}\left( {2, - 4} \right)\hspace{0.25in}\left( { - 2,4} \right)\,\,\,\,\,\left( { - 2, - 4} \right)\]

Bu shuningdek, ikkita egri chiziqning to'rtta kesishish nuqtasi bo'lishi kerakligini anglatadi. Bu erda tekshirish uchun eskiz.