Ushbu muammolarning barchasida biz ikkita funktsiyaga ega bo'lamiz. Birinchisi, biz aslida optimallashtirishga harakat qilayotgan funksiya, ikkinchisi esa cheklov bo'ladi. Vaziyatni chizish ko'pincha bu tenglamalarga erishishimizga yordam beradi, shuning uchun buni qilaylik.

Ushbu muammoda biz dala maydonini maksimal darajada oshirishni xohlaymiz va biz bilamizki, 500 fut to'siq materialidan foydalaniladi. Shunday qilib, maydon biz optimallashtirishga harakat qilayotgan funktsiya bo'ladi va fextavonie miqdori cheklovdir. Bular uchun ikkita tenglama,

\[\begin{align*}{\mbox{Maximize : }} & A = xy\\ {\mbox{Constraint : }} & 500 = x + 2y\end{align*}\]

Yaxshi, biz funksiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini qanday topishni bilamiz, agar u faqat bitta o‘zgaruvchiga ega bo‘lsa. Hudud funktsiyasi (shuningdek, cheklov) ikkita o'zgaruvchiga ega va shuning uchun biz mutlaq ekstremallarni topish haqida bilgan narsamiz ishlamaydi. Biroq, agar biz ikkita o'zgaruvchidan biri uchun cheklovni hal qilsak, uni maydonga almashtirishimiz mumkin va biz bitta o'zgaruvchining funktsiyasiga ega bo'lamiz.

Shunday qilib, keling, \(x\) uchun cheklovni hal qilaylik. E'tibor bering, biz \(y\) uchun osonlikcha echishimiz mumkin edi, ammo bu kasrlarga olib kelgan va shuning uchun bu holda \(x\) uchun echish eng yaxshi bo'ladi.

\[x = 500 - 2y\]

Buni maydon funksiyasiga almashtirish \(y\) funksiyasini beradi.

\[A\left( y \right) = \left( {500 - 2y} \right)y = 500y - 2{y^2}\]

Endi biz \(\left[ {0,250} \right]\) oralig'ida buning eng katta qiymatini topmoqchimiz. Ushbu intervaldagi chegaralar \(y = 0\) (i.e. to'siqning hech qanday tomoni yo'q) va \(y = 250\) (i.e. faqat ikkita tomoni va kengligi yo'q, shuningdek, agar ikkita tomon bo'lsa, butun 500 futni ishlatish uchun har biri 250 fut bo'lishi kerak).

E'tibor bering, agar biz biron bir hududni qamrab olmoqchi bo'lsak, intervalning so'nggi nuqtalari jismoniy nuqtai nazardan hech qanday ma'noga ega bo'lmaydi, chunki ular ikkalasi ham nol maydonni beradi. Biroq, ular bizga \(y\) va shunga o'xshash cheklovlar to'plamini beradi Ekstremal qiymat teoremasi ikkita so'nggi nuqta orasidagi maydonning maksimal qiymatiga ega bo'lishini aytadi. Ushbu cheklovlarga ega bo'lish, shuningdek, biz muhokama qilgan jarayondan foydalanishimiz mumkinligini anglatadi Mutlaq ekstremalni topish maydonning maksimal qiymatini topish uchun bobning oldingi qismida.

Shuni esda tutingki, uzluksiz funktsiyaning maksimal qiymati (bizda bu erda mavjud) yopiq oraliqda (bizda ham mavjud) kritik nuqtalarda va/yoki oxirgi nuqtalarda sodir bo'ladi. Yuqorida aytib o'tganimizdek, bu holda yakuniy nuqtalar nol maydonni beradi va shuning uchun hech qanday ma'no yo'q. Bu bizning yagona variantimiz muhim nuqtalar bo'lishini anglatadi.

Shunday qilib, keling, hosilani olamiz va muhim nuqtalarni topamiz.

\[A'\left( y \right) = 500 - 4y\]

Buni nolga tenglashtirish va hal qilish \(y = 125\) ning yagona kritik nuqtasini beradi. Buni hududga ulash \(A\left( {125} \right) = 31250\,{\mbox{f}}{{\mbox{t}}^2}\) maydonini beradi. Shunday qilib, Absolute Extrema bo'limining usuliga ko'ra, bu mumkin bo'lgan eng katta maydon bo'lishi kerak, chunki har ikkala oxirgi nuqtadagi maydon nolga teng.

Va nihoyat, keling, \(x\) qiymatini olishni unutmang va keyin biz o'lchamlarga ega bo'lamiz, chunki bu muammo bayonotida talab qilingan narsa. Biz \(x\)-ni \(y\)-ni cheklovga ulab olishimiz mumkin.

\[x = 500 - 2\left( {125} \right) = 250\]

Biz to'g'ridan-to'g'ri 500 fut to'siq materialidan foydalangan bo'lsak, eng katta maydonni beradigan maydonning o'lchamlari 250 x 125 ni tashkil qiladi.

Muammoni o'qib chiqishni va so'ralgan javobni berishni unutmang. Ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun adolatli vaqt / kuch talab qilinishi mumkin va ba'zida muammo aslida nimani so'raganini unutish qiyin emas.

Birinchidan, tezkor raqam (ehtimol, o'lchov uchun emas ...).

Biz hajm 50 fut bo'lishi kerak bo'lgan cheklovga bog'liq bo'lgan materiallarning narxini minimallashtirishni xohlaymiz³. Shuni ham yodda tutingki, har bir tomon uchun xarajat faqat o'sha tomonning maydoniga tegishli xarajatlarga teng.

Bu safar biz ishlaydigan ikkita funksiya:

\[\begin{align*}{\mbox{Minimize : }} & C = 10\left( {2lw} \right) + 6\left( {2wh + 2lh} \right)\, = 60{w^2} + 48wh\\ {\mbox{Constraint :}}& 50 = lwh = 3{w^2}h\end{align*}\]

Birinchi misolda bo'lgani kabi, biz o'zgaruvchilardan biri uchun cheklovni hal qilamiz va uni xarajatlarga qo'shamiz. \(h\) uchun cheklovni hal qilish, albatta, osonroq bo'ladi, shuning uchun buni qilaylik.

\[h = \frac{{50}}{{3{w^2}}}\]

Buni xarajatga kiritish,

\[C\left( w \right) = 60{w^2} + 48w\left( {\frac{{50}}{{3{w^2}}}} \right) = 60{w^2} + \frac{{800}}{w}\]

Keling, birinchi va ikkinchi hosilalarni olamiz (bu bizga keyinroq kerak bo'ladi ...),

\[C'\left( w \right) = 120w - 800{w^{ - 2}} = \frac{{120{w^3} - 800}}{{{w^2}}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}C''\left( w \right) = 120 + 1600{w^{ - 3}}\]

Endi bizga xarajat funktsiyasi uchun muhim nuqta(lar) kerak. Birinchidan, \(w = 0\) muhim nuqta emasligiga e'tibor bering. Shubhasiz, hosila \(w = 0\) da mavjud emas, lekin funktsiya ham mavjud emas va \(w\) qiymatlari faqat shu nuqtada funksiya mavjud bo'lsa, kritik nuqtalar bo'lishini unutmang. \(w = 0\) dan qochish uchun jismoniy sabab ham borligini unutmang. We are constructing a box and it would make no sense to have a zero width of the box.

So it looks like the only critical point will come from determining where the surat is zero.

\[120{w^3} - 800 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,w = \sqrt[3]{{\frac{{800}}{{120}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{20}}{3}}} = 1.8821\]

Shunday qilib, bizda bitta muhim nuqta bor va endi bu mutlaq minimal xarajatlarni beradigan qiymat ekanligini tekshirishimiz kerak.

Bunday holda biz yuqoridan 1-usuldan foydalana olmaymiz. Birinchidan, funktsiya mumkin bo'lgan qiymatlar oralig'ining so'nggi nuqtalaridan birida, \(w = 0\) da uzluksiz emas, i.e. \(w > 0\). Ikkinchidan, 50 fut hajmli qutini beradigan kenglikning nazariy yuqori chegarasi yo'q.³. Agar \(w\) juda katta bo'lsa, biz \(h\) ni juda kichik qilishimiz kerak.

Yuqorida sanab o'tilgan ikkinchi usul bu erda ishlaydi, ammo bu ba'zi hisob-kitoblarni o'z ichiga oladi, qiyin hisoblar emas, lekin shunga qaramay ko'proq ishlaydi.

Uchinchi usul bu erda tez va sodda ishlaydi. Birinchidan, biz bilamizki, biz \(w\) qiymati qanday bo'lishidan qat'i nazar, ijobiy bo'lishi kerak va biz yuqorida berilgan ikkinchi hosilani ko'rishimiz mumkin \(w > 0\) bizda \(C''\left( w \right) > 0\) bo'ladi va shuning uchun mumkin bo'lgan optimal qiymatlar oralig'ida xarajat funktsiyasi har doim konkav bo'ladi va shuning uchun \(w = 1.8821\) mutlaq minimal narxni berishi kerak.

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa qolgan o'lchamlarni topishdir.

\[\begin{align*}w & = 1.8821\\ l & = 3w = 3\left( {1.8821} \right) = 5.6463\\ h & = \frac{{50}}{{3{w^2}}} = \frac{{50}}{{3{{\left( {1.8821} \right)}^2}}} = 4.7050\end{align*}\]

Bundan tashqari, so'ralmagan bo'lsa ham, minimal narx: \(C\left( {1.8821} \right) = \$ 637.60\).

Bu misol ko'p jihatdan oldingi misolga mutlaqo ziddir. Bunday holda, biz hajmni optimallashtirishni xohlaymiz va bu vaqtdagi cheklov - ishlatiladigan material miqdori. Bu erda bizda hech qanday xarajat yo'q, lekin agar siz bu haqda o'ylayotgan bo'lsangiz, xarajat sarflangan material miqdoridan boshqa narsa emas va shuning uchun material miqdori va xarajatlar bir-biriga bog'langan. Agar birini qila olsangiz, boshqasini ham qila olasiz. Shuni ham yodda tutingki, ishlatilgan material miqdori qutining sirt maydonidir.

As always, let’s start off with a quick sketch of the box.

Now, as mentioned above we want to maximize the volume and the amount of material is the constraint so here are the equations we’ll need.

\[\begin{align*}{\mbox{Maximize : }} & V = lwh = {w^2}h\\ {\mbox{Constraint :}} & 10 = 2lw + 2wh + 2lh\, = 2{w^2} + 4wh\end{align*}\]

Biz \(h\) uchun cheklovni hal qilamiz va uni hajm tenglamasiga kiritamiz.

\[h = \frac{{10 - 2{w^2}}}{{4w}} = \frac{{5 - {w^2}}}{{2w}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,V\left( w \right) = {w^2}\left( {\frac{{5 - {w^2}}}{{2w}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {5w - {w^3}} \right)\]

Bu yerda hajm funksiyasining birinchi va ikkinchi hosilalari keltirilgan.

\[V'\left( w \right) = {{1 \over 2}}\left( {5 - 3{w^2}} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}V''\left( w \right) = - 3w\]

Bu erda, shuningdek, \(w > 0\) taqdim etilganiga e'tibor bering, jismoniy nuqtai nazardan biz bilamizki, bu qutining kengligi uchun to'g'ri bo'lishi kerak, keyin ovoz balandligi funktsiyasi pastga tushadi va shuning uchun biz bitta kritik nuqtani olsak, u mutlaq maksimalni beradigan qiymat bo'lishi kerakligini bilamiz.

Birinchi hosilani nolga tenglashtirib yechish bizga quyidagi ikkita kritik nuqtani beradi:

\[w = \pm \,\sqrt {\frac{5}{3}} = \pm \,1.2910\]

In this case we can exclude the negative critical point since we are dealing with a length of a box and we know that these must be positive. Biroq, har qanday salbiy tanqidiy nuqtani istisno qilishga odatlanmang. There are problems where negative critical points are perfectly valid possible solutions.

Endi, yuqorida aytib o'tilganidek, biz bitta kritik nuqtaga ega bo'ldik, 1,2910 va shuning uchun bu maksimal hajmni beradigan qiymat bo'lishi kerak va maksimal hajm muammo bayonotida so'ralgan narsa bo'lgani uchun javob: \[V\left( {1.2910} \right) = 2.1517\,{{\mbox{m}}^3}\].

Shuni ham ta'kidlab o'tishimiz mumkin ediki, agar \(0 < w < 1.2910\) keyin \(V'\left( w \right) > 0\) (sinov nuqtasi yordamida bizda \(V'\left( 1 \right) = 1 > 0\) bor) va xuddi shunday bo'lsa, \(w > 1.2910\) bo'lsa, \(V'\left( w \right) < 0\) (sinov nuqtasidan foydalanib, bizda \(V'\left( 2 \right) = - {\frac{7}{2}} < 0\) bor) va agar biz har doim o'ngga kritik bo'lsak va chap tomonda ovoz balandligini oshirishimiz mumkin. nuqta hajmi har doim kamayib boradi va shuning uchun yuqoridagi 2-usul orqali biz bitta kritik nuqta hajmning mutlaq maksimalini berishi kerakligini ham ko'rishimiz mumkin.

Finally, even though these weren’t asked for here are the dimension of the box that gives the maximum volume.

\[l = w = 1.2910\hspace{1.0in}h = \frac{{5 - {{1.2910}^2}}}{{2\left( {1.2910} \right)}} = 1.2910\]

So, it looks like in this case we actually have a perfect cube.

Yechimni boshlashdan oldin, biz hajm uchun litrdan foydalanayotganimizni ko'rib chiqaylik. Biz radius va balandlik uchun uzunlik o'lchovlarini xohlayotganimiz sababli, uzunlik o'lchovi bo'yicha hajm ham kerak bo'ladi. Buni 1 Litr = 1000 sm ekanligidan foydalanib, osonlik bilan amalga oshirishimiz mumkin³ va shuning uchun biz 1,5 litrni 1500 sm ga aylantira olamiz³. Bu, o'z navbatida, santimetrda radius va balandlikni beradi.

Ushbu muammoda cheklov hajmdir va biz ishlatiladigan material miqdorini minimallashtirishni xohlaymiz. Bu shuni anglatadiki, biz kamaytirmoqchi bo'lgan narsa bankaning sirt maydoni va biz qutining devorlarini, shuningdek, yuqori va pastki "qopqoqlarni" o'z ichiga olishimiz kerak. Mana bizni boshlash uchun tezkor eskiz.

Bizga bu qutining sirt maydoni kerak bo'ladi va bu quti devorlarining sirt maydoni (bu shunchaki silindr) va yuqori va pastki qopqoqlarning maydoni (bu shunchaki disklar va ulardan ikkitasi borligini unutmang).

E'tibor bering, agar siz \(h\) balandlikdagi silindrni va \(r\) radiusini bir-birining ustiga qo'yilgan disklar/doiralar to'plami deb hisoblasangiz, sirt maydoni va hajmi uchun tenglamalarni eslab qolish juda oson. Ovoz balandligi disklarning har birining maydoniga teng. Xuddi shunday, tsilindr devorlarining sirt maydoni har bir aylananing aylanasi balandligiga teng. Bundan tashqari, ikkita qopqoq maydoniga \(\pi {r^2}\) ni umumiy sirt maydoniga qo'shishni unuta olmaymiz.

Shunday qilib, silindr devorlarining hajmi va sirtining tenglamasi,

\[V = \left( {\pi {r^2}} \right)\left( h \right) = \pi {r^2}h\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}A = \left( {2\pi r} \right)\left( h \right) = 2\pi rh\]

Silindr qopqoqlarining sirt maydonini sirt maydoniga qo'shsak, bu muammo uchun bizga kerak bo'ladigan tenglamalar:

\[\begin{align*}{\mbox{Minimize : }} & A = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\\ {\mbox{Constraint :}} & 1500 = \pi {r^2}h\end{align*}\]

Bunday holda, bizning eng yaxshi variantimiz \(h\) uchun cheklovni hal qilish va uni hudud funksiyasiga ulash kabi ko'rinadi.

\[h = \frac{{1500}}{{\pi {r^2}}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}A\left( r \right) = 2\pi r\left( {\frac{{1500}}{{\pi {r^2}}}} \right) + 2\pi {r^2} = 2\pi {r^2} + \frac{{3000}}{r}\]

E'tibor bering, bu formula faqat jismoniy nuqtai nazardan ma'noga ega bo'ladi, agar \(r > 0\) yaxshi narsa, chunki u \(r = 0\) da aniqlanmagan.

Keyin, birinchi hosilani olamiz.

\[A'\left( r \right) = 4\pi r - \frac{{3000}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 3000}}{{{r^2}}}\]

Bundan bizda bitta muhim nuqta borligini ko'rishimiz mumkin: \(r = \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}} = 6.2035\) (bu erda hosila nolga teng). E'tibor bering, \(r = 0\) muhim nuqta emas, chunki u erda maydon funksiyasi mavjud emas, bu jismoniy nuqtai nazardan mantiqiy bo'ladi, shuningdek, biz \(r\) qutiga ega bo'lishi uchun ijobiy bo'lishi kerakligini bilamiz.

So, we only have a single critical point to deal with here and notice that 6.2035 is the only value for which the derivative will be zero and hence the only place (with \(r > 0\) of course) that the derivative may change sign. Test nuqtalaridan foydalanib, agar \(0 < r < 6.2035\) keyin \(A'\left( r \right) < 0\) yoki \(r > 6.2035\) keyin \(A'\left( r \right) > 0\) ekanligini tekshirish qiyin emas. Yuqoridagi Birinchi hosilaviy testning varianti bizga hududning mutlaq minimal qiymatini (\(r > 0\) uchun) sodir bo'lishi kerakligini aytadi. \[r = 6.2035\].

Buning uchun biz faqat qutining balandligini aniqlashimiz kerak va biz tugatamiz.

\[h = \frac{{1500}}{{\pi {{\left( {6.2035} \right)}^2}}} = 12.4070\]

Therefore, if the manufacturer makes the can with a radius of 6.2035 cm and a height of 12.4070 cm the least amount of material will be used to make the can.

Keling, qutining balandligi \(h\) bo'lsin. So, the width/length of the corners being cut out is also \(h\) and so the vertical side will have a “new” height of \(10 - 2h\) and the horizontal side will have a “new” width of \(14 - 2h\). Mana bu ma'lumotlarning barchasi kiritilgan eskiz,

Ushbu misolda biz birinchi marta muammoga duch keldik, unda cheklov haqiqatan ham tenglamaga ega emas. Cheklov oddiygina karton bo'lagining o'lchamidir va u allaqachon yuqoridagi rasmga kiritilgan. Bu ba'zida sodir bo'ladi, shuning uchun bu sodir bo'lganda hayajonlanmang. Bu shuni anglatadiki, bizda tashvishlanish uchun bitta kamroq tenglama bor. Bunday holda biz tovushni maksimal darajada oshirishni xohlaymiz. Mana \(h\) va uning birinchi hosilasi bo'yicha hajm.

\[V\left( h \right) = h\left( {14 - 2h} \right)\left( {10 - 2h} \right) = 140h - 48{h^2} + 4{h^3}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}V'\left( h \right) = 140 - 96h + 12{h^2}\]

Birinchi hosilani nolga tenglashtirish va yechish quyidagi ikkita muhim nuqtani beradi:

\[h = \frac{{12 \pm \sqrt {39} }}{3} = 1.9183,\,\,\,\,6.0817\]

Endi bizda aniq muammo bor. Bizda ikkita muhim nuqta bor va qaysi biri bizga kerak bo'lgan qiymat ekanligini aniqlashimiz kerak. The fact that we have two critical points means that neither the first derivative test or the second derivative test can be used here as they both require a single critical point. Biroq, bu haqiqiy muammo emas. Yechimning boshidagi rasmga qayting va \(h\)-da cheklovlarni osongina topishimiz mumkinligiga e'tibor bering. Eng kichik \(h\) \(h = 0\) bo'lishi mumkin, garchi bu unchalik ma'noga ega emas, chunki bu holda biz quti olmaymiz. Also, from the 10 inch side we can see that the largest \(h\) can be is \(h = 5\) although again, this doesn’t make much sense physically.

So, knowing that whatever \(h\) is it must be in the range \(0 \le h \le 5\) we can see that the second critical point is outside this range and so the only critical point that we need to worry about is 1.9183.

Finally, since the volume is defined and continuous on \(0 \le h \le 5\) all we need to do is plug in the critical points and endpoints into the volume to determine which gives the largest volume. Mana o'sha funktsiyalarni baholash.

\[V\left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}V\left( {1.9183} \right) = 120.1644\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}V\left( 5 \right) = 0\]

Shunday qilib, agar biz \(h = 1.9183\) ni olsak, biz maksimal hajmni olamiz.

Bu muammo oldingi muammolardan bir oz farq qiladi. Biz optimallashtiradigan cheklov ham, funksiya ham sohalardir. Cheklov shundaki, afishaning umumiy maydoni 200 dyuym bo'lishi kerak² biz chop etilgan maydonni optimallashtirishni xohlaymiz (i.e. chetlari olib tashlangan afishaning maydoni).

Keling, afishaning balandligini \(h\), enini esa \(w\) deb belgilaymiz. Mana afishaning yangi eskizi va biz chetlarini hisobga olganimizdan so'ng chop etilgan maydonning kengligi \(w - 2\) va printer maydonining balandligi \(h - 3.5\) ekanligini ko'rishimiz mumkin.

Mana biz ishlaydigan tenglamalar.

\[\begin{align*}{\mbox{Maximize : }} & A = \left( {w - 2} \right)\left( {h - 3.5} \right)\\ {\mbox{Constraint :}} & 200 = wh\end{align*}\]

\(h\) uchun cheklovni yechish va bosilgan maydon uchun tenglamaga ulanish,

\[A\left( w \right) = \left( {w - 2} \right)\left( {\frac{{200}}{w} - 3.5} \right) = 207 - 3.5w - \frac{{400}}{w}\]

Birinchi va ikkinchi hosilalar,

\[A'\left( w \right) = - 3.5 + \frac{{400}}{{{w^2}}} = \frac{{400 - 3.5{w^2}}}{{{w^2}}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}A''\left( w \right) = - \frac{{800}}{{{w^3}}}\]

Birinchi hosiladan biz quyidagi ikkita muhim nuqtaga egamiz (\(w = 0\) muhim nuqta emas, chunki u erda maydon funktsiyasi mavjud emas).

\[w = \pm \,\sqrt {\frac{400}{3.5}} = \pm \,10.6904\]

Biroq, biz qog'ozning o'lchamlari bilan shug'ullanayotganimiz sababli, bizda \(w > 0\) bo'lishi kerakligini bilamiz va shuning uchun faqat 10,6904 mantiqiy bo'ladi.

Shuni ham yodda tutingki, \(w > 0\) taqdim etilgan ikkinchi hosila har doim manfiy bo'ladi va shuning uchun kenglikning mumkin bo'lgan optimal qiymatlari oralig'ida maydon funktsiyasi har doim bo'g'iq bo'ladi va shuning uchun biz maksimal bosilgan maydon \(w = 10.6904\,\,{\mbox{inches}}\) da bo'lishini bilamiz.

Maksimal bosib chiqarish maydonini beradigan qog'oz balandligi, keyin,

\[h = \frac{{200}}{{10.6904}} = 18.7084\,\,{\mbox{inches}}\]