9.1-bo'lim: Issiqlik tenglamasi
Qisman differentsial tenglamalarni echishga kirishishdan oldin va hatto o'zgaruvchilarni ajratish usulini muhokama qilishni boshlashdan oldin, biz keyinroq bobda yechishimiz kerak bo'lgan ikkita asosiy qisman differentsial tenglamalar haqida gapirishga biroz vaqt sarflamoqchimiz. Birinchisini ushbu bo'limda, ikkinchisini esa keyingi bo'limda ko'rib chiqamiz.
Biz echishni boshlaganimizdan so'ng ko'rib chiqadigan birinchi qisman differentsial tenglama ob'ektdagi harorat taqsimotini boshqaradigan issiqlik tenglamasi bo'ladi. Biz mos yozuvlar uchun issiqlik tenglamasining bir nechta shakllarini keltiramiz, ammo biz ulardan faqat bittasini hal qilamiz.
Biz \(L\) uzunlikdagi 1-D shtrixdagi haroratni hisobga olishdan boshlaymiz. Buning ma'nosi shundaki, biz bar \(x = 0\) da boshlanadi va \(x = L\) ga yetganimizda tugaydi deb taxmin qilamiz. Shuningdek, biz \(x\) har qanday joyda harorat o'sha \(x\) kesmasining har bir nuqtasida doimiy bo'lishini taxmin qilamiz. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, harorat faqat \(x\) da o'zgaradi va shuning uchun biz barni 1 o'lchovli chiziq deb hisoblashimiz mumkin. E'tibor bering, bu taxmin bilan kesmaning haqiqiy shakli (i.e. dumaloq, to'rtburchaklar, va hokazo.) muhim emas.
E'tibor bering, 1-D taxmini, birinchi qarashda ko'rinadigan darajada yomon taxmin emas. Agar barning lateral yuzasi mukammal izolyatsiya qilingan deb hisoblasak (i.e. hech qanday issiqlik lateral sirt orqali oqishi mumkin emas) keyin issiqlik har ikki uchida bo'lgani kabi barga kirishi yoki chiqishining yagona yo'li. Bu shuni anglatadiki, issiqlik faqat chapdan o'ngga yoki o'ngdan chapga oqishi va shu bilan 1-D harorat taqsimotini yaratishi mumkin.
Yon yuzalarning mukammal izolyatsiya qilinganligini taxmin qilish, albatta, mumkin emas, lekin lateral yuzalarga etarlicha izolyatsiyani qo'yish mumkin, ular orqali juda kam issiqlik oqimi bo'ladi va shuning uchun, hech bo'lmaganda, bir muddat lateral yuzalarni mukammal izolyatsiya qilingan deb hisoblashimiz mumkin.
Xo'sh, keling, issiqlik tenglamasining birinchi shaklini yozishdan oldin ba'zi ta'riflardan voz kechaylik.
\[\begin{align*}&u\left( {x,t} \right) = {\mbox{Temperature at any point }}x{\mbox{ and any time }}t\\ & c\left( x \right) = {\mbox{Specific Heat}}\\ & \rho \left( x \right) = {\mbox{Mass Density}}\\ & \varphi \left( {x,t} \right) = {\mbox{Heat Flux}}\\ & Q\left( {x,t} \right) = {\mbox{Heat energy generated per unit volume per unit time}}\end{align*}\]Davom etishdan oldin, ehtimol, ushbu miqdorlarning ba'zilari haqida bir nechta sharhlar berishimiz kerak.
Materialning o'ziga xos issiqligi, \(c\left( x \right) > 0\) - bu materialning bir birlik massasini bir birlik haroratga oshirish uchun zarur bo'lgan issiqlik energiyasining miqdori. Yuqorida aytib o'tilganidek, biz, hech bo'lmaganda, o'ziga xos issiqlik bar bo'ylab bir xil bo'lmasligi mumkin deb taxmin qilamiz. Shuni ham yodda tutingki, amalda o'ziga xos issiqlik haroratga bog'liq. Biroq, bu odatda faqat katta harorat farqlari uchun muammo bo'ladi (bu o'z navbatida novda qilingan materialga bog'liq) va shuning uchun biz ushbu munozarada harorat farqlari bizning yechimimizga ta'sir qiladigan darajada katta emas deb taxmin qilamiz.
Massa zichligi, \(\rho \left( x \right)\), materialning birlik hajmiga to'g'ri keladigan massadir. O'ziga xos issiqlikda bo'lgani kabi, biz dastlab massa zichligi bar bo'ylab bir xil bo'lmasligi mumkin deb taxmin qilamiz.
Issiqlik oqimi, \(\varphi \left( {x,t} \right)\), vaqt birligida birlik sirt maydoni uchun o'ngga oqadigan issiqlik energiyasining miqdori. "O'ngga oqadi" biti shunchaki ma'lum qiladiki, agar \(\varphi \left( {x,t} \right) > 0\) ba'zi \(x\) va \(t\) uchun bo'lsa, issiqlik o'sha nuqta va vaqtda o'ngga oqadi. Xuddi shunday, agar \(\varphi \left( {x,t} \right) < 0\) bo'lsa, u holda issiqlik o'sha nuqta va vaqtda chapga oqadi.
Yuqorida biz aniqlagan yakuniy miqdor \(Q\left( {x,t} \right)\) bo'lib, u har qanday tashqi manbalar yoki lavabolarni ifodalash uchun ishlatiladi (i.e. tizimdan olingan issiqlik energiyasi) issiqlik energiyasi. Agar \(Q\left( {x,t} \right) > 0\) o'sha joyda va vaqtda tizimga issiqlik energiyasi qo'shiladi va \(Q\left( {x,t} \right) < 0\) bo'lsa, issiqlik energiyasi o'sha joy va vaqtda tizimdan chiqariladi.
Bu miqdorlar bilan issiqlik tenglamasi,
\[\begin{equation}c\left( x \right)\rho \left( x \right)\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} + Q\left( {x,t} \right)\label{eq:eq1}\end{equation}\]Bu issiqlik tenglamasining yaxshi shakli bo'lsa-da, bu aslida biz hal qila oladigan narsa emas. Ushbu shaklda ikkita noma'lum funksiya mavjud, \(u\) va \(\varphi \) va shuning uchun biz ulardan biridan xalos bo'lishimiz kerak. Bilan Furye qonuni biz bu tenglamadan issiqlik oqimini osongina olib tashlashimiz mumkin.
Furye qonuni shuni ko'rsatadiki,
\[\varphi \left( {x,t} \right) = - {K_0}\left( x \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\]bu erda \({K_0}\left( x \right) > 0\) issiqlik o'tkazuvchanligi materialni o'lchaydi va ma'lum materialning issiqlik o'tkazish qobiliyatini o'lchaydi. Material issiqlikni qanchalik yaxshi o'tkaza olsa, \({K_0}\left( x \right)\) shunchalik katta bo'ladi. Ta'kidlanganidek, issiqlik o'tkazuvchanligi bardagi joylashuvga qarab farq qilishi mumkin. Bundan tashqari, o'ziga xos issiqlik kabi, issiqlik o'tkazuvchanligi ham haroratga qarab o'zgarishi mumkin, ammo biz umumiy harorat o'zgarishi unchalik katta emasligini taxmin qilamiz, bu muammo bo'ladi va shuning uchun biz bu erda issiqlik o'tkazuvchanligi haroratga qarab o'zgarmasligini taxmin qilamiz.
Furye qonuni issiqlik oqimi haqida biz bilgan narsalarni modellashtirishda juda yaxshi ish qiladi. Birinchidan, biz bilamizki, agar mintaqadagi harorat doimiy bo'lsa, i.e.\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 0\), keyin issiqlik oqimi yo'q.
Keyinchalik, biz bilamizki, agar mintaqada harorat farqi bo'lsa, issiqlik mintaqaning issiq qismidan sovuq qismiga oqib o'tadi. Misol uchun, agar u o'ngga issiqroq bo'lsa, biz bilamizki, issiqlik chapga oqishi kerak. O'ngga issiqroq bo'lsa, biz \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} > 0\) (i.e. biz o'ngga o'tganimizda harorat oshadi) va shuning uchun bizda \(\varphi < 0\) bo'ladi va shuning uchun issiqlik chapga kerakli darajada oqadi. Xuddi shunday, agar \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} < 0\) (i.e. u chapga issiqroq) keyin bizda bo'ladi \[\varphi > 0\] va issiqlik kerakli darajada o'ngga oqadi.
Nihoyat, mintaqadagi harorat farqi qanchalik katta bo'lsa (i.e. \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\) qanchalik katta bo'lsa) issiqlik oqimi shunchalik katta bo'ladi.
Shunday qilib, agar Furye qonunini \(\eqref{eq:eq1}\) ga qo'shsak, issiqlik tenglamasining quyidagi shaklini olamiz,
\[\begin{equation}c\left( x \right)\rho \left( x \right)\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{K_0}\left( x \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right) + Q\left( {x,t} \right)\label{eq:eq2}\end{equation}\]E'tibor bering, biz allaqachon mavjud bo'lgan minus belgisini bekor qilish uchun hosiladan minus belgisini ajratdik. Biroq, biz issiqlik o'tkazuvchanligini hosiladan ajratib ko'rsata olmaymiz, chunki u \(x\) funktsiyasidir va hosila \(x\) ga nisbatan.
\(\eqref{eq:eq2}\) ni yechish termal xususiyatlarning bir xil bo'lmaganligi va massa zichligi tufayli juda qiyin. Shunday qilib, keling, bu xususiyatlarning barchasi doimiy deb faraz qilaylik, i.e.,
\[c\left( x \right) = c\hspace{0.25in}\rho \left( x \right) = \rho \hspace{0.25in}{K_0}\left( x \right) = {K_0}\]bu erda \(c\), \(\rho \) va \({K_0}\) endi barcha sobit miqdorlardir. Bunday holda, biz odatda bardagi materialni aytamiz forma. Ushbu taxminlar ostida issiqlik tenglamasi bo'ladi:
\[\begin{equation}c\rho \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = {K_0}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + Q\left( {x,t} \right)\label{eq:eq3}\end{equation}\]Issiqlik tenglamasini yakuniy soddalashtirish uchun ikkala tomonni \(c\rho \) ga ajratamiz va aniqlaymiz. termal diffuziya to be,
\[k = \frac{{{K_0}}}{{c\rho }}\] \[\begin{equation}\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = k\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{Q\left( {x,t} \right)}}{{c\rho }}\label{eq:eq4}\end{equation}\]Ko'pchilik uchun ular issiqlik tenglamasi haqida gapirganda nimani anglatadi va aslida bu biz hal qiladigan tenglama bo'ladi. Ha, aslida biz \(\eqref{eq:eq4}\) ni tashqi manbalarsiz hal qilamiz, i.e.\(Q\left( {x,t} \right) = 0\), lekin biz bir nechta bo'limlarda o'zgaruvchilarni ajratishni muhokama qilishni boshlaganimizda ushbu shaklni ko'rib chiqamiz. Biz issiqlik tenglamasini echishni boshlaganimizdagina manba atamasini olib tashlaymiz.
Endi biz 1 o'lchovli issiqlik tenglamasini oldik, biz muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan boshlang'ich va chegara shartlariga o'tishimiz kerak. Agar siz avvalgi bo'limlarda qilgan oddiy differensial tenglamalar yechimlarimizdan biriga qaytsangiz, talab qilinadigan shartlar soni har doim tenglamadagi hosilaning eng yuqori tartibiga mos kelishini ko'rishingiz mumkin.
Qisman differensial tenglamalarda bir xil fikr mavjud, bundan mustasno, endi biz farqlanadigan o'zgaruvchiga ham e'tibor qaratishimiz kerak. Shunday qilib, issiqlik tenglamasi uchun bizda birinchi tartibli vaqt hosilasi bor va shuning uchun bizga bitta boshlang'ich shart va ikkinchi tartibli fazoviy hosila kerak bo'ladi, shuning uchun bizga ikkita chegara sharti kerak bo'ladi.
Bu erda biz ishlatadigan dastlabki shart:
\[u\left( {x,0} \right) = f\left( x \right)\]va bu erda biz bu haqda ko'p gapirishimiz shart emas, bundan tashqari, bu faqat bardagi dastlabki harorat taqsimoti nima ekanligini aytib beradi.
Chegara shartlari bizga barning chegaralarida harorat va/yoki issiqlik oqimi nima qilayotgani haqida biror narsa aytib beradi. Ulardan to'rttasi juda keng tarqalgan chegara shartlari.
Biz ega bo'lishi mumkin bo'lgan birinchi turdagi chegara shartlari bo'lishi mumkin belgilangan harorat chegara shartlari, deb ham ataladi Dirixlet shartlari. Belgilangan harorat chegarasi shartlari:
\[u\left( {0,t} \right) = {g_1}\left( t \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}u\left( {L,t} \right) = {g_2}\left( t \right)\]Keyingi turdagi chegara shartlari belgilangan issiqlik oqimi, deb ham ataladi Neyman shartlari. Furye qonunidan foydalanib, ularni quyidagicha yozish mumkin:
\[ - {K_0}\left( 0 \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {0,t} \right) = {\varphi _1}\left( t \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} - {K_0}\left( L \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {L,t} \right) = {\varphi _2}\left( t \right)\]Agar chegaralardan biri bo'lsa mukammal izolyatsiyalangan, i.e. Ulardan issiqlik oqimi bo'lmasa, bu chegara sharoitlari kamayadi,
\[\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {0,t} \right) = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {L,t} \right) = 0\]va shuni yodda tutingki, biz ko'pincha bu maxsus chegara shartlarini chaqiramiz izolyatsiyalangan chegaralari va "mukammal" qismini tashlab.
Uchinchi turdagi chegara shartlaridan foydalanish Nyutonning sovutish qonuni va ba'zan deyiladi Robins shartlari. Ular odatda bar harakatlanuvchi suyuqlikda bo'lganda ishlatiladi va biz bu maqsadda havoni suyuqlik deb hisoblashimiz mumkin.
Mana shunday chegaraviy holat uchun tenglamalar.
\[ - {K_0}\left( 0 \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {0,t} \right) = - H\left[ {u\left( {0,t} \right) - {g_1}\left( t \right)} \right]\hspace{0.25in} - {K_0}\left( L \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {L,t} \right) = H\left[ {u\left( {L,t} \right) - {g_2}\left( t \right)} \right]\]bu erda \(H\) - eksperimental tarzda aniqlangan ijobiy miqdor va \({g_1}\left( t \right)\) va \({g_2}\left( t \right)\) tegishli chegaralarda atrofdagi suyuqlikning haroratini beradi.
E'tibor bering, ikkita shart biz qaysi chegarada ekanligimizga qarab bir oz farq qiladi. \(x = 0\) da o'ng tomonda minus belgisi bor, \(x = L\) da esa yo'q. Bu nima uchun ekanligini bilish uchun avval \(x = 0\) da bizda \(u\left( {0,t} \right) > {g_1}\left( t \right)\) bor deb faraz qilaylik. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bar atrofdagi suyuqlikdan issiqroq va shuning uchun \(x = 0\) da issiqlik oqimi (tenglamaning chap tomonida berilgan) chapga yoki salbiy bo'lishi kerak, chunki issiqlik issiqroq chiziqdan sovuqroq atrofdagi suyuqlikka oqib o'tadi. Agar issiqlik oqimi salbiy bo'lsa, biz o'ng tomonda minus belgisiga ega bo'lishimiz kerak tenglama to'g'ri belgiga ega ekanligiga ishonch hosil qilish uchun.
Agar bar \(x = 0\) da atrofdagi suyuqlikdan sovuqroq bo'lsa, i.e. \(u\left( {0,t} \right) < {g_1}\left( t \right)\) minus belgisini oqlash uchun shunga o'xshash dalillar keltirishimiz mumkin. Buni tekshirishni sizga qoldiramiz.
Agar biz boshqa uchiga qarasak, \(x = L\) va yana bar atrofdagi suyuqlikdan yoki \(u\left( {L,t} \right) > {g_2}\left( t \right)\) dan issiqroq deb faraz qilamiz. Bu holda issiqlik oqimi o'ngda bo'lishi kerak yoki ijobiy bo'lishi kerak va shuning uchun bu holda biz minus belgisiga ega bo'la olmaymiz. Va nihoyat, \(x = L\) da minus belgisi bo'lishi mumkin emasligini tekshirish uchun uni yana sizga qoldiramiz, bu bar atrofdagi suyuqlikdan ham sovuqroq.
E'tibor bering, biz bu erda hech qanday chegara shartlarini ko'rib chiqmaymiz. Chegaraviy shartlarning bunday turlari chegaraviy muammolarga olib keladi, masalan 5-misol oldingi bobning xususiy qiymatlar va xususiy funktsiyalar bo'limida. Ushbu misolda ko'rganimizdek, o'z qiymatlariga ega bo'lish ko'pincha juda qiyin va oxir-oqibat biz ularga kerak bo'lishini ko'ramiz.
Shu o'rinda shuni ta'kidlash kerakki, biz ushbu chegaraviy shartlarni aralashtirib, moslashtirishimiz mumkin. Misol uchun, bir chegarada belgilangan harorat va boshqa chegarada belgilangan oqim bo'lishining hech qanday yomon joyi yo'q, shuning uchun har doim bir xil chegara holati ikkala uchida ham paydo bo'lishini kutmang. Bu ogohlantirish hozirgi paytda ko'rinishi muhimroqdir, chunki biz issiqlik tenglamasini echishga kirishganimizdan so'ng, muammoni biroz soddalashtirish uchun har bir uchida bir xil holatga ega bo'lamiz.
Bu erda bizga kerak bo'ladigan chegara shartlarining oxirgi turi davriy chegara shartlari. Davriy chegara shartlari,
\[u\left( { - L,t} \right) = u\left( {L,t} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( { - L,t} \right) = \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\left( {L,t} \right)\]E'tibor bering, bu turdagi chegara shartlari uchun chap chegara oldingi turdagi chegara shartlarida foydalanganimizdek \(x = 0\) o'rniga \(x = - L\) bo'ladi. Davriy chegara shartlari biz yo'lda ko'rib chiqiladigan bir nechta aniq geometriyalardan tabiiy ravishda paydo bo'ladi.
Endi biz ushbu bo'limni issiqlik tenglamasining 2-D va 3-D versiyasini tez ko'rib chiqish bilan yakunlaymiz. Biroq, bunga o'tishdan oldin, avval bir oz notatsiyani kiritishimiz kerak.
del operator sifatida belgilanadi,
\[\nabla = \frac{\partial }{{\partial x}}\vec i + \frac{\partial }{{\partial y}}\vec j\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\nabla = \frac{\partial }{{\partial x}}\vec i + \frac{\partial }{{\partial y}}\vec j + \frac{\partial }{{\partial z}}\vec k\]2 yoki 3 o'lchovda ekanligimizga bog'liq. Del operatorini funktsiyalarni argument sifatida qabul qiluvchi funktsiya sifatida tasavvur qiling (biz o'rganganimizdek raqamlar o'rniga). Operatorga qaysi funksiyani "ulaganimizdan" qat'iy nazar, qisman hosilalarga kiritiladi.
Shunday qilib, masalan, 3-D da bizda shunday bo'ladi:
\[\nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\vec i + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\vec j + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\vec k\]Bu, albatta, \(f\left( {x,y,z} \right)\) funktsiyasining gradientidir.
Del operatori funksiyaning divergensiyasini tez yozishga ham imkon beradi. Shunday qilib, yana 3-D misol sifatida \(f\left( {x,y,z} \right)\) ning farqlanishini del operatori va funksiyaning nuqta mahsuloti sifatida yozish mumkin. Yoki,
\[\nabla \centerdot f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\]Va nihoyat, biz ishimizda quyidagi ko'rinishlarni ko'ramiz,
\[\nabla \centerdot \left( {\nabla f} \right) = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right) = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {z^2}}}\]Bu odatda quyidagicha belgilanadi:
\[{\nabla ^2}f = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {z^2}}}\]va deyiladi Laplasiyalik. 2-D versiyasi, albatta, uchinchi muddatga ega emas.
Xo'sh, endi biz issiqlik tenglamasining 2-D va 3-D versiyasini ko'rib chiqishimiz mumkin va del operatori va yoki Laplacian paydo bo'lganda, uni mos o'lchamli versiya deb hisoblaymiz.
\(\eqref{eq:eq1}\) ning yuqori o'lchamli versiyasi:
\[\begin{equation}c\rho \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = - \nabla \centerdot \,\varphi + Q\label{eq:eq5}\end{equation}\]va o'ziga xos issiqlik, \(c\) va massa zichligi, \(\rho \), bir xil bo'lmasligi va fazoviy o'zgaruvchilarning funktsiyalari bo'lishi mumkinligini unutmang. Xuddi shunday, tashqi manbalar atamasi, \(Q\) ham fazoviy o'zgaruvchilar va vaqtning funktsiyasi bo'lishi mumkin.
Keyinchalik, Furye qonunining yuqori o'lchovli versiyasi:
\[\varphi = - {K_0}\nabla u\]Bu erda issiqlik o'tkazuvchanligi, \({K_0}\), yana fazoviy o'zgaruvchilarning funktsiyasi deb qabul qilinadi.
Agar biz buni \(\eqref{eq:eq5}\) ga ulasak, biz bir xil bo'lmagan chiziq uchun issiqlik tenglamasini olamiz (i.e. termal xususiyatlar tashqi manbalar/lavabolar bilan fazoviy o'zgaruvchilarning funktsiyalari bo'lishi mumkin,
\[c\rho \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \nabla \centerdot \,\left( {{K_0}\nabla u} \right) + Q\]Agar biz o'ziga xos issiqlik, massa zichligi va issiqlik o'tkazuvchanligini doimiy deb hisoblasak (i.e. bar bir xil) issiqlik tenglamasi bo'ladi,
\[\begin{equation}\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = k{\nabla ^2}u + \frac{Q}{{cp}}\label{eq:eq6}\end{equation}\]Bu erda biz termal diffuziyani olish uchun ikkala tomonni \(c\rho \) ga bo'ldik, \(k\) Laplasian oldida.
2-D yoki 3-D issiqlik tenglamasining dastlabki sharti:
\[u\left( {x,y,0} \right) = f\left( {x,y} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}u\left( {x,y,z,0} \right) = f\left( {x,y,z} \right)\]biz joylashgan o'lchamga bog'liq.
Belgilangan harorat chegara holatiga aylanadi,
\[u\left( {x,y,t} \right) = T\left( {x,y,t} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}u\left( {x,y,z,t} \right) = T\left( {x,y,z,t} \right)\]Bu erda \(\left( {x,y} \right)\) yoki \(\left( {x,y,z} \right)\), biz joylashgan o'lchamga qarab, biz haroratni belgilaydigan chegaraning bir qismiga o'tadi.
Belgilangan issiqlik oqimi holati,
\[ - {K_0}\nabla u\,\centerdot \,\vec n = \varphi \left( t \right)\]bu erda chap tomon faqat chegara bo'ylab nuqtalarda baholanadi va \(\vec n\) sirtdagi normal tashqi birlikdir.
Nyutonning sovutish qonuni bo'ladi,
\[ - {K_0}\nabla u\,\centerdot \,\vec n = H\left( {u - {u_B}} \right)\]Bu erda \(H\) - eksperimental tarzda aniqlanadigan musbat miqdor, \({u_B}\) - suyuqlikning chegaradagi harorati va yana bu faqat chegara bo'ylab nuqtalarda baholanadi deb taxmin qilinadi.
Bu erda bizda davriy chegara shartlari yo'q, chunki ular faqat aniq 1-D geometriyalaridan kelib chiqadi.
Ehtimol, shu nuqtada tan olishimiz kerakki, biz hech qachon \(\eqref{eq:eq6}\) ni hal qila olmaymiz, lekin biz uning alohida holatini hal qilamiz. Laplas tenglamasi bo'limi.