3.3-bo'lim: Davralar
Ushbu bo'limda biz doiralarni tez ko'rib chiqamiz. Biroq, buni amalga oshirishdan oldin, biz o'tmishda ko'rganingizni eslaysiz degan umidda tezkor formulani berishimiz kerak.
\(\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) va \(\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) ikkita nuqta berilgan bo'lsa, ular orasidagi masofa quyidagicha ifodalanadi:
\[d = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \]Xo'sh, nega biz sizga ushbu formulani eslatdik? Keling, aylana nima ekanligini eslaylik. Doira bir xil masofada joylashgan barcha nuqtalardir, \(r\) - radius deb ataladi, nuqtadan \(\left( {h,k} \right)\) - markaz deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, agar \(\left( {x,y} \right)\) aylanada joylashgan har qanday nuqta bo'lsa, u \(\left( {h,k} \right)\) markazdan \(r\) masofasiga ega.
Agar biz ushbu ikki nuqtada masofa formulasidan foydalansak, biz olamiz,
\[r = \sqrt {{{\left( {x - h} \right)}^2} + {{\left( {y - k} \right)}^2}} \]Yoki ikkala tomonini kvadratga aylantirsak,
\[{\left( {x - h} \right)^2} + {\left( {y - k} \right)^2} = {r^2}\]Bu standart shakl radiusi \(r\) va markazi \(\left( {h,k} \right)\) bo'lgan doira tenglamasining.
Yechim
OK, bu holda bizda \(r = 8\), \(h = - 4\) va \(k = 7\) bor, shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa ularni aylana tenglamasining standart shakliga ulashdir.
\[\begin{align*}{\left( {x - \left( { - 4} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} & = {8^2}\\ {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} & = 64\end{align*}\]Chapdagi ikkita atamani kvadratga aylantirmang. Bu atamalarni o‘z holicha qoldirish bizga tenglamani aylana ekanligini tezda aniqlash va aylananing radiusi va markazini tezda aniqlash imkonini beradi.
Radius va markazni bilganimizdan so'ng, doiralarni chizish juda oddiy jarayon. Doira grafigini tuzish uchun bizga aylanadagi eng o'ng, eng chap, eng yuqori va pastki eng ko'p nuqta kerak bo'ladi. Bularni bilganimizdan so'ng, aylanada eskiz chizish oson.
Yaxshiyamki, biz uchun bu nuqtalarni topish oson. Bular aylanadagi nuqtalar bo‘lgani uchun biz bilamizki, ular markazdan \(r\) masofada bo‘lishi kerak. Shuning uchun nuqtalar quyidagi koordinatalarga ega bo'ladi.
\[\begin{align*}& {\mbox{right most point : }}\left( {h + r,k} \right)\\ & {\mbox{left most point : }}\left( {h - r,k} \right)\\ & {\mbox{top most point : }}\left( {h,k + r} \right)\\ & {\mbox{bottom most point : }}\left( {h,k - r} \right)\end{align*}\]Boshqacha qilib aytganda, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa nuqtaning \(x\) koordinatasiga yoki \(y\) koordinatasiga qo'shish va mos ravishda eng to'g'ri yoki eng yuqori nuqtani olish va \(x\) koordinatasidan \(r\) ni ayirish yoki eng chap yoki pastki nuqtalarni olish uchun \(y\) koordinatasini olishdir.
Keling, ba'zi doiralarning grafigini tuzamiz.
- \({x^2} + {y^2} = 1\)
- \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\)
- \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 16\)
Munozarani ko'rsatish
Bularning barchasida biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa tenglamani standart shaklga solishtirish va radius va markazni aniqlashdir. Buni tugatgandan so'ng, yuqorida aytib o'tilgan to'rtta nuqtani toping va aylanada eskiz qiling.
a \({x^2} + {y^2} = 1\) Yechim
Bu holda bu faqat \(x\) va \(y\) o'z-o'zidan kvadrat. Bunga ega bo'lishning yagona yo'li \(h\) va \(k\) nolga teng bo'lishidir. Demak, markaz va radius,
\[{\mbox{center}} = \left( {0,0} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{radius}} = \sqrt 1 = 1\]Radius teng belgisining boshqa tomonidagi raqamning kvadrat ildizi ekanligini unutmang. Mana bu doiraning eskizi.
Radiusi 1 bo'lgan boshning markazida aylana (i.e. bu doira) deyiladi birlik doirasi. Trigonometriya sinfida birlik doirasi juda foydali.
b \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\) Yechim
Ushbu qismda markazning \(x\) koordinatasi avvalgi qismdagi kabi nolga teng ko'rinadi. Biroq, bu safar \(y\) atamasi bilan yana bir narsa bor va shuning uchun bu atamani aylananing standart shakli bilan solishtirsak, markazning \(y\) koordinatasi 3 bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin. Bu doiraning markazi va radiusi, keyin,
\[{\mbox{center}} = \left( {0,3} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{radius}} = \sqrt 4 = 2\]Mana aylananing eskizi. Ushbu grafikda markaz qizil xoch bilan belgilangan.
c \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 16\) Yechim
Bu qism uchun markazning koordinatalarining hech biri nolga teng emas. Tenglamamizni standart shakl bilan solishtirsak, markazning \(x\) koordinatasi 1 ekanligini ko‘rish juda oson (umid qilamanki...). \(y\) koordinatasi ham unchalik yomon emas, lekin biz biroz ehtiyot bo‘lishimiz kerak. Bu holda atama \({\left( {y + 4} \right)^2}\), standart shaklda esa \({\left( {y - k} \right)^2}\). E'tibor bering, belgilar boshqacha. Bu sodir bo'lishining yagona yo'li, agar \(k\) salbiy bo'lsa. Shunday qilib, markazning \(y\) koordinatasi -4 bo'lishi kerak.
Bu doiraning markazi va radiusi,
\[{\mbox{center}} = \left( {1, - 4} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{radius}} = \sqrt {16} = 4\]Mana, markazda qizil xoch bilan belgilangan ushbu doiraning eskizi.
Shunday qilib, biz allaqachon standart shaklda bo'lgan doiralar bilan qanday kurashishni ko'rdik. Biroq, barcha doiralar standart shaklda boshlanmaydi. Shunday qilib, keling, standart shakldagi doirani qanday qo'yish kerakligini ko'rib chiqaylik.
- \({x^2} + {y^2} + 8x + 7 = 0\)
- \({x^2} + {y^2} - 3x + 10y - 1 = 0\)
Munozarani ko'rsatish
Ushbu tenglamalarning hech biri standart shaklda emas, shuning uchun markaz va radiusni aniqlash uchun biz uni standart shaklga keltirishimiz kerak. Buni qanday qilishni biz allaqachon bilamiz. Kvadrat tenglamalarni yechayotganimizda biz kvadrat polinomni mukammal kvadratga aylantirish usulini ko'rdik. Jarayon chaqirildi kvadratni to'ldirish.
Aynan shu narsa biz bu erda qilmoqchimiz, garchi bu holda biz hech narsani hal qilmayapmiz va biz tenglamada \(x\) va \(y\) ga ega ekanligimiz bilan shug'ullanishimiz kerak. Keling, birinchi qism bilan jarayonni ko'rib chiqaylik.
a \({x^2} + {y^2} + 8x + 7 = 0\) Yechim
Biz bu jarayonni bosqichma-bosqich ko'rib chiqamiz.
1-qadam : Avval bir tomondan doimiyni o'z-o'zidan oling va bir vaqtning o'zida \(x\) shartlarini va \(y\) shartlarini birga guruhlang.
\[{x^2} + 8x + {y^2} = - 7\]Bu holda faqat bitta atama bor edi, unda \(y\) va ikkita \(x\) mavjud edi.
2-qadam : Ikki hadli har bir o'zgaruvchi uchun ushbu shartlar bo'yicha kvadratni to'ldiring.
Demak, bu holda bu kvadratni faqat \(x\) shartlarida bajarishimiz kerakligini anglatadi. Bu qanday amalga oshirilganini eslang. Biz avval \(x\) koeffitsientining yarmini olamiz va kvadratga olamiz.
\[{\left( {\frac{8}{2}} \right)^2} = {\left( 4 \right)^2} = 16\]Keyin buni tenglamaning ikkala tomoniga qo'shamiz.
\[{x^2} + 8x + 16 + {y^2} = - 7 + 16 = 9\]Endi birinchi uchta shart mukammal kvadrat sifatida ko'paytiriladi.
\[{\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} = 9\]3-qadam: Bu endi aylana tenglamasining standart shakli va shuning uchun biz markaz va radiusni to'g'ridan-to'g'ri tanlashimiz mumkin. Ular,
\[{\mbox{center}} = \left( { - 4,0} \right)\hspace{0.25in}{\mbox{radius}} = \sqrt 9 = 3\]b \({x^2} + {y^2} - 3x + 10y - 1 = 0\) Yechim
Ushbu qismda biz jarayonni biroz tezroq bajaramiz. Avval atamalarni to'g'ri guruhlash va joylashtirishni oling.
\[\underbrace {\,\,\,\,\,{x^2} - 3x\,\,\,\,\,}_{{\mbox{complete the square}}} + \underbrace {\,\,\,{y^2} + 10y\,\,\,}_{{\mbox{complete the square}}} = 1\]Endi, yuqorida aytib o'tilganidek, bu erda kvadratni ikki marta, bir marta \(x\) shartlari uchun va bir marta \(y\) shartlari uchun to'ldirishimiz kerak. Keling, avval ikkala tomonga qo'shishimiz kerak bo'lgan raqamlarni olaylik.
\[{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\left( {\frac{{10}}{2}} \right)^2} = {\left( 5 \right)^2} = 25\]Endi ularni tenglamaning ikkala tomoniga qo'shing.
\[\underbrace {{x^2} - 3x + \frac{9}{4}}_{{\mbox{factor this}}} + \underbrace {{y^2} + 10y + 25}_{{\mbox{factor this}}} = 1 + \frac{9}{4} + 25 = \frac{{113}}{4}\]Raqamlarni ikkala tomonga qo'shganda ishonch hosil qiling va ularni to'g'ri joylashtiring. Bu shuni anglatadiki, biz \(x\) koeffitsientidan raqamni \(x\) shartlari bilan va \(y\) koeffitsientidan raqamni \(y\) shartlari bilan qo'yishimiz kerak. Bu joylashuv muhim, chunki bu kvadratiklar omil bo'lishining yagona usuli bo'ladi, chunki biz ularni faktor qilishimiz kerak.
Endi yuqorida ko'rsatilganidek, kvadratiklarni hisobga oling. This will give the standard form of the equation of the circle.
\[{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = \frac{{113}}{4}\]This looks a little messier than the equations that we’ve seen to this point. However, this is something that will happen on occasion so don’t get excited about it. Mana bu doiraning markazi va radiusi.
\[{\mbox{center}} = \left( {\frac{3}{2}, - 5} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{radius}} = \sqrt {\frac{{113}}{4}} = \frac{{\sqrt {113} }}{2}\]Do not get excited about the messy radius or fractions in the center coordinates.