4.12-bo'lim: Differensiallar
Ushbu bo'limda biz keyingi bobda juda ko'p ko'radigan belgilar bilan tanishamiz. Shuningdek, biz ushbu yangi belgining ilovasini ko'rib chiqamiz.
\(y = f\left( x \right)\) funksiyasi berilgan holda biz \(dy\) va \(dx\) differensiallari deb ataymiz va ular orasidagi bog‘lanish quyidagicha ifodalanadi:
\[dy = f'\left( x \right)dx\]E'tibor bering, agar bizga \(f\left( x \right)\) berilgan bo'lsa, u holda differentsiallar \(df\) va \(dx\) bo'ladi va biz ularni xuddi shu tarzda hisoblaymiz.
\[df = f'\left( x \right)dx\]Keling, bir nechta farqlarni hisoblaylik.
- \(y = {t^3} - 4{t^2} + 7t\)
- \(w = {x^2}\sin \left( {2x} \right)\)
- \(f\left( z \right) = {{\bf{e}}^{3 - {z^4}}}\)
Yechim
Ulardan birortasini ishlashdan oldin, biz bu erda nimani topishimiz so'ralganini muhokama qilishimiz kerak. Biz ilgari ikkita differentsialni aniqladik va bu erda bizdan differentsialni hisoblashni so'rashmoqda.
Xo'sh, bizdan qaysi differentsialni hisoblashimiz so'raladi? Bunday muammoda bizdan funktsiyaning differentsialini hisoblash so'raladi. Boshqacha qilib aytganda, birinchi masala uchun \(dy\), ikkinchi masala uchun \(dw\) va uchinchi masala uchun \(df\).
Mana bu yechimlar. Bu yerda hosila olishdan boshqa ish qilishning hojati yo'q va hosilaga ikkinchi differentsialni qo'shishni unutmang.
a \(dy = \left( {3{t^2} - 8t + 7} \right)dt\)
b \(dw = \left( {2x\sin \left( {2x} \right) + 2{x^2}\cos \left( {2x} \right)} \right)dx\)
c \(df = - 4{z^3}{{\bf{e}}^{3 - {z^4}}}dz\)
Differensiallar uchun yaxshi dastur mavjud. Agar biz \(\Delta x\) ni \(x\) dagi o'zgarish deb hisoblasak, \(\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\) \(x\) dagi o'zgarishga mos keladigan \(y\) o'zgarishidir. Endi, agar \(\Delta x\) kichik bo'lsa, biz \(\Delta y \approx dy\) deb taxmin qilishimiz mumkin. Keling, ushbu fikrning rasmini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Avval \(y\), \(\Delta y\)-dagi o'zgarishlarni haqiqiy hisoblab chiqamiz.
\[\Delta y = \cos \left( {{{\left( {2.03} \right)}^2} + 1} \right) - 2.03 - \left( {\cos \left( {{2^2} + 1} \right) - 2} \right) = 0.083581127\]Endi formulani olamiz dy.
\[dy = \left( { - 2x\sin \left( {{x^2} + 1} \right) - 1} \right)dx\]Keyinchalik, \(x\) ning \(x = 2\) dan \(x = 2.03\) ga o'zgarishi \(\Delta x = 0.03\) dir va shuning uchun biz \(dx \approx \Delta x = 0.03\) deb faraz qilamiz. Bu \(y\) ning taxminiy o'zgarishini beradi,
\[dy = \left( { - 2\left( 2 \right)\sin \left( {{2^2} + 1} \right) - 1} \right)\left( {0.03} \right) = 0.085070913\]Agar biz \(\Delta x\) kichik bo'lsa, bizda \(\Delta y \approx dy\) borligini ko'rishimiz mumkin.
Biz \(\Delta y \approx dy\) faktidan quyidagi tarzda foydalanishimiz mumkin.
Yechim
Birinchidan, sharning hajmi uchun tenglamani eslang.
\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\]Endi, agar biz \(r = 45\) bilan boshlasak va \(dr \approx \Delta r = 0.01\) dan foydalansak, \(\Delta V \approx dV\) bizga maksimal xatolik berishi kerak.
Shunday qilib, avval differentsial formulasini oling.
\[dV = 4\pi {r^2}dr\]Endi \(dV\) ni hisoblang.
\[\Delta V \approx dV = 4\pi {\left( {45} \right)^2}\left( {0.01} \right) = 254.47\,\,{\rm{in^{3}}}\]Ovozdagi maksimal xatolik taxminan 254,47 dyuymni tashkil qiladi3.
Bu katta xato deb o'ylamaslik uchun ehtiyot bo'ling. Tashqi ko'rinishida u katta ko'rinadi, ammo agar biz \(r = 45\) uchun haqiqiy hajmni hisoblasak, biz \(V = 381,703.51\,\,\rm{in^3}\) ni olamiz. Shunday qilib, taqqoslashda hajmdagi xatolik,
\[\frac{{254.47}}{{381703.51}} \times 100 = 0.067\% \]
Bu umuman xato bo'lishi mumkin emas!