1.9-bo'lim : Eksponensial va logarifm tenglamalari
Murakkab foiz. Agar biz \(P\) dollarini \(t\) yillari uchun \(r\) (standart foizdan farqli o'laroq o'nli kasr sifatida yoziladi) stavkasida foiz oladigan hisob raqamiga qo'ysak,
- Agar foiz yiliga \(m\) marta qo'shilsa, bizda,
\[A = P{\left( {1 + \frac{r}{m}} \right)^{t\,m}}\]
dollarga \(t\) yildan keyin.
- agar foiz doimiy ravishda qo'shilsa, bizda shunday bo'ladi,
\[A = P{{\bf{e}}^{r\,t}}\]
dollarga \(t\) yillardan keyin.
14. Biz 5000 dollardan boshlaymiz va uni yillik foiz stavkasi 12% bo‘lgan hisob raqamiga qo‘yamiz. Agar foiz qo'shilgan bo'lsa, pulimizni ikki barobarga oshirish uchun hisobda qancha vaqt qoldirishimiz kerak
- har chorakda
- oylik
- doimiy ravishda
a har chorakda Yechim
Muammo bayonotidan shuni ko'rishimiz mumkinki,
\[A = 10000\hspace{0.5in}P = 5000\hspace{0.5in}\,\,r = \frac{{12}}{{100}} = 0.12\]Esda tutingki, \(r\) qiymati kasr sifatida berilishi kerak, i.e. foiz 100 ga bo'linadi. Shuningdek, bu qism uchun biz har chorakda foiz stavkasini qo'shamiz va bu yiliga 4 marta qo'shiladi, shuning uchun biz shuni ham bilamizki,
\[m = 4\]Tenglamaga ulanish bizga beradi,
\[10000 = 5000{\left( {1 + \frac{{0.12}}{4}} \right)^{4t}} = 5000{\left( {1.03} \right)^{4t}}\]Ushbu bo'limdagi usullardan foydalanib, biz \(t\) ni hal qilishimiz mumkin.
\[\begin{align*}2 & = {1.03^{4t}}\\ \ln \left( 2 \right) & = \ln \left( {{{1.03}^{4t}}} \right)\\ \ln \left( 2 \right) & = 4t\ln \left( {1.03} \right)\\ t & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{4\ln \left( {1.03} \right)}} = 5.8624}}\end{align*}\]Shunday qilib, biz taxminan 5,8624 yil ichida pulimizni ikki baravar oshiramiz.
b oylik Yechim
Muammo bayonotidan shuni ko'rishimiz mumkinki,
\[A = 10000\hspace{0.5in}P = 5000\hspace{0.5in}r = \frac{{12}}{{100}} = 0.12\]Esda tutingki, \(r\) qiymati kasr sifatida berilishi kerak, i.e. foiz 100 ga bo'linadi. Bundan tashqari, bu qism uchun biz har oy foiz stavkasini qo'shamiz va bu yiliga 12 marta qo'shiladi, shuning uchun biz shuni ham bilamizki,
\[m = 12\]Tenglamaga ulanish bizga beradi,
\[10000 = 5000{\left( {1 + \frac{{0.12}}{{12}}} \right)^{12t}} = 5000{\left( {1.01} \right)^{12t}}\]Ushbu bo'limdagi usullardan foydalanib, biz \(t\) ni hal qilishimiz mumkin.
\[\begin{align*}2 & = {1.01^{12t}}\\ \ln \left( 2 \right) & = \ln \left( {{{1.01}^{12t}}} \right)\\ \ln \left( 2 \right) & = 12t\ln \left( {1.01} \right)\\ t & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{12\ln \left( {1.01} \right)}} = 5.8051}}\end{align*}\]Shunday qilib, biz taxminan 5,8051 yil ichida pulimizni ikki baravar oshiramiz.
c doimiy ravishda Yechim
Muammo bayonotidan shuni ko'rishimiz mumkinki,
\[A = 10000\hspace{0.5in}P = 5000\hspace{0.5in}\,\,r = \frac{{12}}{{100}} = 0.12\]Esda tutingki, \(r\) qiymati kasr sifatida berilishi kerak, i.e. foiz 100 ga bo'linadi. Bu qism uchun biz doimiy ravishda aralashtiramiz, shuning uchun bizda \(m\) bo'lmaydi va boshqa tenglamadan foydalanamiz.
Doimiy ravishda aralashtiriladigan foiz tenglamasini kiritish,
\[10000 = 5000{{\bf{e}}^{0.12t}}\]Endi buni hal qilish,
\[\begin{align*}2 & = {{\bf{e}}^{0.12t}}\\ \ln \left( 2 \right) & = \ln \left( {{{\bf{e}}^{0.12t}}} \right)\\ \ln \left( 2 \right) & = 0.12t\\ t & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{0.12}} = 5.7762}}\end{align*}\]Shunday qilib, biz taxminan 5,7762 yil ichida pulimizni ikki baravar oshiramiz.