15.1-bo'lim: Ikki tomonlama integrallar
Ikkilamchi integrallardan foydalanishni boshlashdan oldin, bitta o'zgaruvchining funktsiyalari uchun aniq integrallarning ta'rifini qisqacha ko'rib chiqaylik. Birinchidan, integral bilan ishlaganda,
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]biz \(x\) ni \(a \le x \le b\) oralig'idan kelgan deb o'ylaymiz. Ushbu integrallar uchun biz \(a \le x \le b\) oralig'ida integrallashyapmiz, deb aytishimiz mumkin. E'tibor bering, bu \(a < b\) deb taxmin qiladi, ammo bizda \(b < a\) bo'lsa, biz faqat \(b \le x \le a\) oralig'idan foydalanishimiz mumkin.
Endi, biz qachon olingan aniq integralning ta'rifi biz buni birinchi navbatda maydon muammosi deb hisobladik. Biz birinchi navbatda egri chiziq ostidagi maydon nima ekanligini so'radik va buning uchun \(a \le x \le b\) oralig'ini \(\Delta x\) kenglikdagi \(n\) subintervallariga ajratdik va quyida ko'rsatilgandek har bir oraliqdan \(x_i^*\) nuqtani tanladik,
To'rtburchaklarning har biri \(f\left( {x_i^*} \right)\) balandligiga ega va biz ushbu to'rtburchaklarning har birining maydonidan maydonni quyidagicha taxmin qilishimiz mumkin.
\[A \approx f\left( {x_1^*} \right)\Delta x + f\left( {x_2^*} \right)\Delta x + \cdots + f\left( {x_i^*} \right)\Delta x + \cdots + f\left( {x_n^*} \right)\Delta x\]Aniq maydonni olish uchun biz chegarani oldik, chunki \(n\) cheksizlikka boradi va bu ham aniq integralning ta'rifi edi.
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \]Ushbu bo'limda biz \(f\left( {x,y} \right)\) ikkita o'zgaruvchidan iborat funktsiyani birlashtirmoqchimiz. Bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan biz intervalda birlashtirdik (i.e. bir o'lchovli bo'shliq) va shuning uchun ikkita o'zgaruvchining funktsiyasini integrallashda biz \({\mathbb{R}^2}\) (ikki o'lchovli fazo) mintaqasi bo'ylab integrallashamiz degan ma'no bor.
Biz \({\mathbb{R}^2}\)-dagi mintaqa to'rtburchak deb faraz qilishdan boshlaymiz, biz uni quyidagicha belgilaymiz,
\[R = \left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right]\]Bu \(x\) va \(y\) diapazonlari \(a \le x \le b\) va \(c \le y \le d\) ekanligini anglatadi.
Bundan tashqari, biz dastlab \(f\left( {x,y} \right) \ge 0\) deb taxmin qilamiz, ammo bu haqiqatan ham shunday bo'lishi shart emas. Keling, \(S\) sirtining grafigi bilan \(f\left( {x,y} \right)\) ning \(R\) to‘rtburchaklar ustidagi grafigidan boshlaylik.
Endi, xuddi bitta o'zgaruvchining funktsiyalarida bo'lgani kabi, hali integrallar haqida qayg'urmaylik. Avval \(S\) (va undan yuqori) ostida mintaqaning hajmi qancha ekanligini so'raylik xy-samolyot, albatta).
Yuqoridagi maydonga yaqinlashganimizdek, hajmni ham xuddi shunday taxmin qilamiz. Biz avval \(a \le x \le b\) ni \(n\) subintervallariga va \(c \le y \le d\) ni \(m\) subintervallariga ajratamiz. Bu \(R\) ni bir qator kichikroq to'rtburchaklar qatoriga ajratadi va ularning har biridan biz \(\left( {x_i^*,y_j^*} \right)\) nuqtasini tanlaymiz. Mana bu o'rnatishning eskizi.
Endi, bu kichikroq to'rtburchaklarning har biriga balandligi \(f\left( {x_i^*,y_j^*} \right)\) tomonidan berilgan qutini quramiz. Mana buning eskizi.
To'rtburchaklarning har birining asosiy maydoni \(\Delta {\kern 1pt} A\) va balandligi \(f\left( {x_i^*,y_j^*} \right)\), shuning uchun bu qutilarning har birining hajmi \(f\left( {x_i^*,y_j^*} \right)\,\Delta {\kern 1pt} A\). \(S\) yuzasi ostidagi hajm taxminan,
\[V \approx \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {f\left( {x_i^*,y_j^*} \right)\,\Delta {\kern 1pt} A} } \]Bizda bo'ladi ikki barobar so'm, chunki biz \(x\) va \(y\) yo'nalishlarida hajmlarni qo'shishimiz kerak bo'ladi.
Ovozni yaxshiroq baholash uchun biz \(n\) va \(m\) ni kattaroq va kattaroq olamiz va aniq hajmni olish uchun chegarani olishimiz kerak, chunki \(n\) ham, \(m\) ham cheksizlikka boradi. Boshqacha aytganda,
\[V = \mathop {\lim }\limits_{n,\,\,m \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {f\left( {x_i^*,y_j^*} \right)\,\Delta {\kern 1pt} A} } \]Endi bu tanish ko'rinishi kerak. Bu bitta o'zgaruvchili funktsiyaning integrali ta'rifiga juda o'xshaydi. Aslida, bu ikki tomonlama integralning ta'rifi yoki to'g'ridan-to'g'ri to'rtburchaklar ustidagi ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning integralidir.
Mana, \(R\) to'rtburchaklar mintaqasi bo'yicha ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning qo'sh integralining rasmiy ta'rifi, shuningdek, biz buning uchun ishlatadigan belgi.
\[\iint\limits_{R}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}} = \mathop {\lim }\limits_{n,\,\,m \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {f\left( {x_i^*,y_j^*} \right)\,\Delta {\kern 1pt} A} } \]Yagona integrallarning yozuvidagi o‘xshashlik va farqlarga e’tibor bering. Ikki o'lchovli mintaqa bilan ishlayotganimizni ko'rsatish uchun bizda ikkita integral bor va bu erda ham differentsial mavjud. Differensial biz ko'rgan \(dx\) va \(dy\) o'rniga \(dA\) ekanligini unutmang. Shuni ham yodda tutingki, bizda bu belgida integrallar bo'yicha cheklovlar yo'q. Buning o'rniga bizda ikkita integral ostida yozilgan \(R\) mavjud bo'lib, biz integratsiya qilayotgan mintaqani bildiramiz.
Yuqorida aytib o'tilganidek, \(R\) to'rtburchaklar ustidagi \(f\left( {x,y} \right)\) qo'sh integralining bir talqini \(f\left( {x,y} \right)\) funktsiyasi ostidagi hajmdir (va undan yuqorisi). xy-samolyot). Yoki,
Sirt ostidagi ovoz balandligi
Agar kerak bo'lsa, qo'sh integralning qiymatini baholash uchun ta'rifda ushbu qo'sh yig'indidan foydalanishimiz mumkin. Buni har bir toʻrtburchakning oʻrta nuqtasi sifatida \(\left( {x_i^*,y_j^*} \right)\) ni tanlash orqali amalga oshirishimiz mumkin. Buni qilganda biz odatda nuqtani \(\left( {{{\overline{x}}_i},{{\overline{y}}_j}} \right)\) deb belgilaymiz. Bu ga olib keladi O'rta nuqta qoidasi,
\[\iint\limits_{R}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}} \approx \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {f\left( {{{\overline{x}}_i},{{\overline{y}}_j}} \right)\,\Delta {\kern 1pt} A} } \]Keyingida biz qo'sh integrallarni qanday hisoblashni ko'rib chiqamiz.