7.3-bo'lim: Aniqlanmagan koeffitsientlar
Endi biz \(n\) uchun muayyan yechimni aniqlashni boshlashimiz kerakth tartibli differentsial tenglamalar. Biz ko'rib chiqadigan ikkita usul 2-bandda ko'rib chiqilgan usullar bilan bir xilnd buyurtma bo'limi.
Ushbu bo'limda biz Aniqlanmagan koeffitsientlar usulini ko'rib chiqamiz va bu juda qisqa bo'lim bo'ladi. Ushbu bo'limdagi yagona misolda ko'rib chiqiladigan bitta kichik kengaytma bilan usul biz qilgan usul bilan bir xil. ko'rgan 2-da aniqlanmagan koeffitsientlarni ko'rib chiqqanimizdand tartibli differentsial tenglamalar bobi.
Differensial tenglama berilganda,
\[{y^{\left( n \right)}} + {p_{n - 1}}\left( t \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {p_1}\left( t \right)y' + {p_0}\left( t \right)y = g\left( t \right)\]agar \(g\left( t \right)\) eksponensial funktsiya, polinom, sinus, kosinus, ulardan birining yig'indisi/farqi va/yoki ulardan birining ko'paytmasi bo'lsa, biz 2-bandda qo'llagan ko'rsatmalardan foydalanib, ma'lum bir yechim shaklini taxmin qilamiz.nd materialga buyurtma berish. Keyin biz taxminni differentsial tenglamaga kiritamiz, soddalashtiramiz va doimiylar uchun yechish uchun teng koeffitsientlarni o'rnatamiz.
Esda tutishimiz kerak bo'lgan yagona narsa shundaki, ma'lum bir yechim uchun taxmin qilishdan oldin bizga qo'shimcha echim kerak. Agar bizning taxminimizdagi biron bir atama bir-birini to'ldiruvchi yechimda bo'lsa, biz taxminimizning ushbu atamani o'z ichiga olgan qismini \(t\) ga ko'paytirishimiz kerak. Bu erda usulning bitta kengaytmasi o'ynaydi. 2 bilannd Biz ko'paytirishimiz kerak bo'lgan eng ko'p tartibli differentsial tenglama bu \({t^2}\). Yuqori tartibli differentsial tenglamalarda bu \({t^2}\) dan ko'proq bo'lishi kerak bo'lishi mumkin.
Bu erda bajarilgan ish biz allaqachon bajargan ish bilan deyarli bir xil va aslida bu unchalik qiyin emas, agar taxmin qilish juda chalkash bo'lmasa va bu hosilalarni olib, koeffitsientlarni hal qilishda ko'proq tartibsizliklarni keltirib chiqaradi. Bu erda ishda unchalik katta farq yo'qligi sababli, biz ushbu bo'limda kengaytmani ko'rsatadigan bitta misol keltiramiz. Shunday qilib, keling, bu erda qiladigan yagona misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bizga birinchi navbatda to'ldiruvchi yechim kerak, shuning uchun xarakteristik tenglama,
\[{r^3} - 12{r^2} + 48r - 64 = {\left( {r - 4} \right)^3} = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}r = 4\,\,\left( {{\mbox{multiplicity 3}}} \right)\]Bizda 3-ko'plikning bitta ildizi bor, shuning uchun to'ldiruvchi yechim:
\[{y_c}\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{4t}} + {c_2}t{{\bf{e}}^{4t}} + {c_3}{t^2}{{\bf{e}}^{4t}}\]Endi ma'lum bir yechim uchun birinchi taxminimiz:
\[{Y_P} = A + B{{\bf{e}}^{ - 8t}} + C{{\bf{e}}^{4t}}\]E'tibor bering, bizning taxminimizdagi oxirgi atama bir-birini to'ldiruvchi yechimda, shuning uchun taxminimizdagi uchinchi atamaga kamida bitta \(t\) qo'shishimiz kerak. Shuni ham yodda tutingki, uchinchi hadni \(t\) yoki \({t^2}\) ga ko'paytirish hali to'ldiruvchi yechimda bo'lgan yangi atamaga olib keladi va shuning uchun qo'shimcha yechimda mavjud bo'lmagan atamani olish uchun uchinchi hadni \({t^3}\) ga ko'paytirishimiz kerak bo'ladi.
Bizning oxirgi taxminimiz shundan iboratki,
\[{Y_P} = A + B{{\bf{e}}^{ - 8t}} + C{t^3}{{\bf{e}}^{4t}}\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa shundan uchta hosilani olish, uni differentsial tenglamaga qo'shish va olishni soddalashtirish (bu erda ishni tekshirishni sizga qoldiramiz),
\[ - 64A - 1728B{{\bf{e}}^{ - 8t}} + 6C{{\bf{e}}^{4t}} = 12 - 32{{\bf{e}}^{ - 8t}} + 2{{\bf{e}}^{4t}}\]Koeffitsientlarni tenglashtirish va yechish,
\[\begin{aligned}{t^0} & : & - 64A &= 12\\{{\bf{e}}^{ - 8t}} & : & - 1728B & = - 32\\{{\bf{e}}^{4t}} & : & 6C & = 2\end{aligned}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\begin{array}{*{20}{l}}{A = - \frac{3}{{16}}}\\{B = \frac{1}{{54}}}\\{C = \frac{1}{3}}\end{array}\]Bunday holda, maxsus yechim,
\[{Y_P} = - \frac{3}{{16}} + \frac{1}{{54}}{{\bf{e}}^{ - 8t}} + \frac{1}{3}{t^3}{{\bf{e}}^{4t}}\]Bu differensial tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha:
\[y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{4t}} + {c_2}t{{\bf{e}}^{4t}} + {c_3}{t^2}{{\bf{e}}^{4t}} - \frac{3}{{16}} + \frac{1}{{54}}{{\bf{e}}^{ - 8t}} + \frac{1}{3}{t^3}{{\bf{e}}^{4t}}\]Yaxshi, biz bu erda faqat bitta misol bilan ishladik, lekin esda tutingki, biz yuqorida aytib o'tgan edik, biz ushbu misolda qo'llagan usulning kengaytmasi bundan mustasno, bu erdagi ish biz qilgan ish bilan bir xil.nd materialga buyurtma berish.