1.9-bo'lim : Eksponensial va logarifm tenglamalari
Eksponensial o'sish/emirilish. Dunyodagi ko'plab miqdorlarni eksponensial o'sish/emirilish tenglamasi bilan modellashtirish mumkin (hech bo'lmaganda qisqa vaqt).
\[Q = {Q_0}{{\bf{e}}^{k\,t}}\]Agar \(k\) ijobiy bo'lsa, biz eksponensial o'sishni olamiz va \(k\) manfiy bo'lsa, biz eksponensial yemirilishga ega bo'lamiz.
15. Bakteriyalar populyatsiyasida dastlab 250 ta bo'lsa, 5 kundan keyin 1600 ta bakteriya mavjud bo'ladi.
- Ushbu populyatsiya uchun eksponensial o'sish tenglamasini aniqlang.
- Dastlabki aholi soni 250 kishidan 2000 kishigacha o'sishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
a Ushbu populyatsiya uchun eksponensial o'sish tenglamasini aniqlang. Yechim
Biz buni bilishimizni tan olishdan boshlashimiz mumkin,
\[Q\left( 0 \right) = 250\hspace{0.5in}{\rm{and}}\hspace{0.5in}Q\left( 5 \right) = 1600\]Agar biz tenglamada birinchi shartdan foydalansak,
\[250 = Q\left( 0 \right) = {Q_0}{{\bf{e}}^{k\left( 0 \right)}} = {Q_0}\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}{Q_0} = 250\]Endi biz tenglamadagi birinchi noma'lumni bilamiz. Buni va ikkinchi shartni tenglamaga qo'shish bizga beradi,
\[1600 = Q\left( 5 \right) = 250{{\bf{e}}^{5k}}\]\(k\) qiymatini aniqlash uchun biz ushbu bo'limdagi oldingi masalalardagi usullardan foydalanishimiz mumkin.
\[\begin{align*}1600 & = 250{{\bf{e}}^{5k}}\\ \frac{{1600}}{{250}} & = {{\bf{e}}^{5k}}\\ \ln \left( {\frac{{32}}{5}} \right) & = 5k\\ k & = \frac{1}{5}\ln \left( {\frac{{32}}{5}} \right) = 0.3712596\end{align*}\]Sizning afzalliklaringizga qarab, biz aniq qiymat yoki kasr qiymatidan foydalanishimiz mumkin. Shuni yodda tutingki, \(k\) eksponensial funktsiyaning ko'rsatkichida bo'lganligi sababli, agar biz haddan tashqari yaxlitlashimiz mumkin bo'lgan qiymatdagi potentsial katta farqlarga yo'l qo'ymaslik uchun bir nechta o'nli kasrlardan foydalanishimiz kerak.
Bularning barchasini jamlagan holda, ushbu populyatsiya uchun eksponensial o'sish tenglamasi:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{Q = 250{{\bf{e}}^{\frac{1}{5}\ln \left( {\frac{{32}}{5}} \right)t}}}}\]b Dastlabki aholi soni 250 kishidan 2000 kishigacha o'sishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi? Yechim
Bu erda bizdan haqiqatan ham so'ralayotgan narsa tenglamani yechishdir,
\[2000 = Q\left( t \right) = 250{{\bf{e}}^{\frac{1}{5}\ln \left( {\frac{{32}}{5}} \right)t}}\]va biz buni qanday qilishni ushbu bo'limdagi oldingi muammolardan bilamiz. Mana bu qism uchun yechim ishi.
\[\begin{align*}\frac{{2000}}{{250}} & = {{\bf{e}}^{\frac{1}{5}\ln \left( {\frac{{32}}{5}} \right)t}}\\ \ln \left( 8 \right) & = \frac{1}{5}\ln \left( {\frac{{32}}{5}} \right)t\\ t & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{5\ln \left( 8 \right)}}{{\ln \left( {{\textstyle{{32} \over 5}}} \right)}} = 5.6010}}\end{align*}\]Aholi soni 2000 kishiga yetishi uchun 5601 kun kerak bo'ladi.