15-bob: Bir nechta integrallar

Calculus I da biz hosilalarni muhokama qilishni tugatganimizdan keyin integrallar mavzusiga o'tdik. Bu kursda ham xuddi shunday. Endi biz bir nechta oʻzgaruvchili funksiyalarning hosilalarini muhokama qilishni tugatganimizdan soʻng, ikki yoki uchta oʻzgaruvchili funksiyalarning integrallariga oʻtishimiz kerak.

Ko'pgina lotin mavzulari o'zlarining Calculus I hamkasblaridan biroz tabiiy ravishda kengaytirilgan va bu erda ham xuddi shunday bo'ladi. Biroq, biz hozir ikki yoki uchta o'zgaruvchining funktsiyalarini o'z ichiga olganimiz sababli, ba'zi farqlar ham bo'ladi. Bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan ishlashda paydo bo'lmaydigan yangi belgilar va ba'zi yangi muammolar bo'ladi.

Quyida ushbu bobda ko'rib chiqilgan mavzular ro'yxati keltirilgan.

Ikki tomonlama integrallar - Ushbu bo'limda biz qo'sh integralni rasmiy ravishda aniqlaymiz, shuningdek qo'sh integralning tezkor talqinini beramiz.

Takrorlangan integrallar - Ushbu bo'limda biz Fubini teoremasidan integratsiya mintaqasi to'rtburchak bo'lgan qo'sh integrallarni baholash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.

Umumiy mintaqalar ustidagi ikki tomonlama integrallar – Ushbu bo'limda biz umumiy mintaqalar, ya'ni to'rtburchaklar bo'lmagan ya'ni mintaqalar bo'yicha qo'sh integrallarni baholashni boshlaymiz. Funktsiyaning qo'sh integralini funktsiya tomonidan berilgan sirt va \(xy\) tekislik orasidagi qattiq jismning aniq hajmi sifatida qanday talqin qilish mumkinligini ko'rsatamiz.

Qutb koordinatalarida qo'sh integrallar – Ushbu bo'limda biz kartezian koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dA\)) qutb koordinatalariga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Bunday hollarda integratsiya hududlari disklar yoki halqalarning hammasi yoki qismlari bo'ladi va shuning uchun biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini Polar koordinatalariga aylantirishimiz kerak.

Uch karrali integrallar - Ushbu bo'limda biz uchlik integralni aniqlaymiz. Shuningdek, biz integratsiyaning uch o'lchovli hududidan integratsiya chegaralarini belgilashning bir nechta misollarini ko'rsatamiz. Integratsiya chegaralarini olish ko'pincha bu muammolarning qiyin qismidir.

Silindrsimon koordinatalarda uch karrali integrallar – Ushbu bo'limda biz dekart koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dV\)) Silindr koordinatalariga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini silindrsimon koordinatalarga aylantiramiz.

Sferik koordinatalarda uch karrali integrallar – Ushbu bo'limda biz dekart koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dV\)) Sferik koordinatalarga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini Sferik koordinatalarga aylantiramiz.

O'zgaruvchilarning o'zgarishi - Oldingilarda biz Dekart koordinatalarini Polar, Silindrsimon va Sferik koordinatalarga aylantirdik. Ushbu bo'limda biz ushbu fikrni umumlashtiramiz va Dekart koordinatalarida integrallarni muqobil koordinatalar tizimiga qanday aylantirishimizni muhokama qilamiz. Sferik koordinatalarga aylantirilganda \(dV\) konversiya formulasining hosilasi kiritiladi.

Sirt maydoni - Ushbu bo'limda biz ikki o'lchovli fazoda mintaqa ustida joylashgan sirt qismining sirt maydonini aniqlash uchun qo'sh integraldan qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.

Maydon va hajm qayta koʻrib chiqildi - Ushbu bo'limda biz ushbu bobdagi turli soha va hajm formulalarini umumlashtiramiz.