Asosiy tarkibga o'tish

1.5-bo'lim: Funktsiyalar

  1. \(f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 11\) va \(g\left( x \right) = \sqrt {4x - 3} \) berilgan bo'lsa, quyidagi har birini toping.
    1. \(f\left( 2 \right)\)
    2. \(g\left( 2 \right)\)
    3. \(f\left( { - 3} \right)\)
    4. \(g\left( {10} \right)\)
    1. \(f\left( t \right)\)
    2. \(f\left( {t - 3} \right)\)
    3. \(f\left( {x - 3} \right)\)
    4. \(f\left( {4x - 1} \right)\)
    Yechim

    Hisoblash ketma-ketligi davomida sizdan funktsiyalar bilan shug'ullanishingiz so'raladi, shuning uchun siz notalash bilan tanish va qulay ekanligingizga va funktsiyalarni baholay olishingizga ishonch hosil qiling.

    Avval eslaylikki, funktsiyadagi \(f\left( x \right)\) \(y\) ni tenglamani yozishning ajoyib usulidan boshqa narsa emas.

    \[f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 11\]

    yozishga tengdir

    \[y = - {x^2} + 6x - 11\]

    Funktsiyani belgilash shakli bundan mustasno, yozish qiyinroq bo'lsa-da, siz Calculus kursida ishlayotgan masala turlari uchun ancha qulayroqdir.

    Ushbu muammoda bizdan ba'zi funktsiyalarni baholash so'raladi. Shunday qilib, birinchi holatda \(f\left( 2 \right)\) bizdan \(x = 2\) qachon \(y = - {x^2} + 6x - 11\) qiymatini aniqlashni so'raydi.

    Funktsiyalarni qanday baholashni eslab qolishning kaliti shundaki, chap tomondagi qavsdagi barcha narsa o'ng tomondagi barcha \(x\) lar bilan almashtirilganligini yodda tutishdir.

    Shunday qilib, bu erda funktsiyani baholash.

    1. \(f\left( 2 \right) = - {\left( 2 \right)^2} + 6(2) - 11 = - 3\)
    2. \(g\left( 2 \right) = \sqrt {4(2) - 3} = \sqrt 5 \)
    3. \(f\left( { - 3} \right) = - {\left( { - 3} \right)^2} + 6( - 3) - 11 = - 38\)
    4. \(g\left( {10} \right) = \sqrt {4(10) - 3} = \sqrt {37} \)
    5. \(f\left( t \right) = - {t^2} + 6t - 11\)

      Esda tutingki, biz \(x\) ning chap tarafdagi qavs ichida nima bo'lsa o'rniga qo'yamiz. Ko'pincha bu raqamdan boshqa narsa bo'ladi. Shunday qilib, bu holda biz \(t\)-ni chap tomondagi barcha \(x\)-lar uchun joylashtiramiz.

      Bu biz uchun qilganimiz bilan bir xil (a) – (d) bundan mustasno, biz hozir raqamdan boshqa narsani almashtiramiz. Raqamni yoki undan murakkabroq narsani almashtirganimizdan qat'i nazar, baholash bir xil ishlaydi.

    6. \(f\left( {t - 3} \right) = - {\left( {t - 3} \right)^2} + 6\left( {t - 3} \right) - 11 = - {t^2} + 12t - 38\)

      Ko'pincha funktsiyalarni raqamlar yoki bitta harflar bilan baholash o'rniga bizda juda murakkab baholashlar bo'ladi, shuning uchun bunday baholashlarni amalga oshirishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling.

    7. \(f\left( {x - 3} \right) = - {\left( {x - 3} \right)^2} + 6\left( {x - 3} \right) - 11 = - {x^2} + 12x - 38\)

      Bu va oldingisi o'rtasidagi yagona farq shundaki, men \(t\) ni \(x\) ga o'zgartirdim. Bundan tashqari, ikkalasi o'rtasida mutlaqo farq yo'q!

      Chapdagi qavs ichida \(x\) lar borligi sizni asabiylashtirishiga yo'l qo'ymang! O'ng tarafdagi formuladagi barcha \(x\)-larni \(x - 3\) bilan almashtiring. Bu xuddi shunday ishlaydi (f).

    8. \(f\left( {4x - 1} \right) = - {\left( {4x - 1} \right)^2} + 6\left( {4x - 1} \right) - 11 = - 16{x^2} + 32x - 18\)

      kabi muammolardan hayajonlanmang (e) – (h). Ushbu turdagi muammolar xuddi shunday ishlaydi (a) – (d) biz shunchaki raqamlardan foydalanmayapmiz! Raqamlarni almashtirish o'rniga siz harflar va/yoki boshqa funktsiyalarni almashtirasiz. Shunday qilib, agar qila olsangiz (a) – (d) Siz bu murakkabroq funktsiyani baholashni ham qilishingiz mumkin!

  2. \(f\left( x \right) = 10\) berilgan bo'lsa, quyidagi har birini toping.
    1. \(f\left( 7 \right)\)
    2. \(f\left( 0 \right)\)
    3. \(f\left( { - 14} \right)\)
    Yechim

    Bu baholash uchun dunyodagi eng oddiy funksiyalardan biri, lekin negadir talabalar uchun hech qanday qiyinchilik tug'dirmayotganga o'xshaydi. Oldingi muammodan funktsiyani baholash qanday ishlashini eslang. Biz o'ng tarafdagi har bir \(x\) onni chapdagi qavs ichidagi narsa bilan almashtiramiz. Biroq, bu holda, o'ng tomonda \(x\) yo'qligi sababli (muammolar aynan shu sabab bo'lishi mumkin), biz har bir funktsiyani baholashdan 10 tasini olamiz. Bunday funktsiya a deyiladi doimiy funktsiya. Bu erda aniq bo'lishi uchun funktsiyani baholash.

    \[f\left( 7 \right) = 10\hspace{0.5in}f\left( 0 \right) = 10\hspace{0.5in}f\left( { - 14} \right) = 10\]
  3. \(f\left( x \right) = 3{x^2} - x + 10\) va \(g\left( x \right) = 1 - 20x\) berilgan bo'lsa, quyidagi har birini toping.
    1. \(\left( {f - g} \right)\left( x \right)\)
    2. \(\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right)\)
    3. \(\left( {fg} \right)(x)\)
    1. \(\left( {f \circ g} \right)\left( 5 \right)\)
    2. \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\)
    3. \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\)
    Yechim

    Bu muammo funksiyalar bilan tez-tez ishlatiladigan notalarni bilishingizga ishonch hosil qiladi. Tegishli formulalar har bir qismga javobga kiritilgan.

    1. \begin{align*}\left( {f - g} \right)\left( x \right) & = f\left( x \right) - g\left( x \right)\\ & = 3{x^2} - x + 10 - \left( {1 - 20x} \right)\\ & = 3{x^2} - x +1 & 0 3{x^2} + 19x + 9\end{tegishlash*}
    2. \begin{align*}\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right) & = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\\ & = \frac{{3{x^2} - x + 10}}{{1 - 20xalign}}*\end
    3. \begin{align*}\left( {fg} \right)\left( x \right) & = f\left( x \right)g\left( x \right)\\ & = \left( {3{x^2} - x + 10} \right)\left( {1 - 20x} \right)\\ & = - 3} +x2 - {x2 - 10\end{tegishlash*}

    4. Ushbu qism (va keyingi ikkitasi) uchun esda tutingki, bu masaladagi \( \circ \) kichik doirasi biz ko'paytirish EMAS kompozitsiyani bajarayotganimizni bildiradi!

      Kompozitsiyaning asosiy formulasi

      \[\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right)\]

      Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, siz ro'yxatdagi ikkinchi funktsiyani ro'yxatdagi birinchi funktsiyaga ulaysiz, keyin mos ravishda baholaysiz.

      Bu holda bizda \(x\) o'rniga raqam bor, lekin u xuddi shu tarzda ishlaydi.

      \[\begin{align*}\left( {f \circ g} \right)\left( 5 \right) & = f\left( {g\left( 5 \right)} \right)\\ & = f\left( { - 99} \right)\\ & = 29512\end{align*}\]

    5. Ushbu muammoning natijalarini solishtiring (c)! Tarkibi ko'paytirish bilan bir xil emas shuning uchun ikkalasini aralashtirib yubormaslik uchun ehtiyot bo'ling!

      \[\begin{align*}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) & = f\left( {g\left( x \right)} \right)\\ & = f\left( {1 - 20x} \right)\\ & = 3{\left( {1 - 20x} \right)^2} - \left( {1 - 20x} \right) + 10\\ & = 3\left( {1 - 40x + 400{x^2}} \right) - 1 + 20x + 10\\ & = 1200{x^2} - 100x + 12\end{align*}\]

    6. Buning natijalarini solishtiring (e)! Kompozitsiyani yozish tartibi muhim! Buyurtmaga e'tibor berganingizga ishonch hosil qiling.

      \[\begin{align*}\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) & = g\left( {f\left( x \right)} \right)\\ & = g\left( {3{x^2} - x + 10} \right)\\ & = 1 - 20\left( {3{x^2} - x + 10} \right)\\ & = - 60{x^2} + 20x - 199\end{align*}\]