9.10-bo'lim: Polar koordinatali sirt maydoni
Ushbu bo'limda biz qutb koordinatalarida sirt maydonini ko'rib chiqamiz. Ammo shuni yodda tutingki, biz faqat sirt maydoni uchun formulalarni berishimiz kerak, chunki bu integrallarning aksariyati juda qiyin.
Biz aylanma orqali topilgan hududning sirt maydonini topmoqchimiz,
\[r = f\left( \theta \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\alpha \le \theta \le \beta \]\(x\) yoki \(y\) o'qi haqida.
Bizda qilganimizdek tangens va yoy uzunligi bo'limlarda parametrik tenglamalar to'plamida egri chiziqni yozamiz.
\[\begin{align*}x & = r\cos \theta \hspace{0.75in}y = r\sin \theta \\ & = f\left( \theta \right)\cos \theta \hspace{0.55in} = f\left( \theta \right)\sin \theta \end{align*}\]Endi biz sirt maydonini topish uchun parametrik formuladan foydalansak,
Qutb koordinatalari uchun sirt maydoni
qayerda,
\[ds = \sqrt {{r^2} + {{\left( {\frac{{dr}}{{d\theta }}} \right)}^2}} \,d\theta \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}r = f\left( \theta \right),\,\,\,\,\,\alpha \le \theta \le \beta \]E'tibor bering, biz \(ds\) dan \(d\theta \) ni tanlaganimiz uchun aylanish o'qiga qarab parametrik tenglamalardan birini \(x\) yoki \(y\) bilan almashtirishimiz kerak bo'ladi. Bu ko'pincha integrallarning biroz yoqimsiz bo'lishini anglatadi va shuning uchun biz ushbu bo'limda misol keltirmaymiz.