8.3-bo'lim: Davriy funksiyalar va ortogonal funksiyalar
Bu qisqa bo'lim bo'ladi. Biz ushbu bobning keyingi mavzusiga o'tayotganda ba'zida biz ko'rib chiqadigan bir nechta g'oyalar haqida qisqacha muhokama qilishimiz kerak.
Davriy funktsiya
Biz muhokama qilishimiz kerak bo'lgan birinchi mavzu - bu davriy funktsiya. Funktsiya deyiladi davriy bilan \(T\) davri agar quyidagi to'g'ri bo'lsa,
\[f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\,\,\hspace{0.25in}{\mbox{for all }}x\]Quyida davriy funktsiyalar haqida yoqimli kichik fakt keltirilgan.
Davriy funksiyalarning hosilalari va yig‘indilari davriydir
Agar \(f\) va \(g\) ikkalasi ham \(T\) davriga ega davriy funktsiyalar bo'lsa, \(f + g\) va \(fg\) ham shunday bo'ladi.
Buni isbotlash juda oson, shuning uchun buni qilaylik.
\[\begin{align*}& \left( {f + g} \right)\left( {x + T} \right) = f\left( {x + T} \right) + g\left( {x + T} \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = \left( {f + g} \right)\left( x \right)\\ & \left( {fg} \right)\left( {x + T} \right) = f\left( {x + T} \right)g\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)g\left( x \right) = \left( {fg} \right)\left( x \right)\end{align*}\]Ko'pchiligimizga tanish bo'lgan ikkita davriy funktsiya sinus va kosinusdir va aslida biz ushbu bobning qolgan bo'limlarida ushbu ikki funktsiyadan muntazam ravishda foydalanamiz. Shunday qilib, keling, davriy funktsiyalar haqidagi bahsni quyidagi fakt bilan yakunlaylik,
Sinus va kosinus davriy funktsiyalardir
\(\sin \left( {\omega \,x} \right)\) va \(\cos \left( {\omega \,x} \right)\) \(\displaystyle T = \frac{{2\pi }}{\omega }\) davriga ega davriy funksiyalardir.
Juft va toq funksiyalar
Biz muhokama qilishimiz kerak bo'lgan keyingi tezkor fikr - bu juft va toq funktsiyalar.
Eslatib o'tamiz, funktsiya deyiladi hatto if,
\[f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\]va funksiya deyiladi g'alati if,
\[f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\]Juft funksiyalarning standart namunalari \(f\left( x \right) = {x^2}\) va \(g\left( x \right) = \cos \left( x \right)\), toq funksiyalarning standart misollari esa \(f\left( x \right) = {x^3}\) va \(g\left( x \right) = \sin \left( x \right)\) hisoblanadi. Juft/toq funksiyalarning ayrim integrallari haqidagi quyidagi fakt ba’zi ishlarimizda foydali bo‘ladi.
Juft va toq funksiyalarning integrallari
- Agar \(f\left( x \right)\) teng funksiya bo'lsa, \[\int_{{ - L}}^{L}{{f\left( x \right)\,dx}} = 2\int_{0}^{L}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
- Agar \(f\left( x \right)\) g'alati funktsiya bo'lsa, u holda, \[\int_{{ - L}}^{L}{{f\left( x \right)\,dx}} = 0\]
E'tibor bering, bu fakt faqat "simmetrik" intervalda amal qiladi, i.e. \(\left[ { - L,L} \right]\) shaklidagi interval. Agar biz "nosimmetrik" oraliqda integratsiya qilmasak, bu haqiqat bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin.
Ortogonal funktsiyalar
Bu erda muhokama qilishimiz kerak bo'lgan yakuniy mavzu - ortogonal funktsiyalar. Ushbu g'oya biz ushbu bobning qolgan qismida va keyingi bobda qiladigan ishlarning ajralmas qismi bo'ladi, chunki biz qisman differentsial tenglamalar uchun asosiy echim usullaridan birini muhokama qilamiz.
Keling, avval ortogonal funktsiyalarning ta'rifini yo'ldan chiqaraylik.
Ortogonal funksiyalarning ta'rifi
- Ikki nolga teng bo'lmagan funksiyalar, \(f\left( x \right)\) va \(g\left( x \right)\), deyiladi. ortogonal on \(a \le x \le b\) if, \[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)g\left( x \right)\,dx}} = 0\]
- Nolga teng bo'lmagan funktsiyalar to'plami, \(\left\{ {{f_i}\left( x \right)} \right\}\), deyiladi o'zaro ortogonal \(a \le x \le b\) da (yoki shunchaki an ortogonal to'plam agar biz dangasa bo'lsak) agar \({f_i}\left( x \right)\) va \({f_j}\left( x \right)\) har bir \(i \ne j\) uchun ortogonal bo'lsa. Boshqacha aytganda, \[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{{f_i}\left( x \right){f_j}\left( x \right)\,dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}0&{i \ne j}\\{c > 0}&{i = j}\end{array}} \right.\]
E'tibor bering, ikkinchi ta'rif uchun \(i = j\) holatida biz integraldan ijobiy qiymat olishimizni bilamiz, chunki,
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{{f_i}\left( x \right){f_i}\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{{{\left[ {{f_i}\left( x \right)} \right]}^2}\,dx}} > 0\]Eslatib o'tamiz, biz ijobiy funktsiyani birlashtirganda, natija ham ijobiy bo'lishini bilamiz.
Shuni ham yodda tutingki, nolga teng bo'lmagan talab muhim, chunki aks holda biz foydalanadigan boshqa funktsiyadan qat'i nazar, integral ahamiyatsiz nolga teng bo'ladi.
Ba'zi misollar bilan ishlashdan oldin bizga ba'zi integrallar bilan yordam berishimiz kerak bo'lgan ajoyib trig formulalar to'plami mavjud.
\[\begin{align*}\sin \alpha \cos \beta & = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ \sin \alpha \sin \beta & = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ \cos \alpha \cos \beta & = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\end{align*}\]Endi keling, keyingi ikki bo'lim davomida bizga kerak bo'ladigan ba'zi misollarni ishlab chiqaylik.
Yechim
Buni qilish unchalik qiyin emas. Biz haqiqatan ham qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu quyidagi integralni baholashdir.
\[\int_{{ - L}}^{L}{{\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\]Ushbu integralni baholashni boshlashdan oldin, integral ikkita juft funktsiyaning hosilasi ekanligini va shuning uchun ham juft bo'lishi kerakligini bilib olaylik. Bu shuni anglatadiki, biz yuqoridagi 3-faktdan integralni quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[\int_{{ - L}}^{L}{{\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 2\int_{0}^{L}{{\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\]Buni qilishning ikkita sababi bor. Avvaliga nol chegarasiga ega bo'lish ko'pincha baholash bosqichini biroz osonlashtiradi va bu erda ham shunday bo'ladi. Ikkinchi sababni misol bilan tugatgandan so'ng muhokama qilamiz.
Endi bu integralni bajarish uchun biz uchta holatni ko'rib chiqishimiz kerak.
\(\underline {n = m = 0} \)
Bu holda integral juda oson va shunday bo'ladi:
\(\underline {n = m \ne 0} \)
Bu integral birinchi holatdan biroz qiyinroq, lekin unchalik emas (agar biz oddiy trig formulasini eslasak). Bu holat uchun integral,
Endi biz \(n\) butun son ekanligini esga olishimiz kerak, shuning uchun \(\sin \left( {2n\pi } \right) = 0\) va bizning integral uchun yakuniy qiymatimiz:
\[\int_{{ - L}}^{L}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 2\int_{0}^{L}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = L\]Birinchi ikkita holat shuni ko'rsatadiki, agar \(n = m\) integral nolga teng bo'lmasa (bunday bo'lmasligi kerak) va \(n\) (va shuning uchun \(m\)) qiymatiga qarab biz integralning turli qiymatlarini olamiz. Endi biz uchinchi holatni bajarishimiz kerak va bu qaysidir ma'noda muhim holat, chunki to'plam ortogonal to'plam ekanligini bilish uchun bu integraldan nolga chiqishimiz kerak. Shunday qilib, keling, yakuniy ishni hal qilaylik.
\(\underline {n \ne m} \)
Bu integral biz bu erda qilishimiz kerak bo'lgan uchtasining "eng tartibsiz"idir. Keling, integralni yozishdan boshlaylik.
Bu holda biz avvalgi ikki holatda bo'lgani kabi birlashtira olmaymiz/soddalashtira olmaymiz. Biroq, biz tan olishimiz mumkinki, bizda turli argumentlarga ega bo'lgan ikkita kosinus mahsuloti bor va shuning uchun mahsulotni quyidagicha ajratish uchun yuqoridagi trig formulalardan birini ishlatishimiz mumkin,
\[\begin{align*}\int_{{ - L}}^{L}{{\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} & = 2\int_{0}^{L}{{\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\\ & = \int_{0}^{L}{{\cos \left( {\frac{{\left( {n - m} \right)\pi x}}{L}} \right) + \cos \left( {\frac{{\left( {n + m} \right)\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\\ & = \left[ {\frac{L}{{\left( {n - m} \right)\pi }}\sin \left( {\frac{{\left( {n - m} \right)\pi x}}{L}} \right) + \frac{L}{{\left( {n + m} \right)\pi }}\sin \left( {\frac{{\left( {n + m} \right)\pi x}}{L}} \right)} \right]_0^L\\ & = \frac{L}{{\left( {n - m} \right)\pi }}\sin \left( {\left( {n - m} \right)\pi } \right) + \frac{L}{{\left( {n + m} \right)\pi }}\sin \left( {\left( {n + m} \right)\pi } \right)\end{align*}\]Endi biz \(n\) va \(m\) ikkalasi ham butun son ekanligini bilamiz, shuning uchun \(n - m\) va \(n + m\) ham butun sonlardir va shuning uchun yuqoridagi sinuslarning ikkalasi ham nolga teng bo'lishi kerak va biz birgalikda olamiz,
\[\int_{{ - L}}^{L}{{\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 2\int_{0}^{L}{{\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 0\]Shunday qilib, biz ko'rsatdik, agar \(n \ne m\) integral nolga teng bo'lsa va \(n = m\) bo'lsa, integralning qiymati musbat doimiy va shuning uchun to'plam o'zaro ortogonal bo'ladi.
Yuqoridagi barcha ishlarda biz har bir qadamda integralning ikkala shaklini saqladik. Keling, nima uchun buni qilganimizni biroz muhokama qilaylik. Integralning ikkala shaklini atrofida ushlab turish orqali biz \(\left\{ {\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \right\}_{n\,\, = \,\,0}^\infty \) nafaqat \( - L \le x \le L\) da, balki \(0 \le x \le L\) da o‘zaro ortogonal ekanligini ko‘rsata oldik. Yagona farq \(n = m\) bo'lganda integralning qiymati va biz bu qiymatlarni yuqoridagi ishdan olishimiz mumkin.
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Birinchidan, biz boshidan bu safar ikkala intervalda ortogonallikni ko'rsatamiz. Ikkinchidan, biz ushbu to'plamni \(n = 1\)-dan boshlashimiz kerak, chunki agar biz \(n = 0\)-dan foydalansak, birinchi funktsiya nolga teng bo'ladi va biz nol funksiyasi bizning ro'yxatimizda paydo bo'lishini xohlamaymiz.
Birinchi misolda bo'lgani kabi, biz faqat quyidagi integralni baholashimiz kerak.
\[\int_{{ - L}}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\]Bu holda integratsiya ikkita toq funksiyaning mahsulotidir va shuning uchun juft bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, biz integralni quyidagicha yozish uchun yuqoridagi 3-faktdan yana foydalanishimiz mumkin:
\[\int_{{ - L}}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 2\int_{0}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\]Bu erda integral uchun faqat ikkita holat mavjud.
\(\underline {n = m} \)
Bu integral uchun unchalik ko'p emas. Bu ikkinchi holat oldingi misollarga juda o'xshaydi.
Xulosa qilib, biz olamiz,
\[\int_{{ - L}}^{L}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 2\int_{0}^{L}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = L\]\(\underline {n \ne m} \)
Oldingi misolda bo'lgani kabi, bu biroz chigalroq bo'lishi mumkin, lekin u avvalgi misoldagi uchinchi holat bilan deyarli bir xil, shuning uchun biz ko'p ishlarni ko'rsatmaymiz.
Oldingi misolda bo'lgani kabi, biz \(n\) va \(m\) ikkala a butun son ekanligini bilamiz va shuning uchun yuqoridagi sinuslarning ikkalasi ham nolga teng bo'lishi kerak va biz birgalikda olamiz,
\[\int_{{ - L}}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 2\int_{0}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 0\]Shunday qilib, biz ko'rsatdik, agar \(n \ne m\) integral nolga teng bo'lsa va \(n = m\) bo'lsa, integralning qiymati musbat doimiy va shuning uchun to'plam o'zaro ortogonal bo'ladi.
Endi biz \(\left\{ {\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \right\}_{n\,\, = \,\,1}^\infty \) \( - L \le x \le L\) va \(0 \le x \le L\) da o‘zaro ortogonal ekanligini ko‘rsatdik.
Ushbu bo'limda yana bir misol bilan ishlashimiz kerak.
Yechim
Bu misol oldingi ikki misoldan bir oz farq qiladi. Bu erda ikkala to'plam birgalikda \( - L \le x \le L\) da o'zaro ortogonal ekanligini ko'rsatmoqchimiz. Buni ko'rsatish uchun biz uchta narsani ko'rsatishimiz kerak. Birinchidan (va ikkinchidan, aslida) biz har bir to'plam o'zaro ortogonal ekanligini alohida ko'rsatishimiz kerak va biz buni oldingi ikkita misolda qilganmiz. Bu erda ko'rsatishimiz kerak bo'lgan uchinchi (va yagona) narsa shundaki, agar biz bitta to'plamdan bitta funktsiyani va boshqa to'plamdan boshqa funktsiyani olsak va ularni birlashtirsak, biz nolga erishamiz.
Shuni ham yodda tutingki, bu safar biz faqat bitta intervalni bajarishni xohlaymiz, chunki birgalikda olingan ikkita to'plam \(0 \le x \le L\) da o'zaro ortogonal emas. Bu har doim nolga teng bo'lmasligini tekshirish uchun ushbu intervalda integralni bajarishni xohlashingiz mumkin.
Shunday qilib, keling, bu erda qilishimiz kerak bo'lgan va qiladigan ko'p narsa yo'q bo'lgan bitta integralga g'amxo'rlik qilaylik. Mana integral.
\[\int_{{ - L}}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}}\]Bu holda integrand toq funksiya (sinus) va juft funksiya (kosinus) hosilasidir, shuning uchun integrand toq funksiyadir. Demak, integral simmetrik oraliqda joylashganligi uchun, i.e. \( - L \le x \le L\) va shuning uchun yuqoridagi 3-faktga ko'ra biz integral nolga teng bo'lishi kerakligini bilamiz yoki,
\[\int_{{ - L}}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 0\]Shunday qilib, oldingi misollarda biz \( - L \le x \le L\) oralig'ida ikkala to'plam individual ravishda o'zaro ortogonal ekanligini va bu erda sinus va kosinusning ko'paytmasini integrallash nolga teng ekanligini ko'rsatdik. Shuning uchun ular birlashgan to'plam sifatida ham o'zaro ortogonaldir.
Endi biz ortogonallik bilan bog'liq uchta misolni ishladik va shuni ta'kidlashimiz kerakki, ular shunchaki ishlash uchun tasodifiy misollar sifatida havodan tortib olinmagan. Keyingilarda (va keyingi bobda) bizga ushbu misollardan olingan natijalar kerak bo'ladi. Shunday qilib, keling, ushbu natijalarni shu erda umumlashtiramiz.
Kosinus va sinus to'plamlarning ortogonalligi
- \(\displaystyle \left\{ {\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \right\}_{n\,\, = \,\,0}^\infty \) va \(\left\{ {\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \right\}_{n\,\, = \,\,1}^\infty \) \( - L \le x \le L\) da alohida to'plamlar va birlashtirilgan to'plam sifatida o'zaro ortogonaldir.
- \(\displaystyle \left\{ {\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \right\}_{n\,\, = \,\,0}^\infty \) \(0 \le x \le L\) da o'zaro ortogonaldir.
- \(\displaystyle \left\{ {\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)} \right\}_{n\,\, = \,\,1}^\infty \) \(0 \le x \le L\) da o'zaro ortogonaldir.
Bizga \( - L \le x \le L\) da ham, \(0 \le x \le L\) da ham integrallarning natijalari kerak bo'ladi, shuning uchun kerak bo'lganda ularga murojaat qilishimiz uchun ularni shu yerda ham umumlashtiramiz.
Kosinuslar va sinuslar mahsulotining integrallari
- \(\displaystyle \int_{{ - L}}^{L}{{\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2L}&{{\mbox{if }}n = m = 0}\\L&{{\mbox{if }}n = m \ne 0}\\0&{{\mbox{if }}n \ne m}\end{array}} \right.\)
- \(\displaystyle \int_{0}^{L}{{\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}L&{{\mbox{if }}n = m = 0}\\{\frac{L}{2}}&{{\mbox{if }}n = m \ne 0}\\0&{{\mbox{if }}n \ne m}\end{array}} \right.\)
- \(\displaystyle \int_{{ - L}}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}L&{{\mbox{if }}n = m}\\0&{{\mbox{if }}n \ne m}\end{array}} \right.\)
- \(\displaystyle \int_{0}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{L}{2}}&{{\mbox{if }}n = m}\\0&{{\mbox{if }}n \ne m}\end{array}} \right.\)
- \(\displaystyle \int_{{ - L}}^{L}{{\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)\cos \left( {\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\,dx}} = 0\)
Ushbu xulosa bilan biz ushbu bo'limni tark etamiz va ushbu bobning ikkinchi asosiy mavzusiga o'tamiz: Furye seriyasi.