13.5-bo'lim: Differensiallar
Bu juda qisqa bo'lim va bizda bo'lgani kabi buni tan olish uchun ham shu yerda farqlar bir o'zgaruvchining funktsiyalari uchun bizda bir nechta o'zgaruvchining funktsiyalari uchun ham mavjud. Bundan tashqari, oldingi bo'limlarda ko'rganimizdek, bir nechta o'zgaruvchilarga o'tsak, narsalar deyarli bir xil ishlaydi, lekin ba'zi kichik farqlar mavjud.
\(z = f\left( {x,y} \right)\) funksiyasini hisobga olgan holda \(dz\) yoki \(df\) differensiali quyidagicha ifodalanadi:
\[dz = {f_x}\,dx + {f_y}\,dy\hspace{0.5in}\text{yoki}\hspace{0.5in}df = {f_x}\,dx + {f_y}\,dy\]Uch yoki undan ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari uchun tabiiy kengaytma mavjud. Masalan, \(w = g\left( {x,y,z} \right)\) funktsiyasi berilgan differensial quyidagicha ifodalanadi:
\[dw = {g_x}\,dx + {g_y}\,dy + {g_z}\,dz\]Keling, bir nechta tezkor misollarni keltiraylik.
- \(z = {{\bf{e}}^{{x^2} + {y^2}}}\tan \left( {2x} \right)\)
- \(\displaystyle u = \frac{{{t^3}{r^6}}}{{{s^2}}}\)
a \(z = {{\bf{e}}^{{x^2} + {y^2}}}\tan \left( {2x} \right)\) Yechim
Haqiqatan ham tez farqlashdan tashqari bular uchun juda ko'p narsa yo'q. Bu funksiya uchun differensial.
\[dz = \left( {2x{{\bf{e}}^{{x^2} + {y^2}}}\tan \left( {2x} \right) + 2{{\bf{e}}^{{x^2} + {y^2}}}{{\sec }^2}\left( {2x} \right)} \right)dx + 2y{{\bf{e}}^{{x^2} + {y^2}}}\tan \left( {2x} \right)dy\]b \(\displaystyle u = \frac{{{t^3}{r^6}}}{{{s^2}}}\) Yechim
Mana bu funktsiya uchun differensial.
\[du = \frac{{3{t^2}{r^6}}}{{{s^2}}}dt + \frac{{6{t^3}{r^5}}}{{{s^2}}}dr - \frac{{2{t^3}{r^6}}}{{{s^3}}}ds\]E'tibor bering, ba'zida bu farqlar deyiladi umumiy farqlar.