4.7-bo'lim: O'rtacha qiymat teoremasi
Ushbu bo'limda biz o'rtacha qiymat teoremasini ko'rib chiqmoqchimiz. Aksariyat an'anaviy darsliklarda bu bo'lim birinchi va ikkinchi hosilaviy testlarni o'z ichiga olgan bo'limlardan oldin keladi, chunki bu bo'limlardagi ko'plab dalillar o'rtacha qiymat teoremasiga muhtoj. Biroq, biz mantiqiy nuqtai nazardan, mutlaq ekstremal qismdan keyin Grafik shakli bo'limlarini qo'yish yaxshiroq deb hisoblaymiz. Shunday qilib, agar siz avvalgi ikki bo'limdagi dalillarga amal qilgan bo'lsangiz, ehtimol siz ushbu bo'limni allaqachon o'qib chiqqansiz.
O'rtacha qiymat teoremasiga o'tishdan oldin biz quyidagi teoremani yoritishimiz kerak.
Rol teoremasi
Faraz qilaylik, \(f\left( x \right)\) quyidagi funksiyalarning barchasini qanoatlantiradi.
- \(f\left( x \right)\) \(\left[ {a,b} \right]\) yopiq intervalida uzluksiz.
- \(f\left( x \right)\) \(\left( {a,b} \right)\) ochiq oraliqda differensiallanadi.
- \(f\left( a \right) = f\left( b \right)\)
Keyin \(a < c < b\) va \(f'\left( c \right) = 0\) kabi \(c\) raqami mavjud. Yoki boshqacha qilib aytganda, \(f\left( x \right)\) \(\left( {a,b} \right)\) da kritik nuqtaga ega.
Rol teoremasining isbotini ko'rish uchun qarang Hosila ilovalaridan dalillar Qo'shimchalar bo'limi.
Keling, Rol teoremasidan foydalanadigan tezkor misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Asosiy algebra tamoyillaridan biz \(f\left( x \right)\) 5 ekanligini bilamizth darajali polinom u beshta ildizga ega bo'ladi. Bu erda bizdan isbotlashni so'ragan narsa shuki, bu 5 dan faqat bittasi haqiqiy son, qolgan 4 tasi murakkab ildiz bo'lishi kerak.
Birinchidan, biz uning kamida bitta haqiqiy ildizga ega ekanligini ko'rsatishimiz kerak. Buni amalga oshirish uchun \(f\left( 0 \right) = - 2\) va \(f\left( 1 \right) = 10\) ga e'tibor bering va shuning uchun biz \(f\left( 0 \right) < 0 < f\left( 1 \right)\) ni ko'rishimiz mumkin. Endi, \(f\left( x \right)\) ko'phad bo'lgani uchun biz bilamizki, u hamma joyda uzluksizdir va shuning uchun Oraliq qiymat teoremasi \(0 < c < 1\) va \(f\left( c \right) = 0\) kabi \(c\) raqami mavjud. Boshqacha qilib aytganda, \(f\left( x \right)\) kamida bitta haqiqiy ildizga ega.
Endi biz bu aslida yagona haqiqiy ildiz ekanligini ko'rsatishimiz kerak. Buning uchun biz qarama-qarshilik isboti deb ataladigan argumentdan foydalanamiz. Biz nima qilamiz, \(f\left( x \right)\) kamida ikkita haqiqiy ildizga ega deb taxmin qilishdir. Bu shuni anglatadiki, biz \(a\) va \(b\) haqiqiy raqamlarini (ko'proq bo'lishi mumkin, ammo bu argument uchun bizga faqat ikkita kerak) \(f\left( a \right) = f\left( b \right) = 0\) kabi topishimiz mumkin. Ammo agar biz buni qilsak, biz Rol teoremasidan \(f'\left( c \right) = 0\) kabi boshqa \(c\) raqami bo'lishi kerakligini bilamiz.
Biroq, bu muammo. Bu funktsiyaning hosilasi,
\[f'\left( x \right) = 20{x^4} + 3{x^2} + 7\]Chunki birinchi ikkita hadda ko'rsatkichlar hattoki, biz birinchi ikki had har doim noldan katta yoki teng bo'lishini bilamiz va biz unga ijobiy son qo'shamiz va shuning uchun biz hosil bo'lgan eng kichik 7 bo'lishini ko'ramiz va bu yuqoridagi ma'lumotlarga zid keladi, ya'ni bizda \(a < c < b\) shartni qanoatlantiruvchi \(c\) soni mavjud bo'lishi kerak.
Biz \(f\left( x \right)\) kamida ikkita ildizga ega deb faraz qilib, bu qarama-qarshi bayonotlarga erishdik. Bu taxmin qarama-qarshilikka olib kelganligi sababli, taxmin noto'g'ri bo'lishi kerak va shuning uchun biz faqat bitta haqiqiy ildizga ega bo'lishimiz mumkin.
Rol teoremasini yoritishning sababi shundaki, u o'rtacha qiymat teoremasini isbotlashda kerak. Dalilni ko'rish uchun qarang Hosila ilovalaridan dalillar Qo'shimchalar bo'limi. Mana bu teorema.
O'rtacha qiymat teoremasi
Faraz qilaylik, \(f\left( x \right)\) quyidagi ikkalasini ham qanoatlantiradigan funksiya bo‘lsin.
- \(f\left( x \right)\) \(\left[ {a,b} \right]\) yopiq intervalida uzluksiz.
- \(f\left( x \right)\) \(\left( {a,b} \right)\) ochiq oraliqda differensiallanadi.
Keyin \(c\) raqami mavjud a < c < b va
\[f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\]Or,
\[f\left( b \right) - f\left( a \right) = f'\left( c \right)\left( {b - a} \right)\]E'tibor bering, o'rtacha qiymat teoremasi \(c\) nima ekanligini aytmaydi. U bizga teorema xulosasini qondiradigan kamida bitta \(c\) raqami mavjudligini aytadi.
Shuni ham yodda tutingki, agar buni isbotlash uchun bizga Rol teoremasi kerak bo'lmaganida, biz Rol teoremasini o'rtacha qiymat teoremasining maxsus holati deb hisoblashimiz mumkin edi. Buni ko'rish uchun faqat \(f\left( a \right) = f\left( b \right)\) va keyin o'rtacha qiymat teoremasining natijasi Rol teoremasi natijasini beradi deb taxmin qiling.
Bir nechta misollarni ko'rib chiqishdan oldin, o'rtacha qiymat teoremasining geometrik talqini haqida o'ylab ko'raylik. Avval \(A = \left( {a,f\left( a \right)} \right)\) va \(B = \left( {b,f\left( b \right)} \right)\) ni aniqlang va keyin biz o'rtacha qiymat teoremasidan \(c\) borligini bilamiz, shunday qilib \(a < c < b\) va
\[f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\]Endi, agar biz \(A\) va \(B\) ni tutashtiruvchi chiziqni chizadigan bo'lsak, unda biz sekant chizig'ining qiyaligi ekanligini bilishimiz mumkin:
\[\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\]Xuddi shunday, agar biz \(x = c\) da \(f\left( x \right)\) ga tangens chiziq chizsak, uning qiyaligi \(f'\left( c \right)\) ekanligini bilamiz.
O'rtacha qiymat teoremasi shuni aytadiki, bu ikki qiyalik teng bo'lishi kerak yoki boshqacha qilib aytganda \(A\) va \(B\) ni bog'laydigan sekant chiziq va \(x = c\) dagi tangens chiziq parallel bo'lishi kerak. Buni quyidagi eskizda ko'rishimiz mumkin.
Keling, o'rtacha qiymat teoremasidan foydalangan holda bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
\(f\left( x \right)\) ko'phad bo'lganligi sababli, u doimiy va differentsial bo'lishi mumkinligiga e'tibor berishdan tashqari, bu muammoda juda ko'p narsa yo'q (i.e. hosila mavjud) berilgan intervalda.
Avval hosilani topamiz.
\[f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x - 1\]Endi o'rtacha qiymat teoremasining xulosalarini qondiradigan raqamlarni topish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa buni o'rtacha qiymat teoremasi tomonidan berilgan formulaga ulashdir.
\[\begin{align*}f'\left( c \right) & = \frac{{f\left( 2 \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{2 - \left( { - 1} \right)}}\\ 3{c^2} + 4c - 1 & = \frac{{14 - 2}}{3} = \frac{{12}}{3} = 4\end{align*}\]Endi bu faqat kvadrat tenglama,
\[\begin{align*}3{c^2} + 4c - 1 & = 4\\ 3{c^2} + 4c - 5 & = 0\end{align*}\]Buning uchun kvadrat formuladan foydalanib, biz olamiz,
\[c = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {16 - 4\left( 3 \right)\left( { - 5} \right)} }}{6} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {76} }}{6}\]Shunday qilib, echish \(c\) ning ikkita qiymatini beradi.
\[c = \frac{{ - 4 + \sqrt {76} }}{6} = 0.7863\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}c = \frac{{ - 4 - \sqrt {76} }}{6} = - 2.1196\]E'tibor bering, ulardan faqat bittasi muammoda berilgan intervalda. Bu shuni anglatadiki, biz ikkinchisini istisno qilamiz (chunki u intervalda emas). Bu muammoda biz kutayotgan raqam,
\[c = 0.7863\]Raqamlardan faqat bittasi ishlaydi deb o'ylamaslik uchun ehtiyot bo'ling. Ularning ikkalasi ham ishlashi mumkin.
Yechim
O'rtacha qiymat teoremasining xulosasidan boshlaylik.
\[f\left( {15} \right) - f\left( 6 \right) = f'\left( c \right)\left( {15 - 6} \right)\]Ma'lum miqdorlarni ulash va uni biroz qayta yozish,
\[f\left( {15} \right) = f\left( 6 \right) + f'\left( c \right)\left( {15 - 6} \right) = - 2 + 9f'\left( c \right)\]Endi biz \(f'\left( x \right) \le 10\) ekanligini bilamiz, shuning uchun biz \(f'\left( c \right) \le 10\) ekanligini bilamiz. Bu bizga quyidagilarni beradi,
\[\begin{align*}f\left( {15} \right) & = - 2 + 9f'\left( c \right)\\ & \le - 2 + \left( 9 \right)10\\ & = 88\end{align*}\]Biz qilgan yagona narsa \(f'\left( c \right)\)-ni mumkin bo'lgan eng katta qiymat bilan almashtirish edi.
Bu \(f\left( {15} \right)\) uchun mumkin bo'lgan eng katta qiymat 88 ekanligini anglatadi.
Yechim
Shuni ta'kidlash kerakki, biz \(f'\left( x \right)\) kamida bitta ildizga ega bo'lishini aytishimiz mumkin. Biz aynan bitta ildizga ega bo'ladi deb ayta olmaymiz. Shuning uchun bu muammoni biz ishlagan birinchi muammo bilan aralashtirmang.
Bu aslida isbotlash uchun juda oddiy narsa. Biz \(f\left( x \right)\) ning ikkita ildizi borligini bilganimiz uchun, ular \(a\) va \(b\) deb faraz qilaylik. Endi, taxminga ko'ra, biz \(f\left( x \right)\) hamma joyda uzluksiz va differentsial bo'lishini bilamiz, shuning uchun u \(\left[ {a,b} \right]\) da uzluksiz va \(\left( {a,b} \right)\) da differentsiallanadi.
Shuning uchun, o'rtacha qiymat teoremasiga ko'ra, \(c\) soni \(a\) va \(b\) o'rtasida joylashgan (bu muammo uchun bu kerak emas, lekin bu to'g'ri, shuning uchun uni ta'kidlash kerak) va bu,
\[f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\]Ammo endi biz \(a\) va \(b\) \(f\left( x \right)\) ning ildizlari ekanligini eslashimiz kerak va bu shunday,
\[f'\left( c \right) = \frac{{0 - 0}}{{b - a}} = 0\]Yoki \(f'\left( x \right)\) \(x = c\) da ildizga ega.
Yana shuni ta'kidlash kerakki, bizda \(c\) qiymati yo'q. Biz faqat uning mavjudligini ko'rsatdik. Biz \(c\) yagona ildiz ekanligi haqida hech narsa aytmadik. \(f'\left( x \right)\) bir nechta ildizga ega bo'lishi mumkin.
Oldingi misolni sezilarli darajada umumlashtirish butunlay mumkin. Misol uchun, agar biz \(f\left( x \right)\) hamma joyda uzluksiz va differentsial bo'lishi va uchta ildizga ega ekanligini bilsak, biz nafaqat \(f'\left( x \right)\) kamida ikkita ildizga ega bo'lishini, balki \(f''\left( x \right)\) kamida bitta ildizga ega bo'lishini ko'rsatishimiz mumkin. Buni tekshirish uchun biz buni sizga qoldiramiz, lekin u bilan bog'liq g'oyalar oldingi misoldagilar bilan bir xil.
Biz ushbu bo'limni o'rtacha qiymat teoremasi yordamida isbotlash mumkin bo'lgan bir nechta yoqimli faktlar bilan yakunlaymiz. E'tibor bering, bu ikkala faktda biz funktsiyalar uzluksiz va \(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ida differentsial bo'ladi deb faraz qilamiz.
1-fakt
Agar \(f'\left( x \right) = 0\) barcha \(x\) uchun \(\left( {a,b} \right)\) oralig'ida bo'lsa, \(f\left( x \right)\) \(\left( {a,b} \right)\) da doimiy bo'ladi.
Bu haqiqatni isbotlash juda oson, shuning uchun buni shu erda qilaylik.
Birinchidan, shuni e'tiborga olingki, biz hosila \(\left( a,b \right)\) da mavjud deb faraz qilganimiz sababli, \(f\left( x \right)\) \(\left( a,b \right)\) da differentsiallanishini bilamiz. Bundan tashqari, biz bilish Agar funktsiya oraliqda differentsiallanadigan bo'lsa, u o'sha oraliqda ham uzluksiz bo'ladi va shuning uchun \(f\left( x \right)\) \(\left( a,b \right)\) da ham uzluksiz bo'ladi.
Endi \(\left( {a,b} \right)\) oralig'ida ikkita \(x\) ni oling, aytaylik \({x_1}\) va \({x_2}\). Keyin \(f\left( x \right)\) \(\left( {a,b} \right)\) da uzluksiz va differentsial bo'lgani uchun u \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\) da uzluksiz va differentsial bo'lishi kerak. Bu \(x\) ning ushbu ikki qiymati uchun o'rtacha qiymat teoremasini qo'llashimiz mumkinligini anglatadi. Buni qilish,
\[f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( c \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\]bu erda \({x_1} < c < {x_2}\). Ammo \(\left( {a,b} \right)\) oralig'idagi barcha \(x\) uchun \(f'\left( x \right) = 0\) va ayniqsa, bizda shunday bo'lishi kerak
\[f'\left( c \right) = 0\]Buni yuqoridagi tenglamaga qo'yish,
\[f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f\left( {{x_2}} \right) = f\left( {{x_1}} \right)\]Endi, \({x_1}\) va \({x_2}\) \(\left( {a,b} \right)\) oralig'ida \(x\) ning har qanday ikkita qiymati bo'lganligi sababli, biz barcha \({x_1}\) va \({x_2}\) uchun \(f\left( {{x_2}} \right) = f\left( {{x_1}} \right)\) ga ega bo'lishimiz kerakligini ko'rishimiz mumkin va bu funktsiya oraliqda doimiy bo'lishini anglatadi.
2-fakt
Agar \(\left( {a,b} \right)\) oralig'idagi barcha \(x\) uchun \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\) bo'lsa, bu oraliqda bizda \(f\left( x \right) = g\left( x \right) + c\) mavjud bo'ladi, bu erda \(c\) qandaydir doimiydir.
Bu fakt oldingi faktning bevosita natijasidir va uni isbotlash ham oson.
Agar biz birinchi bo'lib aniqlasak,
\[h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\]U holda \(f\left( x \right)\) va \(g\left( x \right)\) ham uzluksiz va \(\left( {a,b} \right)\) oralig'ida differentsial bo'lganligi sababli \(h\left( x \right)\) bo'lishi kerak. Shunday qilib, \(h\left( x \right)\) hosilasi,
\[h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - g'\left( x \right)\]Biroq, \(\left( {a,b} \right)\) oralig'idagi barcha \(x\) uchun \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\) va shuning uchun biz \(\left( {a,b} \right)\) oralig'idagi barcha \(x\) uchun \(h'\left( x \right) = 0\) ga ega bo'lishimiz kerak. Shunday qilib, 1-fakt bo'yicha \(h\left( x \right)\) intervalda doimiy bo'lishi kerak.
Bu shuni anglatadiki, bizda
\[\begin{align*}h\left( x \right) & = c\\ f\left( x \right) - g\left( x \right) & = c\\ f\left( x \right) & = g\left( x \right) + c\end{align*}\]biz ko'rsatmoqchi bo'lgan narsamiz.