Kritik nuqtalarni topish uchun bizga birinchi navbatda funktsiyaning hosilasi kerak, shuning uchun keling, buni bilib olaylik va biz tanqidiy nuqtalarni topishga borganimizda hayotimizni osonlashtirish uchun imkon qadar ko'proq omillarga e'tibor qaratamiz.

\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = 30{x^4} + 132{x^3} - 90{x^2}\\ & = 6{x^2}\left( {5{x^2} + 22x - 15} \right)\\ & = 6{x^2}\left( {5x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)\end{align*}\]

Endi bizning hosilamiz ko'phad va shuning uchun hamma joyda mavjud bo'ladi. Shuning uchun, yagona muhim nuqtalar hosila nolga teng bo'lgan \(x\) qiymatlari bo'ladi. Demak, biz hal qilishimiz kerak.

\[6{x^2}\left( {5x - 3} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\]

Bu hosilaning faktorlangan shakli bo'lgani uchun uchta muhim nuqtani aniqlash juda oson. Ular,

\[x = - 5,\,\,\,\,\,\,x = 0,\,\,\,\,\,\,x = \frac{3}{5}\]

Loyimani topish uchun, ehtimol, farqlashdan oldin biroz soddalashtirish osonroq bo'ladi. Keling, ildizni qavs orqali ko'paytiramiz va iloji boricha soddalashtiramiz. Bu bizga hosila olishda mahsulot qoidasidan foydalanishdan qochish imkonini beradi.

\[g\left( t \right) = {t^{\frac{2}{3}}}\left( {2t - 1} \right) = 2{t^{\frac{5}{3}}} - {t^{\frac{2}{3}}}\]

Endi farqlang.

\[g'\left( t \right) = \frac{{10}}{3}{t^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3}{t^{ - \frac{1}{3}}} = \frac{{10{t^{\frac{2}{3}}}}}{3} - \frac{2}{{3{t^{\frac{1}{3}}}}}\]

Biz bu muammo bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Salbiy ko'rsatkichga duch kelganda, yuqorida qilganimizdek, ko'rsatkichdagi minus belgisini olib tashlash yaxshiroqdir. Bu haqiqatan ham talab qilinmaydi, lekin ba'zida buni qilsak, hayotimizni osonlashtirishi mumkin.

E'tibor bering, ikkinchi muddatda salbiy ko'rsatkichni yo'q qilish bizga \(t = 0\) nima uchun bu funktsiya uchun muhim nuqta ekanligini to'g'ri aniqlash imkonini beradi. Ikkinchi atamani maxrajga o'tkazganimizdan so'ng, hosila \(t = 0\) da mavjud emasligini aniq ko'ramiz va shuning uchun bu juda muhim nuqta bo'ladi. Agar siz ikkinchi muddatda manfiy ko'rsatkichdan xalos bo'lmasangiz, ko'p odamlar \(t = 0\) kritik nuqta ekanligini noto'g'ri ta'kidlaydilar, chunki hosila \(t = 0\) da nolga teng. Bu ahmoqona nuqtadek tuyulishi mumkin bo'lsa-da, har bir holatda \(t = 0\) tanqidiy nuqta sifatida aniqlanadi. nuqta nima uchun muhim nuqta ekanligini bilish ba'zan muhimdir. Aslida, bir nechta bo'limlarda biz faqat lotin nolga teng bo'lgan kritik nuqtalar uchun ishlaydigan haqiqatni ko'ramiz.

Shunday qilib, biz bitta muhim nuqtani topdik (bu erda hosila mavjud emas), lekin endi hosila nolga teng ekanligini aniqlashimiz kerak (agar u albatta bo'lsa ...). Bunga yordam berish uchun odatda ikkita atamani bitta ratsional ifodaga birlashtirish yaxshidir. Shunday qilib, umumiy maxrajni olish va birlashtirish bizga beradi,

\[g'\left( t \right) = \frac{{10t - 2}}{{3{t^{\frac{1}{3}}}}}\]

E'tibor bering, bizda hali ham \(t = 0\) muhim nuqta sifatida mavjud. Bunday kombinatsiyani amalga oshirish hech qachon muhim nuqtalarni yo'qotmasligi kerak, bu faqat ularni topishga yordam berish uchun qilingan. Ko'rib turganimizdek, endi lotin qayerda nolga teng bo'lishini tezda aniqlash ancha osonlashdi. Eslatib o'tamiz, ratsional ifoda faqat uning surati nolga teng bo'lsa (va bu nuqtada maxraj ham nolga teng bo'lmasa) nolga teng bo'ladi.

Shunday qilib, bu holda biz \(t = \frac{1}{5}\) bo'lsa, surat nolga teng bo'lishini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun bu funktsiya uchun ikkita muhim nuqta mavjud.

\[t = 0\hspace{0.5in}\,\text{va}\hspace{0.5in}t = \frac{1}{5}\]

Buni sizlarga qoldiramiz, bu ko‘rsatkich qoidasidan foydalanib, ba’zi soddalashtirish bilan birga, hosila quyidagicha ekanligini aniqlaymiz:

\[R'\left( w \right) = \frac{{ - {w^2} - 14w + 1}}{{{{\left( {{w^2} - w - 6} \right)}^2}}} = - \frac{{{w^2} + 14w - 1}}{{{{\left( {{w^2} - w - 6} \right)}^2}}}\]

E'tibor bering, biz muhim nuqtalarni topishda ozgina yordam berish uchun suratdan "-1" ni ajratdik. Oldindagi bu salbiy hosila nolga teng bo'ladimi yoki yo'qmi, hosilaga ta'sir qilmaydi, lekin bizning ishimizni biroz osonlashtiradi.

Endi bizda ikkita muammo bor. Birinchidan, agar maxrajda nolga bo'linish bo'lsa, hosila mavjud bo'lmaydi. Shunday qilib, biz hal qilishimiz kerak,

\[{w^2} - w - 6 = \left( {w - 3} \right)\left( {w + 2} \right) = 0\]

Biz buni kvadratga solish bilan bezovta qilmadik, chunki agar bu nol bo'lsa, nol kvadrat hali ham nolga teng va agar u nol bo'lmasa, kvadratlashtirish uni nolga aylantirmaydi.

Shunday qilib, biz \(w = 3\) va \(w = - 2\) da hosila mavjud bo'lmasligini ko'rishimiz mumkin. Biroq, bu muhim nuqtalar EMAS, chunki funksiya bu nuqtalarda ham mavjud bo'lmaydi. Eslatib o'tamiz, nuqta kritik nuqta bo'lishi uchun funktsiya shu nuqtada mavjud bo'lishi kerak.

Bu vaqtda biz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Surat omil hisoblanmaydi, lekin bu lotin nolga teng bo'lgan muhim nuqtalar yo'qligini anglatmaydi. Butun kasr nolga teng ekanligini aniqlash uchun hisoblagichdagi kvadrat formuladan foydalanishimiz mumkin.

\[w = \frac{{ - 14 \pm \sqrt {{{\left( {14} \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( { - 1} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{ - 14 \pm \sqrt {200} }}{2} = \frac{{ - 14 \pm 10\sqrt 2 }}{2} = - 7 \pm 5\sqrt 2 \]

Shunday qilib, biz ikkita muhim nuqtani olamiz. Bundan tashqari, bu "yaxshi" butun sonlar yoki kasrlar emas. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi. Har doim "yaxshi" bo'ladigan javoblarga o'ta qulflanib qolmang. Ko'pincha ular yo'q.

Shuni ham yodda tutingki, biz faqat tanqidiy nuqtalar uchun haqiqiy raqamlardan foydalanamiz. Demak, agar hisoblagichdagi kvadratni yechishda biz kompleks sonni olgan bo'lsak, bular kritik nuqtalar hisoblanmaydi.

Xulosa qilib aytganda, bizda ikkita muhim nuqta bor. Ular,

\[w = - 7 + 5\sqrt 2 ,\,\,\,\,w = - 7 - 5\sqrt 2 \]

Yana shuni yodda tutingki, \(w = 3\) va \(w = - 2\) da hosila mavjud bo'lmasa ham, funktsiya ham mavjud emas va shuning uchun bu ikki nuqta bu funktsiya uchun muhim nuqta emas.

Avval hosilani oling va ikkinchi muddatda zanjir qoidasidan foydalanishni unutmang.

\[y' = 6 + 12\sin \left( {3x} \right)\]

Endi bu hamma joyda mavjud bo'ladi va shuning uchun hosila mavjud bo'lmagan muhim nuqtalar bo'lmaydi. Faqat kritik nuqtalar hosilani nolga aylantirgan nuqtalardan keladi. Biz hal qilishimiz kerak,

\[\begin{align*}6 + 12\sin \left( {3x} \right) & = 0\\ \sin \left( {3x} \right) & = - \frac{1}{2}\end{align*}\]

Bu tenglamani yechish quyidagini beradi.

\[\begin{align*}3x & = 3.6652 + 2\pi n,\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 3x & = 5.7596 + 2\pi n,\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

Bularda \(2 \pi n\) ni unutmang! Yo'lda muammolar bo'ladi, ularsiz biz yechimlarni o'tkazib yuboramiz! Shuningdek, u ushbu bosqichda qo'yilganligiga ishonch hosil qiling! Endi ushbu funktsiya uchun barcha muhim nuqtalarni olish uchun 3 ga bo'ling.

\[\begin{align*}x &= 1.2217 + \frac{{2\pi n}}{3},\hspace{0.5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x &= 1.9199 + \frac{{2\pi n}}{3},\hspace{0.5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

Mana bu funktsiyaning hosilasi.

\[h'\left( t \right) = 10{{\bf{e}}^{3 - {t^2}}} + 10t{{\bf{e}}^{3 - {t^2}}}\left( { - 2t} \right) = 10{{\bf{e}}^{3 - {t^2}}} - 20{t^2}{{\bf{e}}^{3 - {t^2}}}\]

Endi, bu yoqimsiz ko'rinadi, ammo ozgina faktoring bilan biz narsalarni quyidagicha tozalashimiz mumkin:

\[h'\left( t \right) = 10{{\bf{e}}^{3 - {t^2}}}\left( {1 - 2{t^2}} \right)\]

Bu funktsiya hamma joyda mavjud bo'ladi, shuning uchun mavjud bo'lmagan hosiladan hech qanday tanqidiy nuqtalar kelmaydi. Bu qaerda nol ekanligini aniqlash ko'rinadiganidan osonroqdir. Biz bilamizki, ko'rsatkichlar hech qachon nolga teng emas va shuning uchun hosila nolga teng bo'lishining yagona yo'li, agar:

\[\begin{align*}1 - 2{t^2} & = 0\\ 1 & = 2{t^2}\\ \frac{1}{2} & = {t^2}\end{align*}\]

Ushbu funktsiya uchun ikkita muhim nuqtaga ega bo'lamiz.

\[t = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

Loyimani olishdan oldin shuni ta'kidlaylikki, biz manfiy son yoki nol jurnalini ololmasak, biz faqat \(x > 0\) ga qarashimiz mumkin.

Demak, hosila,

\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = 2x\ln \left( {3x} \right) + {x^2}\left( {\frac{3}{{3x}}} \right)\\ & = 2x\ln \left( {3x} \right) + x\\ & = x\left( {2\ln \left( {3x} \right) + 1} \right)\end{align*}\]

Endi, agar \(x\) manfiy son bo'lsa yoki \(x = 0\) bo'lsa, bu hosila mavjud bo'lmaydi, lekin yana funktsiya ham bo'lmaydi va shuning uchun bular muhim nuqtalar emas. Esda tutingki, funktsiya faqat \(x > 0\) bilan mavjud bo'ladi va hosila faqat \(x > 0\) da mavjud bo'ladi va shuning uchun biz tashvishlanishimiz kerak bo'lgan yagona narsa lotin qaerda nolga teng ekanligi.

Birinchidan, ko'rinishga qaramay, hosila \(x = 0\) uchun nolga teng bo'lmaydi. Yuqorida aytib o'tilganidek, hosila \(x = 0\) da tabiiy logarifm tufayli mavjud emas va shuning uchun hosila u erda nolga teng bo'lishi mumkin emas!

Shunday qilib, hosila faqat nolga teng bo'ladi, agar:

\[\begin{align*}2\ln \left( {3x} \right) + 1 & = 0\\ \ln \left( {3x} \right) & = - \frac{1}{2}\end{align*}\]

Eslatib o'tamiz, biz buni ikkala tomonni eksponentatsiya qilish orqali hal qilishimiz mumkin.

\[\begin{align*}{{\bf{e}}^{\ln \left( {3x} \right)}} & = {{\bf{e}}^{ - \frac{1}{2}}}\\ 3x & = {{\bf{e}}^{ - \frac{1}{2}}}\\ x & = \frac{1}{3}{{\bf{e}}^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{3\sqrt {\bf{e}} }}\end{align*}\]

Ushbu funktsiya uchun bitta muhim nuqta mavjud.

E'tibor bering, bu funktsiya 5-misolda qo'llanilgan funktsiyadan unchalik farq qilmaydi. Bu holda hosila:

\[f'\left( x \right) = {{\bf{e}}^{{x^2}}} + x{{\bf{e}}^{{x^2}}}\left( {2x} \right) = {{\bf{e}}^{{x^2}}}\left( {1 + 2{x^2}} \right)\]

Bu funktsiya \(x\) ning har qanday haqiqiy qiymati uchun hech qachon nolga teng bo'lmaydi. Albatta, eksponensial hech qachon nolga teng bo'lmaydi va agar \(x\) murakkab bo'lsa va polinom nolga teng bo'ladi va biz faqat kritik nuqtalar uchun \(x\) ning haqiqiy qiymatlarini olishni xohlaymiz.

Shuning uchun bu funktsiya hech qanday tanqidiy nuqtalarga ega bo'lmaydi.