2.4-bo'lim: Birdan ortiq o'zgaruvchiga ega tenglamalar
Ushbu bo'limda biz ko'pincha Algebra darsida to'g'ri yoritilmaydigan mavzuni ko'rib chiqamiz. Buning sababi, ehtimol, u Algebra darsida bir nechta bo'limlarda ishlatilmaydi. Biroq, bu boshqa darslarda keng qo'llanilishi mumkin bo'lgan va ko'pincha ishlatiladigan mavzu.
Bu erda biz bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalarni echamiz. Bu erda biz ko'rib chiqadigan jarayon chiziqli tenglamalarni echishga juda o'xshaydi, bu hozirgi vaqtda joriy etilishining sabablaridan biridir. Biroq, bundan bitta istisno bor. Ba'zida, biz ko'rib turganimizdek, jarayonning tartibi ba'zi muammolar uchun boshqacha bo'ladi. Bu erda jarayon standart tartibda.
- Har qanday kasrlarni tozalash uchun ikkala tomonni LCD bilan ko'paytiring.
- Ikkala tomonni ham iloji boricha soddalashtiring. Bu ko'pincha qavslarni olib tashlash, shunga o'xshash shartlarni bekor qilishni anglatadi, va hokazo..
- Biz hal qilayotgan oʻzgaruvchini oʻz ichiga olgan barcha shartlarni bir tomonga, oʻzgaruvchisi boʻlmagan barcha shartlarni esa qarama-qarshi tomonga oʻtkazing.
- Tenglamada biz hal qilayotgan o'zgaruvchining bitta misolini oling. Bu erda biz ko'rib chiqadigan muammolar turlari uchun bu deyarli har doim shartlarning har biridan o'zgaruvchini faktorizatsiya qilish orqali amalga oshiriladi.
- O'zgaruvchining koeffitsientiga bo'linadi. Muammolarni hal qilishda bu qadam mantiqiy bo'ladi. Shuni ham yodda tutingki, bu muammolarda "koeffitsient" raqamlardan tashqari boshqa narsalarni ham o'z ichiga oladi.
Biz nima bilan ishlayotganimizni va ular misol bilan qanday ishlashini ko'rish odatda oson. Birinchi misolda biz ularni hal qilishning asosiy jarayonini ham beramiz.
Yechim
Bu erda biz izlayotgan narsa shakldagi ifodadir,
\[r = \underline {{\mbox{Equation involving numbers, }}A,\,P,\,{\mbox{and }}t} \]Boshqacha qilib aytganda, biz \(r\) ni ko'rmoqchi bo'lgan yagona joy - bu tenglik belgisining chap tomonida. Tenglamaning biron bir joyida boshqa \(r\) bo'lmasligi kerak. Yuqorida keltirilgan jarayon biz uchun buni qilishi kerak.
OK, keling, bu muammoni hal qilaylik. Bizda kasrlar yo'q, shuning uchun bu haqda tashvishlanishga hojat yo'q. Soddalashtirish uchun biz \(P\) ni qavs orqali ko'paytiramiz. Buni qilish,
\[A = P + Prt\]Endi biz barcha shartlarni bir tomondan \(r\) bilan olishimiz kerak. Bu tenglama allaqachon biz uchun o'rnatilgan, bu juda yaxshi. Keyinchalik, bizda \(r\) bo'lmagan barcha atamalarni boshqa tomonga olishimiz kerak. Bu ikkala tomondan \(P\) ni ayirishni anglatadi.
\[A - P = Prt\]Yakuniy bosqich sifatida biz ikkala tomonni \(r\) koeffitsientiga ajratamiz. Bundan tashqari, yuqorida sanab o'tilgan jarayonda ta'kidlanganidek, "koeffitsient" raqam emas. Bu holda shunday Pt. Ushbu bosqichda o'zgaruvchining koeffitsienti shunchaki o'zgaruvchini ko'paytiradigan barcha narsalardir.
\[\frac{{A - P}}{{Pt}} = r\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}r = \frac{{A - P}}{{Pt}}\]Yakuniy javob olish uchun biz oldinga bordik va javobni yanada "standart" shaklga o'tkazish uchun buyurtmani o'zgartirdik.
Birozdan keyin ko'proq misollar bilan ishlaymiz. Biroq, birinchi navbatda, bir nechta narsani ta'kidlaymiz. Bu muammolar dastlab juda qiyin bo'lib tuyuladi, lekin agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, biz haqiqatan ham chiziqli tenglamalarni echish uchun xuddi shu jarayondan foydalanganmiz. Albatta, asosiy farq shundaki, bu jarayonda ko'proq "tartibsizlik" mavjud. Bu bizni ikkinchi nuqtaga olib keladi. Bu muammolardagi tartibsizliklardan hayajonlanmang. Muammolar, ba'zida biroz chigal bo'ladi, ammo bu bilan bog'liq qadamlar siz qila oladigan qadamlardir! Nihoyat, javob oddiy raqam bo'lmaydi, lekin yana bir oz chalkash bo'ladi, ko'pincha asl tenglamadan ko'ra chalkashroq bo'ladi. Bu yaxshi va kutilgan.
Keling, yana bir nechta misollar bilan ishlaylik.
Yechim
Bu birinchi misolga juda o'xshash. Biroq, u biroz boshqacha ishlaydi. Birinchi misoldan biz ba'zida jarayondagi qadamlar tartibini o'zgartirish kerakligi haqida fikr bildirganimizni eslang? Xo'sh, biz bu erda nima qilmoqchimiz.
Jarayonning birinchi bosqichi bizga kasrlarni tozalashni aytadi. Biroq, kasr qavslar to'plami ichida bo'lganligi sababli, avval \(m\) ni qavs orqali ko'paytiramiz. E'tibor bering, agar biz avval \(m\) ni ko'paytirsak, aslida kasrlardan birini avtomatik ravishda tozalaymiz. Bu kasrlarni tozalaganimizda ishimizni biroz osonlashtiradi.
\[V = \frac{m}{b} - 5aR\]Endi ikkala tomonni \(b\) ga ko'paytirish orqali kasrlarni aniqlang. Shuningdek, biz \(R\) ga ega bo'lmagan barcha atamalarni boshqa tomonga o'tkazamiz.
\[\begin{align*}Vb & = m - 5abR\\ Vb - m & = - 5abR\end{align*}\]5 ning oldidagi minus belgisini yo'qotmaslik uchun ehtiyot bo'ling! Buni yo'qotish juda oson. Yakuniy qadam ikkala tomonni \(R\) koeffitsientiga bo'lishdir, bu holda -5ab.
\[R = \frac{{Vb - m}}{{ - 5ab}} = - \frac{{Vb - m}}{{5ab}} = \frac{{ - \left( {Vb - m} \right)}}{{5ab}} = \frac{{ - Vb + m}}{{5ab}} = \frac{{m - Vb}}{{5ab}}\]E'tibor bering, biz javobni biroz soddalashtirishimiz uchun maxrajdagi minus belgisini manipulyatsiya qildik.
Oldingi misolda biz \(R\) uchun hal qildik, ammo muammolardagi boshqa o'zgaruvchilardan birini hal qilmaslik uchun hech qanday sabab yo'q. Misol uchun, quyidagi misolni ko'rib chiqing.
Yechim
Birinchi ikki qadam oldingi misol bilan bir xil. Birinchidan, biz \(m\) ni qavs orqali ko'paytiramiz va keyin kasrlarni tozalash uchun ikkala tomonni \(b\) ga ko'paytiramiz. Biz bu ishni allaqachon bajarganmiz, shuning uchun oldingi misoldan,
\[Vb - m = - 5abR\]Bu holda biz tenglik belgisining ikkala tomonida \(b\) ni oldik va bizga tenglamaning bir tomonida \(b\) bilan barcha shartlar va tenglamaning boshqa tomonida boshqa barcha shartlar kerak. Bunday holda, agar chap tomonda \(b\) va boshqa shartlarni o'ng tomonda to'plasak, minus belgilarini yo'q qilishimiz mumkin. Buni qilish,
\[Vb + 5abR = m\]Endi, o'ng tomondagi ikkala atamada \(b\) mavjud, shuning uchun ikkala atama ichida biz buni hisobga olsak,
\[b\left( {V + 5aR} \right) = m\]Nihoyat, \(b\) koeffitsientiga bo'ling. Eslatib o'tamiz, "koeffitsient" \(b\) ni ko'paytiradigan barcha narsalardir. Buni qilish,
\[b = \frac{m}{{V + 5aR}}\]Yechim
Birinchidan, ushbu muammo uchun \(abc\) bo'lgan LCD bilan ko'paytiring.
\[\begin{align*}\frac{1}{a}\left( {abc} \right) & = \left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {abc} \right)\\ bc & = ac + ab\end{align*}\]Keyin, barcha \(c\)-larni bir tomonda to'plang (chap bu erda eng oson bo'lishi mumkin), shartlardan \(c\)-ni ajratib oling va koeffitsientga bo'ling.
\[\begin{align*}bc - ac & = ab\\ c\left( {b - a} \right) & = ab\\ c & = \frac{{ab}}{{b - a}}\end{align*}\]Yechim
Birinchidan, biz maxrajni tozalashimiz kerak. Buning uchun ikkala tomonni \(5x - 9\) ga ko'paytiramiz. Ko'paytirishni amalga oshirganimizdan so'ng, muammodagi barcha qavslarni ham o'chirib tashlaymiz.
\[\begin{align*}y\left( {5x - 9} \right) & = 4\\ 5xy - 9y & = 4\end{align*}\]Endi biz \(x\) ni hal qilmoqchimiz, demak, ularda \(x\) siz barcha shartlarni boshqa tomonga olishimiz kerak. Shunday qilib, ikkala tomonga 9\(y\) qo'shing va \(x\) koeffitsientiga bo'ling.
\[\begin{align*}5xy & = 9y + 4\\ x & = \frac{{9y + 4}}{{5y}}\end{align*}\]Yechim
Bu oldingi misolga juda o'xshash. Mana bu muammo uchun ish.
\[\begin{align*}y\left( {1 + 8x} \right) & = 4 - 3x\\ y + 8xy & = 4 - 3x\\ 8xy + 3x & = 4 - y\\ x\left( {8y + 3} \right) & = 4 - y\\ x & = \frac{{4 - y}}{{8y + 3}}\end{align*}\]Ushbu bo'limning boshida aytib o'tilganidek, biz ushbu sinfda bunday muammolarni tez-tez ko'rmaymiz. Biroq, bu sinfdan tashqarida (masalan, Calculus sinfi) bunday muammo hayratlanarli muntazamlik bilan namoyon bo'ladi.