5.1-bo'lim: Ko'rib chiqish: tenglamalar sistemalari
Biz deyarli faqat noma'lumlar soni tenglamalar soniga teng bo'lgan tenglamalar sistemalari bilan ishlayotganimiz sababli, biz ko'rib chiqishni ushbu turdagi tizimlar bilan cheklaymiz.
Bu erda qiladigan barcha ishlarni tenglamalardan ko'ra ko'proq noma'lumlar yoki kerak bo'lganda noma'lumlardan ko'proq tenglamalar bo'lgan tizimlarga osongina kengaytirish mumkin.
Keling, \(n\) noma'lumlari, \(x_{1}\), \(x_{2}\),..., \(x_{n}\) bilan quyidagi \(n\) tenglamalari tizimidan boshlaylik.
\[\begin{equation}\begin{aligned}{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \cdots + {a_{1n}}{x_n} & = {b_1}\\ {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \cdots + {a_{2n}}{x_n} & = {b_2}\\ \vdots \hspace{0.8in} & \\ {a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + \cdots + {a_{nn}}{x_n} & = {b_n}\end{aligned}\label{eq:eq1}\end{equation}\]E'tibor bering, ushbu tizimdagi koeffitsientlar bo'yicha \(a_{ij}\), \(i\) koeffitsienti bo'lgan tenglamaga mos keladi va \(j\) koeffitsientga ko'paytiriladigan noma'lumga mos keladi.
Ushbu tizimni echishda chiziqli algebradan foydalanish uchun biz birinchi navbatda yozamiz kengaytirilgan matritsa ushbu tizim uchun. Kengaytirilgan matritsa haqiqatda tizimning barcha koeffitsientlari va matritsa shaklida yozilgan tizimning o'ng tomonidagi raqamlardir. Mana ushbu tizim uchun kengaytirilgan matritsa.
\[\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}&{{b_1}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}&{{b_2}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}&{{b_n}}\end{array}} \right)\]Ushbu tizimni hal qilish uchun biz uchburchak shaklida kengaytirilgan matritsani qayta yozish uchun elementar qator operatsiyalaridan foydalanamiz (ularni birozdan keyin aniqlaymiz). Agar asosiy diagonal ostidagi barcha yozuvlar (\(a_{11}\), \(a_{22}\), …, \(a_{nn}\) ni o'z ichiga olgan diagonal) nolga teng bo'lsa, matritsa uchburchak shaklida bo'ladi.
Bu bajarilgandan so'ng, kengaytirilgan matritsadagi har bir qator tenglamaga mos kelishini eslashimiz mumkin. Keyin biz yangi kengaytirilgan matritsamizni tenglamalarga aylantiramiz va bu vaqtda tizimni yechish juda oson bo'ladi.
Misol bilan ishlashdan oldin elementar qator operatsiyalarini aniqlaylik. Ulardan uchtasi bor.
- Ikki qatorni almashtiring. Aynan shu narsa aytilgan. Biz \(i\) qatorini \(j\) qatoriga almashtiramiz. Ushbu operatsiyani belgilash uchun biz foydalanadigan belgi: \({R_i} \leftrightarrow {R_j}\)
- \(i\) qatorini doimiy, \(c\) bilan ko'paytiring. Bu \(i\) qatoridagi har bir yozuv doimiy \(c\) bilan ko'paytirilishini anglatadi. Ushbu operatsiya uchun belgi: \(c{R_i}\)
- Qatorga \(i\) bir nechta qator qo'shing j. Bizning boshimizda \(i\) qatorini tegishli konstantaga ko'paytiramiz va natijalarni \(j\) qatoriga qo'shamiz va yangi qatorni \(j\) qatoriga qo'yamiz va matritsadagi \(i\) qatorini o'zgarishsiz qoldiramiz. Ushbu operatsiya uchun belgi: \(c{R_i} + {R_j}\)
Agar biz ularni amalda ko'rsak, bu operatsiyalarni tushunish har doim biroz osonroq bo'ladi. Shunday qilib, keling, bir nechta tizimlarni hal qilaylik.
Yechim
Birinchi qadam bu tizim uchun kengaytirilgan matritsani yozishdir. Mavjud bo'lmagan atamalar koeffitsientlari nolga teng ekanligini unutmang.
\[\require{color} \left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} - 2}&1&{ - 1}&4\\1&{\color{Red} 2}&3&{13}\\3&0&{\color{Red} 1}&{ - 1}\end{array}} \right)\]Endi biz asosiy diagonal ostidagi yozuvlar nolga teng bo'lishini xohlaymiz. Asosiy diagonal qizil rangga bo'yalgan, shuning uchun biz buni birinchi misolda kuzatishimiz mumkin. Oxir-oqibat aniq bo'ladigan sabablarga ko'ra, biz asosiy diagonal yozuvlarni ham bitta bo'lishni afzal ko'ramiz.
Agar biz birinchi va ikkinchi qatorni almashtirsak, eng yuqori o'rinda bittasini bepul olishiga e'tibor qaratish orqali biz eng yuqori o'rinni olishimiz mumkin. Shunday qilib, keling, buni qilaylik.
\[\require{color}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} - 2}&1&{ - 1}&4\\1&{\color{Red} 2}&3&{13}\\3&0&{\color{Red} 1}&{ - 1}\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{{R_1} \leftrightarrow {R_2}}\\ \to \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} 1}&2&3&{13}\\{ - 2}&{\color{Red} 1}&{ - 1}&4\\3&0&{\color{Red} 1}&{ - 1}\end{array}} \right)\]Endi biz birinchi ustundagi oxirgi ikkita yozuvni (-2 va 3) nolga tenglashtirishimiz kerak. Buni uchinchi qator operatsiyasi yordamida amalga oshirishimiz mumkin. E'tibor bering, agar biz birinchi qatorni 2 marta olib, ikkinchi qatorga qo'shsak, biz birinchi ustundagi ikkinchi yozuvda nolga ega bo'lamiz va uchinchi qatorga -3 marta birinchi qatorni olsak, 3 nolga teng bo'ladi. Biz ikkala operatsiyani bir vaqtning o'zida bajarishimiz mumkin, shuning uchun buni qilaylik.
\[\require{color}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} 1}&2&3&{13}\\{ - 2}&{\color{Red} 1}&{ - 1}&4\\3&0&{\color{Red} 1}&{ - 1}\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{2{R_1} + {R_2}}\\{ - 3{R_1} + {R_3}}\\ \to \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} 1}&2&3&{13}\\0&{\color{Red} 5}&5&{30}\\0&{ - 6}&{\color{Red} - 8}&{ - 40}\end{array}} \right)\]Keyingi bosqichga o'tishdan oldin, biz qilgan ishimizga rioya qilganingizga ishonch hosil qilaylik. Keling, biz qilgan birinchi operatsiyani ko'rib chiqaylik. Bu amal 1-qatordagi yozuvni 2 ga koʻpaytirishni va uni 2-qatordagi mos yozuvga qoʻshishni, soʻngra 2-qatordagi eski yozuvni ushbu yangi yozuv bilan almashtirishni aytadi. Quyida biz buni amalga oshirish uchun bajargan to'rtta alohida operatsiyani ko'ramiz.
\[\begin{align*}2\left( 1 \right) + \left( { - 2} \right) & = 0\\ 2\left( 2 \right) + 1 & = 5\\ 2\left( 3 \right) + \left( { - 1} \right) & = 5\\ 2\left( {13} \right) + 4 & = 30\end{align*}\]OK, keyingi qadam ixtiyoriy, lekin yana qilish qulay. Texnik jihatdan, ikkinchi ustundagi 5 tani tark etish mumkin. Biroq, agar u 1 bo'lsa, bu bizning hayotimizni osonlashtiradi. Buni hal qilish uchun biz ikkinchi qator operatsiyasidan foydalanishimiz mumkin. Biz butun qatorni 5 ga bo'lishimiz mumkin. Buni qilish,
\[\require{color}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} 1}&2&3&{13}\\0&{\color{Red} 5}&5&{30}\\0&{ - 6}&{\color{Red} - 8}&{ - 40}\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{5}{R_2}}\\ \to \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} 1}&2&3&{13}\\0&{\color{Red} 1}&1&6\\0&{ - 6}&{\color{Red} - 8}&{ - 40}\end{array}} \right)\]Keyingi qadam, ikkinchi ustundagi -6 ni nolga aylantirish uchun uchinchi qator operatsiyasidan foydalanishdir.
\[\require{color}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} 1}&2&3&{13}\\0&{\color{Red} 1}&1&6\\0&{ - 6}&{\color{Red} - 8}&{ - 40}\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{6{R_2} + {R_3}}\\ \to \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} 1}&2&3&{13}\\0&{\color{Red} 1}&1&6\\0&0&{\color{Red} - 2}&{ - 4}\end{array}} \right)\]Endi rasman biz tugatdik, lekin yana hammasini asosiy diagonalda olish biroz qulay, shuning uchun biz oxirgi qadamni qilamiz.
\[\require{color}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} 1}&2&3&{13}\\0&{\color{Red} 1}&1&6\\0&0&{\color{Red} - 2}&{ - 4}\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{2}{R_3}}\\ \to \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} 1}&2&3&{13}\\0&{\color{Red} 1}&1&6\\0&0&{\color{Red} 1}&2\end{array}} \right)\]Endi biz tenglamalarga qaytishimiz mumkin.
\[\require{color}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}{\color{Red} 1}&2&3&{13}\\0&{\color{Red} 1}&1&6\\0&0&{\color{Red} 1}&2\end{array}} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\begin{aligned}{x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} &= 13\\{x_2} + {x_3} &= 6\\{x_3} &= 2\end{aligned}\]Bu vaqtda hal qilish juda oson. Biz \(x_{3}\)-ni bepul olamiz va uni olganimizdan keyin uni ikkinchi tenglamaga ulab, \(x_{2}\)-ni olamiz. Keyin \(x_{1}\) ni olish uchun birinchi tenglamadan foydalanishimiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, asosiy diagonal bo'ylab 1 ning bo'lishi bu jarayonga biroz yordam berdi.
Ushbu tenglamalar sistemasining yechimi
\[{x_1} = - 1\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{x_2} = 4\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{x_3} = 2\]Ushbu misolda ishlatiladigan jarayon deyiladi Gaussni yo'q qilish. Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Avval kengaytirilgan matritsani yozing.
\[\left( {\begin{array}{*{20}{r}}1&{ - 2}&3&{ - 2}\\{ - 1}&1&{ - 2}&3\\2&{ - 1}&3&1\end{array}} \right)\]Ushbu misolda biz ko'p so'zlarni tushirmaymiz. Mana bu kengaytirilgan matritsa uchun ish.
\[\left( {\begin{array}{*{20}{r}}1&{ - 2}&3&{ - 2}\\{ - 1}&1&{ - 2}&3\\2&{ - 1}&3&1\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{{R_1} + {R_2}}\\{ - 2{R_1} + {R_3}}\\ \to \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}1&{ - 2}&3&{ - 2}\\0&{ - 1}&1&1\\0&3&{ - 3}&5\end{array}} \right)\] \[\begin{array}{*{20}{r}}{ - {R_2}}\\ \to \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}1&{ - 2}&3&{ - 2}\\0&1&{ - 1}&{ - 1}\\0&3&{ - 3}&5\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3{R_2} + {R_3}}\\ \to \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}1&{ - 2}&3&{ - 2}\\0&1&{ - 1}&{ - 1}\\0&0&0&8\end{array}} \right)\]Biz bu misolda uzoqqa bormaymiz. Buning sababini bilish uchun tenglamalarga qaytaylik.
\[\left( {\begin{array}{*{20}{r}}1&{ - 2}&3&{ - 2}\\0&1&{ - 1}&{ - 1}\\0&0&0&8\end{array}} \right) \Rightarrow \begin{aligned}{x_1} - 2{x_2} + 3{x_3} & = - 2\\{x_2} - {x_3} & = - 1\\0 & = 8\end{aligned}\]Oxirgi tenglama ba'zi tashvishlarga sabab bo'lishi kerak. Bu erda uchta variantdan biri mavjud. Birinchidan, biz qandaydir tarzda 0 8 ga teng ekanligini isbotlashga muvaffaq bo'ldik va bu mumkin emasligini bilamiz. Ikkinchidan, biz xatoga yo'l qo'ydik, lekin ishimizni qayta ko'rib chiqsak, xato qilganimiz ko'rinmaydi.
Bu uchinchi variantni qoldiradi. Biz uchinchi tenglamaga o'xshab mantiqiy bo'lmagan narsani olganimizda, biz darhol hech qanday yechim yo'qligini bilamiz. Boshqacha qilib aytganda, uchta tenglamani bir vaqtning o'zida to'g'ri qiladigan uchta raqam to'plami yo'q.
Keling, boshqa misol bilan ishlaylik. Biz oldingi misoldan tizimga juda kichik o'zgartirishlar kiritib, ushbu yangi misol uchun tizimni olamiz.
Yechim
Demak, bu sistemaning ikkinchi misoldagi sistemadan farqi shundaki, uchinchi tenglamadagi tenglik belgisining o‘ng tomonidagi 1 ni -7 ga o‘zgartirdik.
Endi ushbu tizim uchun kengaytirilgan matritsani yozing.
\[\left( {\begin{array}{*{20}{r}}1&{ - 2}&3&{ - 2}\\{ - 1}&1&{ - 2}&3\\2&{ - 1}&3&{ - 7}\end{array}} \right)\]Ushbu muammoning qadamlari ikkinchi muammoning qadamlari bilan bir xil, shuning uchun biz ularning barchasini yozmaymiz. Xuddi shu amallarni bajarib, biz quyidagi matritsaga erishamiz.
\[\left( {\begin{array}{*{20}{r}}1&{ - 2}&3&{ - 2}\\0&1&{ - 1}&{ - 1}\\0&0&0&0\end{array}} \right)\]Bu safar oxirgi tenglama ga kamayadi
\[0 = 0\]va ikkinchi misoldan farqli o'laroq, bu muammo emas. Nol aslida nolga teng!
Biz bu erda to'xtab, yechim olish uchun tenglamalarga qaytishimiz mumkin va bu holatda yechim bor. Ammo, agar biz yana bir qadam bossak va ikkinchi ustundagi nolga teng bo'lsak, uning ostidagidek hayotimiz biroz soddalashadi. Buni qilish,
\[\left( {\begin{array}{*{20}{r}}1&{ - 2}&3&{ - 2}\\0&1&{ - 1}&{ - 1}\\0&0&0&0\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{2{R_2} + {R_1}}\\ \Rightarrow \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}1&0&1&{ - 4}\\0&1&{ - 1}&{ - 1}\\0&0&0&0\end{array}} \right)\]Endi tenglamaga qaytsak, quyidagi ikkita tenglamani olamiz.
\[\left( {\begin{array}{*{20}{r}}1&0&1&{ - 4}\\0&1&{ - 1}&{ - 1}\\0&0&0&0\end{array}} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\begin{array}{*{20}{r}}{{x_1} + {x_3} = - 4}\\{{x_2} - {x_3} = - 1}\\{}\end{array}\]Bizda ikkita tenglama va uchta noma'lum mavjud. Bu shuni anglatadiki, biz ikkita o'zgaruvchini qolgan o'zgaruvchi nuqtai nazaridan hal qila olamiz. \(x_{3}\) ikkala tenglamada ham bo'lgani uchun biz shu nuqtai nazardan hal qilamiz.
\[\begin{align*}{x_1} & = - {x_3} - 4\\ {x_2} & = {x_3} - 1\end{align*}\]Ushbu yechim nimani anglatadi, biz \(x_{3}\) qiymatini o'zimiz xohlagan narsani tanlashimiz va keyin \(x_{1}\) va \(x_{2}\) qiymatlarini topishimiz mumkin. Bunday hollarda biz odatda yechimni quyidagicha yozamiz:
\[\begin{align*}{x_1} & = - t - 4\\ {x_2} & = t - 1\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}t = {\mbox{ any real number}}\\ & {x_3} = t\end{align*}\]Shu tarzda biz \(t\) ning har bir qiymati uchun bittadan cheksiz ko'p yechimlarni olamiz.
Ushbu uchta misol bizni tenglamalar sistemasi haqida yoqimli haqiqatga olib keladi.
Yechimlarning mumkin bo'lgan raqamlari
\(\eqref{eq:eq1}\) tenglamalar sistemasini hisobga olsak, biz yechimlar soni uchun uchta imkoniyatdan biriga ega bo'lamiz.
- Yechim yo'q.
- Aynan bitta yechim.
- Cheksiz ko'p echimlar.
Keyingiga o'tishdan oldin yana bir vaziyatni ko'rib chiqishimiz kerak. \(\eqref{eq:eq1}\) dagi tenglamalar sistemasi, agar kamida bittasi bo'lsa, bir jinsli bo'lmagan tizim deb ataladi. bi’ s nolga teng emas. Agar \(b_{i}\) ning barchasi nolga teng bo'lsa, biz tizimni bir hil deb ataymiz va tizim shunday bo'ladi,
\[\begin{equation}\begin{aligned}{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \cdots + {a_{1n}}{x_n} & = 0\\ {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \cdots + {a_{2n}}{x_n} & = 0\\ \vdots \hspace{0.8in} & \\ {a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + \cdots + {a_{nn}}{x_n} & = 0\end{aligned}\label{eq:eq2}\end{equation}\]Endi e'tibor bering, bir hil holatda biz quyidagi yechimga ega bo'lishimiz kafolatlanadi.
\[{x_1} = {x_2} = \cdots = {x_n} = 0\]Ushbu yechim ko'pincha deyiladi ahamiyatsiz yechim.
Bir hil tizimlar uchun yuqoridagi faktni quyidagilarga o'zgartirish mumkin.
Bir jinsli sistemaning yechimlari
\(\eqref{eq:eq2}\) bir jinsli tenglamalar sistemasini hisobga olsak, biz yechimlar soni bo'yicha ikkita imkoniyatdan biriga ega bo'lamiz.
- Aynan bitta yechim, ahamiyatsiz yechim
- Arzimas yechimdan tashqari cheksiz ko'p nolga teng bo'lmagan yechimlar.
Ikkinchi imkoniyatda biz nolga teng bo'lmagan yechimni aytishimiz mumkin, chunki agar cheksiz ko'p echimlar bo'ladigan bo'lsa va biz ulardan biri ahamiyatsiz yechim ekanligini bilsak, qolgan hamma \(x_{i}\) ning kamida bittasi nolga teng bo'lishi kerak va shuning uchun biz nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lamiz.