4. polar va eksponensial shakl
Ko'pchilik \(z = a + bi\) ko'rinishidagi kompleks sonlar bilan tanish, ammo ba'zida foydali bo'lgan ba'zi muqobil shakllar mavjud. Ushbu bo'limda biz ikkalasini ham, ulardan kelib chiqadigan bir nechta yoqimli faktlarni ko'rib chiqamiz.
Geometrik talqin
Muqobil shakllarga kirishdan oldin murakkab sonlarning tabiiy geometrik talqinini qisqacha ko'rib chiqishimiz kerak, chunki bu bizni birinchi muqobil shaklga olib keladi.
\(z = a + bi\) kompleks raqamini ko'rib chiqing. Biz bu kompleks sonni standart dekart koordinata tizimidagi \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasi yoki koordinata boshidan boshlanib, \(\left( {a,b} \right)\) nuqtada tugaydigan vektor sifatida tasavvur qilishimiz mumkin. Bunga misol quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
Ushbu talqinda biz \(x\) o'qi deb ataymiz haqiqiy o'q va \(y\) o'qi xayoliy o'q. Biz bu talqinda \(xy\) tekisligini tez-tez deb ataymiz murakkab tekislik.
Shuni ham yodda tutingki, biz endi ning geometrik talqinini olishimiz mumkin modul. Yuqoridagi rasmdan biz \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) \(z = a + bi\) kompleks raqamini ifodalash uchun foydalanayotgan vektor uzunligidan boshqa narsa emasligini ko'rishimiz mumkin. Ushbu talqin, shuningdek, \(\left| {{z_1}} \right| < \left| {{z_2}} \right|\) tengsizligi \({z_1}\) ning \({z_2}\) dan ko'ra kelib chiqishiga yaqinroq (murakkab tekislikda) ekanligini bildiradi.
Polar shakl
Keling, murakkab sonning birinchi muqobil shaklini ko'rib chiqaylik. Agar biz \(z = a + bi\) nolga teng bo'lmagan kompleks sonni \(xy\) tekisligidagi \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasi deb hisoblasak, biz bu nuqtani \(\left( {r,\theta } \right)\) qutb koordinatalari bilan ifodalashimiz mumkinligini ham bilamiz, bu erda \(r\) nuqtaning koordinata nuqtasidan masofasi, \(\theta \) radiansdagi musbat, \(x\)-o'qi koordinatani nuqta bilan bog'laydigan nurga.
Kompleks sonlar bilan ishlashda biz \(r\) musbat va \(\theta \) nurda tugaydigan har qanday mumkin (musbat va manfiy) burchaklar bo‘lishi mumkin deb faraz qilamiz. E'tibor bering, bu \(\theta \) uchun tom ma'noda cheksiz ko'p tanlov mavjudligini anglatadi.
Biz \(z = 0\) ni chiqarib tashladik, chunki \(\theta \) nuqta (0,0) uchun aniqlanmagan. Shuning uchun biz faqat nolga teng bo'lmagan kompleks sonlarning qutb shaklini ko'rib chiqamiz.
Bizda quyidagilar mavjud konvertatsiya \(\left( {r,\theta } \right)\) qutb koordinatalarini \(\left( {a,b} \right)\) nuqtaning mos keladigan kartezian koordinatalariga aylantirish uchun formulalar.
\[a = r\cos \theta \hspace{0.75in} b = r\sin \theta \]Agar biz ularni \(z = a + bi\) ga almashtirsak va \(r\) ni ko'paytirsak, biz quyidagi natijaga erishamiz. qutb shakli kompleks son,
\begin{tengation}z = r\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right) \label{eq:eq1}\end{tenglama}Shuni ham yodda tutingki, bizda \(r\) dan \(a\) va \(b\) ga tegishli qutb koordinatalaridan quyidagi formula mavjud.
\[r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]ammo, o'ng tomon modulning ta'rifidan boshqa narsa emas va biz buni ko'ramiz,
\begin{equation}r = \left| z \right|\label{eq:eq2} \end{tenglama}Shunday qilib, ba'zida qutb shakli quyidagicha yoziladi:
\begin{equation}z = \left| z \right|\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)\label{eq:eq3}\end{tenglama}\(\theta \) burchagi deyiladi argument \(z\) va quyidagi bilan belgilanadi:
\[\theta = \arg z\]\(z\) argumenti \(\theta \) ning cheksiz mumkin bo'lgan qiymatlaridan har biri bo'lishi mumkin, ularning har birini hal qilish orqali topish mumkin.
\begin{tengation}\tan \theta = \frac{b}{a}\label{eq:eq4}\end{tenglama}va \(\theta \) to'g'ri kvadrantda ekanligiga ishonch hosil qiling.
Shuni ham yodda tutingki, argumentning har qanday ikkita qiymati bir-biridan \(2\pi \) ning butun soni bilan farqlanadi. Quyidagilarni ko'rib chiqsangiz, bu mantiqiy bo'ladi.
Berilgan \(z\) kompleks raqami uchun argumentning mumkin bo'lgan qiymatlaridan birini tanlang, aytaylik \(\theta \). Agar siz hozir \(\theta \) qiymatini oshirsangiz, bu haqiqatda nuqta ijobiy \(x\) o'qi bilan hosil qiladigan burchakni oshirsa, siz nuqtani soat miliga teskari yo'nalishda aylantirasiz. Bitta to'liq inqilobni amalga oshirish uchun \(2\pi \) radianlari kerak bo'lgani uchun siz \(\theta + 2\pi \) ga yetganingizda dastlabki boshlang'ich nuqtaga qaytasiz va shuning uchun argumentning yangi qiymatiga ega bo'lasiz. Quyidagi rasmga qarang.
Agar burchakni oshirishda davom etsangiz, \(\theta + 4\pi \) ga yetganingizda yana boshlang'ich nuqtaga qaytasiz, bu yana argumentning yangi qiymati. Shu tarzda davom etsak, biz har safar argumentning yangi qiymatiga erishganimizda, biz argumentning asl qiymatiga shunchaki \(2\pi \) ko'paytmalarini qo'shishimizni ko'rishimiz mumkin.
Xuddi shunday, agar siz \(\theta \) dan boshlasangiz va burchakni kamaytirsangiz, nuqtani soat yo'nalishi bo'yicha aylantirasiz va \(\theta - 2\pi \) ga yetganingizda dastlabki boshlang'ich nuqtangizga qaytasiz. Shu tarzda davom etsak, argumentning har bir yangi qiymati argumentning asl qiymatidan \(2\pi \) ning ko'paytmasini ayirish yo'li bilan topilishini yana bir bor ko'rishimiz mumkin.
Shunday qilib, agar \({\theta _1}\) va \({\theta _2}\) \(\arg z\) ning ikkita qiymati bo'lsa, ba'zi bir butun \(k\) uchun bizda bo'lishini ko'rishimiz mumkin,
\begin{equation}{\theta _1} - {\theta _2} = 2\pi k\label{eq:eq5}\end{tenglama}Shuni ham yodda tutingki, biz bu yerda \(z = r\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)\) radiusi \(r\) bosh markazida joylashgan doiraning parametrik tasviri ekanligini va burchak \(\theta \) dan \(\theta + 2\pi \) ga oshgani sayin soat miliga teskari yo‘nalishda to‘liq aylanani kuzatishini ko‘rsatdik.
asosiy qiymat argumentning (ba'zan deyiladi asosiy dalil) \( - \pi < \arg z \le \pi \) diapazonida joylashgan va \({\mathop{\rm Arg}\nolimits} z\) bilan belgilanadigan argumentning yagona qiymati. E'tibor bering, diapazonning har ikki uchidagi tengsizliklar manfiy haqiqiy son \({\mathop{\rm Arg}\nolimits} z = \pi \) argumentining asosiy qiymatiga ega bo'lishini bildiradi.
Yuqorida argumentning har qanday ikkita qiymati bir-biridan \(2\pi \) ko'paytmasi bilan farqlanishini ta'kidlaganimizni eslasak, bizni quyidagi faktga olib keladi.
\begin{tengation}\arg z = {\mathop{\rm Arg}\nolimits} z + 2\pi n \hspace{0,25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \label{eq:eq:6}\end{tenglama}Murakkab sonning ikkinchi muqobil shaklini ko'rishga o'tishdan oldin, ehtimol, bu nuqtada bir nechta tezkor raqamli misollar keltirishimiz kerak.
- \(z = - 1 + i\,\sqrt 3 \)
- \(z = - 9 \)
- \(z = 12\,i\)
a \(z = - 1 + i\,\sqrt 3 \) Yechim
Endi \(z\) argumentini topamiz. Bu \(\eqref{eq:eq4}\)-ni qondiradigan har qanday burchak bo'lishi mumkin, lekin odatda asosiy qiymatni topish eng oson, shuning uchun biz uni topamiz. Argumentning asosiy qiymati \(\theta \) ning \( - \pi < \theta \le \pi \) diapazonidagi qiymati bo'ladi, qanoatlantiradi,
\[\tan \theta = \frac{{\sqrt 3 }}{{ - 1}} \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} \theta = {\tan ^{ - 1}}\left( { - \sqrt 3 } \right)\]va ikkinchi kvadrantda, chunki bu kompleks sonning kompleks tekislikdagi joylashuvi.
Agar siz ushbu teskari tangensning qiymatini topish uchun kalkulyatordan foydalanayotgan bo'lsangiz, kalkulyatoringiz faqat \( - \frac{\pi }{2} < \theta < \frac{\pi }{2}\) diapazonidagi qiymatlarni qaytarishini tushunganingizga ishonch hosil qiling va shuning uchun siz noto'g'ri qiymat olishingiz mumkin. Eslatib o'tamiz, agar kalkulyatoringiz \({\theta _1}\) qiymatini qaytarsa, tenglamani qondiradigan ikkinchi qiymat ham \({\theta _2} = {\theta _1} + \pi \) bo'ladi. Shunday qilib, agar siz kalkulyatordan foydalansangiz, ehtiyot bo'ling. Bizda mavjud bo'lgan kompleks songa mos kelish uchun ikkalasini ham hisoblashingiz va qaysi to'g'ri kvadrantga tushishini aniqlashingiz kerak bo'ladi chunki ulardan faqat bittasi to'g'ri kvadrantda bo'ladi.
Bizning holatlarimizda ikkita qiymat:
\[{\theta _1} = - \frac{\pi }{3} \hspace{0.25in} {\theta _2} = - \frac{\pi }{3} + \pi = \frac{{2\pi }}{3}\]Birinchisi to'rtinchi kvadrantda, ikkinchisi esa ikkinchi kvadrantda va biz ketayotganimiz ham shunday. Shunday qilib, argumentning asosiy qiymati,
\[{\mathop{\rm Arg}\nolimits} \,z = \frac{{2\pi }}{3}\]va argumentning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari keyin
\[\arg z = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi n \hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Keling, aslida bizdan so'ralgan narsani qilaylik. Mana \(z = - 1 + i\,\sqrt 3 \) ning qutb shakli.
\[z = 2\left( {\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right)\]Endi, to'liqlik uchun biz ushbu murakkab son uchun bir xil darajada haqiqiy qutb shakllari mavjudligini tan olishimiz kerak. Boshqa shakllardan birini olish uchun biz \(n\) ni tanlash orqali argumentning boshqa qiymatini hisoblashimiz kerak. Bu erda bir nechta boshqa mumkin bo'lgan qutb shakllari mavjud.
\begin{align*}z & = 2\left( {\cos \left( {\frac{{8\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{8\pi }}{3}} \right)} \right) & \hspace{0,25 dyuym} & n = 1\\ z & = 2\left( {\cos \left( { - \frac{{16\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( { - \frac{{16\pi }}{3}} \right)} \right) & \hspace{0,25 dyuym} & n = - 3\end{hizalang*}b \(z = - 9 \) Yechim
Bu holda biz allaqachon manfiy haqiqiy sonning asosiy qiymati \(\pi \) ekanligini ta'kidlagan edik, shuning uchun biz buni hisoblashimiz shart emas. To'liqlik uchun bu erda har qanday salbiy son argumentining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari keltirilgan.
\[\arg z = \pi + 2\pi n = \pi \left( {1 + 2n} \right) \hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Endi, \(r\),
\[r = \left| z \right| = \sqrt {81 + 0} = 9\]Qutbli shakl (asosiy qiymatdan foydalangan holda),
\[z = 9\left( {\cos \left( \pi \right) + i\sin \left( \pi \right)} \right)\]E'tibor bering, agar bizda ijobiy haqiqiy raqam bo'lsa, asosiy qiymat \({\mathop{\rm Arg}\nolimits}\, z = 0\) bo'lar edi.
c \(z = 12\,i\) Yechim
Bu haqiqiy raqamlarga o'xshash yana bir maxsus holat. Agar biz argumentni topish uchun \(\eqref{eq:eq4}\) dan foydalansak, muammolarga duch kelamiz, chunki haqiqiy qism nolga teng va bu nolga bo'linishni beradi. Biroq, argumentni olish uchun qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa, bu kompleks sonning murakkab tekislikda qaerda ekanligi haqida o'ylashdir. Murakkab tekislikda sof xayoliy sonlar xayoliy qismning belgisiga qarab yoki musbat \(y\) o'qida yoki manfiy \(y\) o'qida bo'ladi.
Bizning holatimizda xayoliy qism musbat va shuning uchun bu kompleks son musbat \(y\) o'qida bo'ladi. Shuning uchun, bu murakkab sonning asosiy qiymati va umumiy argumenti:
\[{\mathop{\rm Arg}\nolimits} z = \frac{\pi }{2} \hspace{0.5in} \arg z = \frac{\pi }{2} + 2\pi n = \pi \left( {\frac{1}{2} + 2n} \right) \hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Bundan tashqari, bu holda \(r\) = 12 va shuning uchun qutb shakli (yana asosiy qiymatdan foydalangan holda),
\[z = 12\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)\]Eksponensial shakl
Endi biz kompleks sonning qutb shaklini muhokama qilganimizdan so'ng, murakkab sonning ikkinchi muqobil shaklini kiritishimiz mumkin. Birinchidan, bizga Eyler formulasi kerak bo'ladi,
\begin{tengation}{{\bf{e}}^{i\,\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \label{eq:eq7}\end{tenglama}Eyler formulasi yordamida kompleks sonning qutb shaklini unga qayta yozishimiz mumkin eksponensial shakl quyidagicha.
\[z = r{{\bf{e}}^{i\,\theta }}\]Bu erda \(\theta = \arg z\) va shuning uchun biz qutbli shaklga o'xshab, berilgan kompleks son uchun cheksiz ko'p sonli eksponensial shakllar mavjudligini ko'rishimiz mumkin. Bundan tashqari, berilgan kompleks son uchun har qanday ikkita argument \(2\pi \) ning butun soni bilan farq qilganligi sababli, biz ba'zan eksponensial shaklni quyidagicha yozamiz:
\[z = r{{\bf{e}}^{i\,\left( {\theta + 2\pi n} \right)}} \hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Bu erda \(\theta \) argumentning har qanday qiymati, garchi u ko'pincha argumentning asosiy qiymati bo'lsa ham.
\(r\) qiymatini olish uchun biz \(\eqref{eq:eq3}\) dan eksponensial shaklni yozishimiz mumkin yoki to'g'ridan-to'g'ri yondashishimiz mumkin. Keling, to'g'ridan-to'g'ri yondashuvni ko'rib chiqaylik. Ikkala tomonning modulini oling va keyin quyidagi tarzda biroz soddalashtiring,
\[\left| z \right| = \left| {r{{\bf{e}}^{i\,\theta }}} \right| = \left| r \right|\,\left| {{{\bf{e}}^{i\,\theta }}} \right| = \left| r \right|\,\left| {\cos \theta + i\sin \theta } \right| = \sqrt {{r^2} + 0} \,\,\sqrt {{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } = r\]va biz \(r = \left| z \right|\) ekanligini ko'ramiz.
Shuni ham yodda tutingki, biz \(z = r\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)\) ni \(r\) radiusli doiraning parametrik tasviri va kompleks sonning eksponensial shakli haqiqatan ham qutb shaklini yozishning yana bir usuli bo'lganligi sababli, \(z = r{{\bf{e}}^{i\,\theta }}\) ni \(r\) radiusli doiraning parametrik tasviri sifatida ham ko'rib chiqishimiz mumkin.
Endi biz murakkab sonning eksponensial shaklini oldik, biz uni asosiy ko'rsatkich xususiyatlari bilan birgalikda murakkab sonlar va ularning argumentlari haqida yoqimli faktlarni olish uchun ishlatishimiz mumkin.
Birinchidan, \(z = r{{\bf{e}}^{i\,\theta }}\) nolga teng bo'lmagan kompleks raqamidan boshlaylik. Arifmetik bo'limda biz uchun juda murakkab formula berdik multiplikativ teskari, ammo kompleks sonning eksponensial shakli bilan biz ko'paytma teskari uchun ancha chiroyli formulani olishimiz mumkin.
\[{z^{ - 1}} = {\left( {r{{\bf{e}}^{i\,\theta }}} \right)^{ - 1}} = {r^{ - 1}}{\left( {{{\bf{e}}^{i\,\theta }}} \right)^{ - 1}} = {r^{ - 1}}{{\bf{e}}^{ - i\,\theta }} = \frac{1}{r}{{\bf{e}}^{i\,\left( { - \theta } \right)}}\]E'tibor bering, \(r\) nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lgani uchun biz \({r^{ - 1}} = \frac{1}{r}\) ekanligini bilamiz. Shunday qilib, bu ko'paytma teskari ko'rsatkichli shaklini birlashtirib,
\begin{equation}{z^{ - 1}} = \frac{1}{r}{{\bf{e}}^{i\,\left( { - \theta } \right)}}\label{eq:eq8}\end{tenglama}va ko'paytma teskarisining qutb shakli,
\begin{tengation}{z^{ - 1}} = \frac{1}{r}\left( {\cos \left( { - \theta } \right) + i\sin \left( { - \theta } \right)} \right)\label{eq:eq9}\end{tenglama}Kompleks sonlarning ko'paytmasi yoki koeffitsienti uchun yaxshi formulalarni ham olishimiz mumkin. Ikkita murakkab \({z_1} = {r_1}\,{{\bf{e}}^{i\,{\theta _{\,1}}}}\) va \({z_2} = {r_2}\,{{\bf{e}}^{i\,{\theta _{\,2}}}}\) raqamlarini hisobga olsak, bu erda \({\theta _1}\) \(\arg {z_1}\) ning istalgan qiymati va \({\theta _2}\) \(\arg {z_2}\) ning istalgan qiymatidir, bizda mavjud
\begin{align}{z_1}{z_2} &= \left( {{r_1}\,{{\bf{e}}^{i\,{\theta _{\,1}}}}} \right)\left( {{r_2}\,{{\bf{e}}^{i\,{\teta _} ={} \2)} {r_1}\,{r_2}{{\bf{e}}^{i\,\left( {{\theta _{\,1}} + {\theta _{\,2}}} \right)}}\label{eq:eq10}\\ & \noraqam \\ \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} &= \frac{{{r_1}\,{{\bf{e}}^{i\,{\theta _{\,1}}}}}}{{{r_2}\,{{\bf{e}}^{i\,{\theta _}}} =} \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}{{\bf{e}}^{i\,\left( {{\theta _{\,1}}\, - \,\,{\theta _{\,2}}} \right)}}\label{eq:eq11}\end{align}Ularning ikkalasi uchun qutbli shakllar:
\begin{align}{z_1}{z_2} & = {r_1}\,{r_2}\left( {\cos \left( {{\theta _{\,1}} + {\theta _{\,2}}} \right) + i\sin \left( {{\theta _{\,1}}} _ {\2}}} + {\2}} \right)\yorliq{eq:eq12} \\ & \noraqam \\ \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} & = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left( {\cos \left( {{\theta _{\,1}}\, - \,\,{\theta _{\,2}}} \right) + i\sin \1} _ {{\,ta \,\,{\theta _{\,2}}} \right)} \right)\label{eq:eq13}\end{align}Biz \(\eqref{eq:eq10}\) va \(\eqref{eq:eq11}\) dan mahsulot argumentlari va murakkab sonlar koeffitsienti haqida yoqimli faktlarni olish uchun ham foydalanishimiz mumkin. \({\theta _1}\) \(\arg {z_1}\) ning istalgan qiymati va \({\theta _2}\) \(\arg {z_2}\) ning istalgan qiymati bo'lgani uchun biz buni ko'rishimiz mumkin,
\begin{align}\arg \left( {{z_1}\,{z_2}} \right) & = \arg {z_1} + \arg {z_2}\label{eq:eq14} \\ & \noraqam \\ \arg \left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right) & = \arg {z_1} - \arg {z_2}\label{eq:eq15} \end{hizalama}E'tibor bering, \(\eqref{eq:eq14}\) va \(\eqref{eq:eq15}\), agar siz argumentning asosiy qiymati \({\rm{Arg }}\,z\) dan foydalansangiz, ishlamasligi yoki ishlamasligi mumkin. Masalan, \({z_1} = i\) va \({z_2} = - 1\) ni ko'rib chiqing. Bu holda bizda \({z_1}{z_2} = - i\) bor va har bir argumentning asosiy qiymati,
\[{\mathop{\rm Arg}\nolimits} \left( i \right) = \frac{\pi }{2} \hspace{0.5in} {\mathop{\rm Arg}\nolimits} \left( { - 1} \right) = \pi \hspace{0.5in} {\mathop{\rm Arg}\nolimits} \left( { - i} \right) = - \frac{\pi }{2}\]Biroq,
\[{\mathop{\rm Arg}\nolimits} \left( i \right) + {\mathop{\rm Arg}\nolimits} \left( { - 1} \right) = \frac{{3\pi }}{2} \ne - \frac{\pi }{2}\]va shuning uchun agar biz argumentning asosiy qiymatidan foydalansak \(\eqref{eq:eq14}\) bajarilmaydi. E'tibor bering, agar biz foydalansak,
\[\arg \left( i \right) = \frac{\pi }{2} \hspace{0.5in}\arg \left( { - 1} \right) = \pi \]keyin,
\[\arg \left( i \right) + \arg \left( { - 1} \right) = \frac{{3\pi }}{2}\]amal qiladi, chunki \(\frac{{3\pi }}{2}\) –\(i\) uchun mumkin bo‘lgan argumentdir, u shunchaki argumentning asosiy qiymati emas.
Qiziqarli tomoni shundaki, agar biz asosiy argumentlardan foydalansak, \(\eqref{eq:eq15}\) aslida ushbu misol uchun ishlaydi. Bu har doim ham sodir bo'lmaydi, lekin bu holatda bo'ladi, shuning uchun ehtiyot bo'ling!
Biz ushbu bo'limni keyingi bo'limda ko'p ishlatadigan ikkita murakkab sonning tengligi haqidagi yoqimli fakt bilan yakunlaymiz. Aytaylik, bizda ularning eksponensial shakllari bilan berilgan ikkita kompleks son bor, \({z_1} = {r_1}\,{{\bf{e}}^{i\,{\theta _{\,1}}}}\) va \({z_2} = {r_2}\,{{\bf{e}}^{i\,{\theta _{\,2}}}}\). Shuningdek, biz \({z_1} = {z_2}\) ni bilamiz deylik. Bu holatda bizda,
\[{r_1}\,{{\bf{e}}^{i\,{\theta _{\,1}}}} = {r_2}\,{{\bf{e}}^{i\,{\theta _{\,2}}}}\]Keyin bizda \({z_1} = {z_2}\) bo'ladi, agar va faqat, agar:
\begin{tengation}{r_1} = {r_2} \hspace{0,25in} {\rm{and}} \hspace{0,25in} {\theta _2} = {\theta _1} + 2\pi k\,\,\,{\mbox{bir necha butun son uchun }}k{\rm.{},\le{ 0, \pm 1, \pm 2, \ldots } \right)\ label{eq:eq16}\end{tenglama}E'tibor bering, "agar va faqat agar" iborasi chiroyli matematik ibora bo'lib, agar \({z_1} = {z_2}\) to'g'ri bo'lsa, \(\eqref{eq:eq16}\) ham shunday bo'ladi va agar \(\eqref{eq:eq16}\) rost bo'lsa, bizda \({z_1} = {z_2}\) bo'ladi.
Bu ahmoqona faktdek tuyulishi mumkin, ammo biz keyingi bo'limda murakkab sonlarning kuchlari va ildizlarini topishga yordam berish uchun foydalanamiz.