10.1-bo'lim: Ketma-ketliklar
Keling, ushbu bo'limni ketma-ketlik nima ekanligini muhokama qilish bilan boshlaylik. Ketma-ket ma'lum bir tartibda yozilgan raqamlar ro'yxatidan boshqa narsa emas. Ro'yxatda cheksiz miqdordagi atamalar bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin, ammo biz ushbu sinfda faqat cheksiz ketma-ketliklar bilan shug'ullanamiz. Umumiy ketma-ketlik shartlari quyidagicha ifodalanadi:
\[\begin{align*}& {a_1} - {\mbox{first term}}\\ & {a_2} - {\mbox{second term}}\\ & \hspace{0.75in} \vdots \\ & {a_n} - {n^{th}}{\mbox{ term}}\\ & {a_{n + 1}} - {\left( {n + 1} \right)^{{\mbox{st}}}}{\mbox{ term}}\\ & \hspace{0.75in} \vdots \end{align*}\]Chunki biz cheksiz ketma-ketliklar bilan shug'ullanamiz, chunki ketma-ketlikdagi har bir atama yuqorida aytib o'tilganidek, boshqa atama bilan birga keladi. Yuqoridagi yozuvda biz pastki yozuvlar bilan juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. \(n + 1\) pastki belgisi ketma-ketlikdagi keyingi atamani bildiradi va bitta ortiqcha \(n^{\mbox{th}}\) atamasi EMAS! Boshqacha aytganda,
\[{a_{n + 1}} \ne {a_n} + 1\]shuning uchun "+1" obunadan tashqariga chiqmasligiga ishonch hosil qilish uchun subscriptlarni yozishda juda ehtiyot bo'ling! Bunday narsa bilan birinchi marta shug'ullanishni boshlaganingizda, bu oson xatodir.
Ketma-ketlikni belgilashning turli usullari mavjud. Quyidagilarning har biri ketma-ketlikni belgilashning ekvivalent usullaridir.
\[\left\{ {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n},{a_{n + 1}}, \ldots } \right\}\hspace{0.5in}\left\{ {{a_n}} \right\}\hspace{0.5in}\left\{ {{a_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \]Yuqoridagi ikkinchi va uchinchi belgilarda an odatda formula bilan beriladi.
Endi bu belgilar haqida bir nechta eslatmalar mavjud. Birinchidan, yuqoridagi ikkinchi va uchinchi belgilar o'rtasidagi farqga e'tibor bering. Agar boshlang'ich nuqta muhim bo'lmasa yoki muammo bilan bog'liq bo'lsa, u ko'pincha uchinchi belgida bo'lgani kabi yozilmaydi. Keyinchalik, biz \(n = 1\) ning boshlang'ich nuqtasini faqat uchinchi belgida yozib olishimiz uchun ishlatdik. \(n = 1\) da ketma-ketlik boshlanishiga mutlaqo asos yo'q. Ketma-ket boshlash kerak bo'lgan joyda boshlanadi.
Keling, bir nechta ketma-ketlikni ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
- \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), bu erda \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi \)
a \(\displaystyle \left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Yechim
Bu yerda birinchi bir necha ketma-ketlik shartlarini olish uchun biz faqat \(n\) qiymatlarini berilgan formulaga kiritishimiz kerak va biz ketma-ketlik shartlarini olamiz.
\[\left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty = \left\{ {\underbrace 2_{n = 1},\underbrace {\frac{3}{4}}_{n = 2},\underbrace {\frac{4}{9}}_{n = 3},\underbrace {\frac{5}{{16}}}_{n = 4},\underbrace {\frac{6}{{25}}}_{n = 5}, \ldots } \right\}\]Oxirida "..." qo'shilishiga e'tibor bering! Bu muhim belgi, chunki bu ketma-ketlik davom etishini va oxirgi muddatda tugamasligini aytadigan yagona narsa.
b \(\displaystyle \left\{ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Yechim
Bu birinchisiga o'xshaydi. Asosiy farq shundaki, bu ketma-ketlik \(n = 1\) da boshlanmaydi.
\[\left\{ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}} \right\}_{n = 0}^\infty = \left\{ { - 1,\frac{1}{2}, - \frac{1}{4},\frac{1}{8}, - \frac{1}{{16}}, \ldots } \right\}\]E'tibor bering, bu ketma-ketlikdagi atamalar belgilar bilan almashadi. Bunday ketma-ketliklar ba'zan o'zgaruvchan ketma-ketliklar deb ataladi.
c \(\left\{ {{b_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \), bu erda \({b_n} = {n^{th}}{\mbox{ digit of }}\pi \) Yechim
Bu ketma-ketlik birinchi ikkitadan farq qiladi, chunki u har bir atama uchun o'ziga xos formulaga ega emas. Biroq, u bizga har bir atama nima bo'lishi kerakligini aytadi. Har bir atama bo'lishi kerak nth \(\pi\) raqami. Shunday qilib, biz \(\pi = 3.14159265359 \ldots \) ekanligini bilamiz
Keyin ketma-ketlik,
\[\left\{ {3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5, \ldots } \right\}\]Oldingi misolning dastlabki ikki qismida biz formulalarga faqat butun sonlar ulanishi mumkin bo'lgan funktsiyalar sifatida qaraganimizni ta'kidlaymiz. Yoki,
\[f\left( n \right) = \frac{{n + 1}}{{{n^2}}}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}g\left( n \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^n}}}\]Bu ketma-ketliklarni (va qatorlarni) o'rganishda muhim g'oyadir. Ketma-ketlik shartlarini funktsiyani baholash sifatida ko'rib chiqish, biz boshqacha qila olmaydigan ketma-ketliklar bilan ko'p narsalarni qilishimizga imkon beradi. Ushbu g'oyani batafsil ko'rib chiqishdan oldin, biz yana bir nechta g'oyalarni yo'ldan olib tashlashimiz kerak.
Birinchidan, biz ketma-ketlikning "grafigini tuzish" haqida o'ylashni xohlaymiz. \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) ketma-ketligining grafigini yaratish uchun biz \(\left( {n,{a_n}} \right)\) nuqtalarini chizamiz, chunki \(n\) grafikdagi barcha mumkin bo'lgan qiymatlar bo'ylab diapazonda joylashgan. Masalan, \(\left\{ {\frac{{n + 1}}{{{n^2}}}} \right\}_{n = 1}^\infty \) ketma-ketligini grafigini tuzamiz. Grafikdagi dastlabki bir nechta nuqtalar:
\[\left( {1,2} \right),\,\,\left( {2,\frac{3}{4}} \right),\,\,\left( {3,\frac{4}{9}} \right),\,\,\left( {4,\frac{5}{{16}}} \right),\,\,\left( {5,\frac{6}{{25}}} \right),\,\, \ldots \]Grafik ketma-ketlikning dastlabki 30 ta sharti uchun shunday bo'ladi:
Ushbu grafik bizni ketma-ketliklar haqida muhim fikrga olib keladi. E'tibor bering, \(n\) bizning ketma-ketligimizdagi ketma-ketlik shartlarini oshirar ekan, bu holda nolga yaqinlashib boring. Keyin biz nolni aytamiz chegara (yoki ba'zan chegaralovchi qiymat) ketma-ketlik va yozish,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{{n^2}}} = 0\]Ushbu belgi sizga tanish ko'rinishi kerak. Bu biz funktsiya chegarasi haqida gapirganda ishlatgan belgidir. Haqiqatan ham, esingizda bo'lsa, biz yuqorida biz ketma-ketlikni qaysidir ma'noda funksiya sifatida ko'rishimiz mumkinligini aytgan edik, shuning uchun bu belgi juda ajablanarli bo'lmasligi kerak.
Funktsiyalar chegaralari uchun ishlab chiqilgan g'oyalardan foydalanib, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin ish ta'rifi ketma-ketlik chegaralari uchun.
Ishlash Limit ta'rifi
- Biz shunday deymiz
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\]
qila olsak an etarlicha katta \(n\) uchun biz xohlagancha \(L\) ga yaqin. Boshqacha qilib aytganda, \(n\) ning \(L\) yondashuvining qiymati cheksizlikka yaqinlashadi.
- Biz shunday deymiz
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \]
qila olsak an barcha etarlicha katta \(n\) uchun biz xohlagan darajada katta. Yana, boshqacha qilib aytganda, \(n\) cheksizlikka yaqinlashganda, \({a_n}\) qiymati chegaralanmagan va kattalashib boradi.
- Biz shunday deymiz
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = - \infty \]
qila olsak an barcha etarlicha katta \(n\) uchun biz xohlagan darajada katta va salbiy. Yana, boshqacha qilib aytganda, \({a_n}\) qiymati manfiy bo'lib, \(n\) cheksizlikka yaqinlashganda chegaralanmagan holda kattalashib boradi.
Har xil ketma-ketlik chegaralarining ishchi ta'riflari yaxshi, chunki ular chegara nima ekanligini tasavvur qilishimizga yordam beradi. Funktsiyalar chegaralarida bo'lgani kabi, bu chegaralarning har biri uchun ham aniq ta'rif mavjud. Davom etishdan oldin ularni beraylik
Aniq Limit ta'rifi
- Biz \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) deb aytamiz, agar har bir \(\varepsilon > 0\) soni uchun \(N\) butun soni bo'lsa, shunday qilib \[\left| {{a_n} - L} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}n > N\]
- Biz \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) deb aytamiz, agar har bir \(M > 0\) soni uchun \(N\) butun soni bo'lsa, shundayki \[{a_n} > M\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}n > N\]
- Biz \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = - \infty \) deb aytamiz, agar har bir \(M < 0\) soni uchun \(N\) butun soni bo'lsa, shundayki \[{a_n} < M\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}n > N\]
Biz aniq ta'rifdan tez-tez foydalanmaymiz, lekin u vaqti-vaqti bilan paydo bo'ladi.
E'tibor bering, ikkala ta'rif ham chegara mavjud bo'lishi va chekli qiymatga ega bo'lishi uchun \(n\) oshgani sayin barcha ketma-ketlik shartlari ushbu chekli qiymatga yaqinlashib borishi kerakligini aytadi.
Endi bizda ketma-ketliklar chegarasining ta'riflari mavjud bo'lib, biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan bir oz terminologiyaga egamiz. Agar \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa, biz ketma-ketlik deb aytamiz konvergent. Agar \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\) mavjud bo'lmasa yoki cheksiz bo'lsa, biz ketma-ketlikni aytamiz farqlanadi. E'tibor bering, ba'zida biz ketma-ketlikni aytamiz ga ajraladi \(\infty \), agar \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty \) va \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = - \infty \) bo'lsa, biz ba'zan ketma-ketlikni aytamiz. ga ajraladi \( - \infty \).
"Konvergent" va "divergent" atamalariga o'rganing, chunki biz ularni ushbu bobda juda ko'p ko'ramiz.
Shunday qilib, biz ketma-ketlik chegaralarini qanday topamiz? Ko'pgina ketma-ketliklarning ko'p chegaralarini quyidagi teoremalardan biri yordamida topish mumkin.
Teorema 1
\(\left\{ {{a_n}} \right\}\) ketma-ketligini hisobga olsak, agar bizda \(f\left( x \right)\) funktsiyasi mavjud bo'lsa, \(f\left( n \right) = {a_n}\) va \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L\) keyin \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\)
Bu teorema, asosan, biz ketma-ketlik chegaralarini, xuddi funksiyalar chegarasini olganimiz kabi, qabul qilishimizni aytadi. Darhaqiqat, ko'p hollarda biz funktsiyani aniq yozish orqali bu teoremadan foydalanmaymiz. Biz ko'pincha limitni funksiyaning chegarasidek ko'rib chiqamiz va funksiyalar chegaralarini olganimizda, har doimgidek Hisob Ida qilganimizdek limitni olamiz.
Demak, endi biz ketma-ketlik chegarasini olish funksiya limitini olish bilan deyarli bir xil ekanligini bilganimizdan so'ng, funksiyalar chegarasidagi barcha xususiyatlar ham amal qilishini bilamiz.
Ketma-ketlik chegaralarining xossalari
Agar \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) va \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) ikkalasi ham konvergent ketma-ketliklar bo'lsa, u holda,
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} \pm {b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \pm \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } c{a_n} = c\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}\,{b_n}} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}}},\,\,\,\,\,{\mbox{provided }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} \ne 0\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n^p = {\left[ {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}} \right]^p}\) \({a_n} \ge 0\)-ni taqdim etdi
Bu xossalarni yuqoridagi 1 teorema yordamida isbotlash mumkin funksiya chegarasi xususiyatlari Biz Calculus I da ko'rdik yoki biz ularni to'g'ridan-to'g'ri chegaraning aniq ta'rifi yordamida deyarli bir xildan foydalanib isbotlashimiz mumkin. dalillar funksiya chegarasi xususiyatlaridan.
Keyinchalik, funksiya chegaralari uchun siqish teoremasi bo'lgani kabi, bizda ham ketma-ketliklar uchun mavjud va u funktsiya chegarasi versiyasi bilan deyarli bir xil.
Ketma-ketliklar uchun siqish teoremasi
Agar \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) barcha \(n > N\) uchun ba'zi \(N\) va \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = L\) uchun bo'lsa, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {c_n} = L\).
E'tibor bering, ushbu teoremada "barcha \(n > N\) uchun ba'zi \(N\) uchun" haqiqatan ham bizga etarlicha katta \(n\) uchun \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) bo'lishi kerakligini aytadi, ammo agar bu birinchi bir necha \(n\) uchun to'g'ri bo'lmasa, bu teoremani bekor qilmaydi.
Ko'rib turganimizdek, barcha ketma-ketliklarni biz amalda chegaralanishi mumkin bo'lgan funktsiyalar sifatida yozish mumkin emas. Bu, ayniqsa, belgilarda almashinadigan ketma-ketliklar uchun to'g'ri keladi. Biz har doim bu ketma-ketlik shartlarini funktsiya sifatida yozishimiz mumkin bo'lsa-da, biz shunga o'xshash funktsiya chegarasini qanday olishni bilmaymiz. Quyidagi teorema ushbu ketma-ketliklarning ba'zilariga yordam beradi.
Teorema 2
Agar \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\), keyin \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).
E'tibor bering, ushbu teoremaning chegarasi nolga teng bo'lishi kerak va chegarasi nolga teng bo'lmagan ketma-ketlikda ishlamaydi. Bu teoremani isbotlash oson, shuning uchun buni qilaylik.
2-teoremani isbotlash
Ushbu dalil uchun asosiy narsa shuni ta'kidlash kerakki,
\[ - \left| {{a_n}} \right| \le {a_n} \le \left| {{a_n}} \right|\]Keyin e'tibor bering,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { - \left| {{a_n}} \right|} \right) = - \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\]Keyin bizda \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { - \left| {{a_n}} \right|} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0\) bor va shuning uchun siqish teoremasi bo'yicha bizda ham bo'lishi kerak,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\]Keyingi teorema foydali teorema bo'lib, vaqti-vaqti bilan paydo bo'ladigan ketma-ketlikning yaqinlashuvi/divergentsiyasi va qiymatini (uning yaqinlashuvi uchun) beradi.
Teorema 3
\(\left\{ {{r^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) ketma-ketligi \( - 1 < r \le 1\) bo'lsa birlashadi va \(r\) ning barcha boshqa qiymatlari uchun ajralib chiqadi. Shuningdek,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}0&{{\mbox{if }} - 1 < r < 1}\\1&{{\mbox{if }}r = 1}\end{array}} \right.\]Mana bu teoremaning tez (unchalik tez emas, lekin aniq oddiy) qisman isboti.
3-teoremani qisman isbotlash
Biz buni bir qator holatlarda qilamiz, ammo oxirgi holat to'liq isbotlanmagan.
1-holat : \(r > 1\)
Hisob I dan biz \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = \infty \) ekanligini bilamiz, agar \(r > 1\) va shunga o'xshash yuqoridagi 1-teorema bo'yicha biz \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = \infty \) va shuning uchun \(r > 1\) bo'lsa ketma-ketlik farqlanishini ham bilamiz.
2-holat : \(r = 1\)
Bu holatda bizda,
Shunday qilib, ketma-ketlik \(r = 1\) uchun yaqinlashadi va bu holda uning chegarasi 1 ga teng.
3-holat : \(0 < r < 1\)
Biz I hisob-kitobdan bilamizki, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {r^x} = 0\) agar \(0 < r < 1\) va shunga o'xshash yuqoridagi 1-teorema bo'yicha biz \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) ekanligini ham bilamiz va shuning uchun ketma-ketlik \(0 < r < 1\) bo'lsa birlashadi va bu holda uning chegarasi nolga teng bo'ladi.
4-holat : \(r = 0\)
Bu holatda bizda,
Shunday qilib, ketma-ketlik \(r = 0\) uchun yaqinlashadi va bu holda uning chegarasi nolga teng.
5-holat : \( - 1 < r < 0\)
Avval shuni ta'kidlaymizki, agar \( - 1 < r < 0\) keyin \(0 < \left| r \right| < 1\) bo'lsa, yuqoridagi 3-holat bo'yicha bizda shunday bo'ladi:
Yuqoridagi 2-teorema bizda \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0\) bo'lishi kerakligini aytadi va shuning uchun agar \( - 1 < r < 0\) ketma-ketlik yaqinlashsa va 0 chegarasiga ega bo'lsa.
6-holat : \(r = - 1\)
Bu holda ketma-ketlik:
va umid qilamanki, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n}\) mavjud emasligi aniq. Eslatib o'tamiz, ushbu chegara mavjud bo'lishi uchun atamalar \(n\) ortishi bilan bitta qiymatga yaqinlashishi kerak. Bu holda, atamalar faqat 1 va -1 o'rtasida almashadi va shuning uchun chegara mavjud emas.
Shunday qilib, ketma-ketlik \(r = - 1\) uchun farqlanadi.
7-holat : \(r < - 1\)
Bunday holda, biz to'liq dalildan o'tmaymiz. Keling, masalan, \(r = - 2\)-ga ruxsat bersak, nima bo'lishini ko'rib chiqaylik. Agar shunday qilsak, ketma-ketlik shunday bo'ladi:
Shunday qilib, agar \(r = - 2\), agar biz qiymatlari belgi bo'yicha almashinadigan va kattaroq va kattaroq bo'lgan atamalar ketma-ketligini olamiz va shuning uchun \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 2} \right)^n}\) mavjud emas. \(n\) oshgani sayin u bitta qiymatga tushmaydi va ALL atamalari cheksizlikka yaqinlashmaydi. Shunday qilib, ketma-ketlik \(r = - 2\) uchun farqlanadi.
Biz \(r\) ning istalgan qiymati uchun shunga o'xshash narsani qilishimiz mumkin, masalan \(r < - 1\) va shuning uchun ketma-ketlik \(r < - 1\) uchun farqlanadi.
Keling, ketma-ketlik chegaralariga bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} - 1}}{{10n + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \)
- \(\left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \)
a \(\left\{ {\displaystyle \frac{{3{n^2} - 1}}{{10n + 5{n^2}}}} \right\}_{n = 2}^\infty \) Yechim
Bunday holda, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa, ratsional funktsiyalar chegaralarini hisoblash uchun I Kalkulyatorda ishlab chiqilgan usulni eslashdir. ga qarang Cheklovlar cheksizlik, I qism Agar kerak bo'lsa, men buni ko'rib chiqish uchun hisob-kitoblar bo'limiga e'tibor beraman.
Ushbu shaklda chegara qo'yish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(n\) ning surat va maxrajdan eng katta kuchini ko'paytirish, bekor qilish va chegarani olish.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3{n^2} - 1}}{{10n + 5{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2}\left( {3 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {\frac{{10}}{n} + 5} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{{10}}{n} + 5}} = \frac{3}{5}\]Shunday qilib, ketma-ketlik yaqinlashadi va uning chegarasi \(\frac{3}{5}\).
b \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Yechim
Biz bu bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Ushbu ketma-ketlikda biz L'Hospital qoidasidan foydalanishimiz kerak. Muammo shundaki, L'Hospital qoidasi ketma-ketlikda emas, balki faqat funktsiyalarda ishlaydi. Odatda bu muammo bo'lardi, lekin bizga yordam berish uchun yuqoridan 1-teorema bor. aniqlaymiz
\[f\left( x \right) = \frac{{{{\bf{e}}^{2x}}}}{x}\]va shuni ta'kidlang,
\[f\left( n \right) = \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n}\]1-teoremada aytilishicha, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa funktsiya chegarasini olishdir.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{2n}}}}{n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{2x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{{\bf{e}}^{2x}}}}{1} = \infty \]Shunday qilib, bu qismdagi ketma-ketlik farqlanadi (\(\infty \) ga).
Ko'pincha biz L'Hospital qoidasini ketma-ketlik shartlari bo'yicha avval \(x\) ga o'tkazmasdan bajaramiz, chunki \(x\) yoki \(n\) dan foydalanishimizdan qat'i nazar, ish bir xil bo'ladi. Biroq, biz ketma-ketlik shartlari bilan ishlashda texnik jihatdan hosilalarni qila olmasligimizni yodda tutishimiz kerak.
c \(\left\{ {\displaystyle \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) Yechim
Ushbu ketma-ketlikda biz ham ehtiyot bo'lishimiz kerak bo'ladi. Biz shunchaki ketma-ketlik shartlarining chegarasi nolga teng deb aytishga vasvasaga tushishimiz mumkin (va biz to'g'ri bo'lar edik). Biroq, texnik jihatdan biz atamalari bir-birini almashtiradigan ketma-ketliklar chegarasini qabul qila olmaymiz, chunki biz xuddi shunday xatti-harakatni ko'rsatadigan funktsiyalar chegaralarini qanday qilishni bilmaymiz. Bundan tashqari, biz bu muammolar bilan sezgiga juda ko'p ishonmaslik uchun juda ehtiyot bo'lishni xohlaymiz. Keyingida va keyingi bo'limlarda ko'rib turganimizdek, agar ehtiyot bo'lmasak, sezgi bizni bu muammolarda yo'ldan ozdirishi mumkin.
Shunday qilib, keling, buni kitob bo'yicha ishlaylik. Bu masala bo'yicha 2-teoremadan foydalanishimiz kerak bo'ladi. Buning uchun biz birinchi navbatda hisoblashimiz kerak,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\]Shuning uchun, mutlaq qiymatlar satrlari bo'lgan ketma-ketlik hadlarining chegarasi nolga teng bo'lganligi sababli, biz 2-teoremadan bilamizki,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} = 0\]bu ham ketma-ketlikning nol qiymatiga yaqinlashishini bildiradi.
d \(\left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^n}} \right\}_{n = 0}^\infty \) Yechim
Ushbu teorema uchun shuni yodda tutingki, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu \(r = - 1\) yordamida yuqoridagi 3-teoremadagi ketma-ketlik ekanligini tushunishimiz kerak. Shunday qilib, 3-teorema bo'yicha bu ketma-ketlik ajralib chiqadi.
Endi biz 2-teoremadan noto'g'ri foydalanish haqida ogohlantirishimiz kerak. 2-teorema faqat chegara nolga teng bo'lsa ishlaydi. Agar ketma-ketlik hadlarining mutlaq qiymatining chegarasi nolga teng bo'lmasa, teorema bajarilmaydi. Oldingi misolning oxirgi qismi bunga yaxshi misoldir (va aslida bu ogohlantirish bu qismning mavjudligining sababidir). E'tibor bering
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{{\left( { - 1} \right)}^n}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 1 = 1\]va shunga qaramay, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n}\) 1 ga teng bo'lsa ham, mavjud emas. Shunday ekan, 2-teoremadan ehtiyot bo'ling. Siz har doim esda tutishingiz kerakki, u faqat chegara nolga teng bo'lsa ishlaydi.
Keyingiga o'tishdan oldin biz isbotlash uchun kerak bo'ladigan yana bir teoremani berishimiz kerak.
Teorema 4
\(\left\{ {{a_n}} \right\}\) ketma-ketligi uchun agar \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) va \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) ikkalasi ham \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) konvergent va \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) hisoblanadi.
4-teoremani isbotlash
\(\varepsilon > 0\).
Keyin \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n}} = L\) dan beri \({N_1} > 0\) borki, agar \(n > {N_1}\) biz buni bilamiz,
\[\left| {{a_{2n}} - L} \right| < \varepsilon \]Xuddi shunday, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_{2n + 1}} = L\) uchun \({N_2} > 0\) borki, agar \(n > {N_2}\) biz buni bilamiz,
\[\left| {{a_{2n + 1}} - L} \right| < \varepsilon \]Endi \(N = \max \left\{ {2{N_1},2{N_2} + 1} \right\}\) va \(n > N\) bo'lsin. Keyin ba'zi \(k > {N_1}\) uchun \({a_n} = {a_{2k}}\) yoki ba'zi \(k > {N_2}\) uchun \({a_n} = {a_{2k + 1}}\) va shuning uchun ikkala holatda ham bizda shunday bo'ladi,
\[\left| {{a_n} - L} \right| < \varepsilon \]Shuning uchun \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) va shunga o'xshash \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) konvergent hisoblanadi.