1.6-bo'lim: Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, II qism
Ushbu hujjat Internetda ko'rish uchun ham tayyorlanayotganligi sababli biz sahifalar hajmini minimallashtirish uchun ushbu bo'limni ikki qismga ajratdik.
Bundan tashqari, ushbu bo'limning oldingi qismidagi so'nggi bir nechta misollarda bo'lgani kabi, biz joyni tejash uchun oraliqda echimlarni izlamaymiz. Ushbu misollarning muhim qismi tenglamaning echimlarini topishdir. Agar bizga oraliq berilgan bo'lsa, aslida intervalga to'g'ri keladigan echimlarni topish oson bo'lar edi.
Oldingidagi barcha misollarda barcha argumentlar, \(3t\), \(\frac{\alpha }{7}\), va hokazo., juda oddiy edi. Keling, biroz murakkabroq ko'rinadigan argumentga ega bo'lgan misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
E'tibor bering, bu erda argument unchalik murakkab emas, lekin "-1" qo'shilishi ko'pincha odamlarni chalkashtirib yuboradi, shuning uchun biz bunday dalil bilan tez misol keltirishimiz kerak. Yechish jarayoni shu paytgacha qilgan barcha muammolarimiz bilan bir xil, shuning uchun biz ko'p izoh bermaymiz. Mana bu yechim.
\[\cos \left( {2x - 1} \right) = - \frac{3}{5}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}2x - 1 = {\cos ^{ - 1}}\left( { - \frac{3}{5}} \right) = 2.2143\]Bu burchak ikkinchi kvadrantda va shuning uchun biz ikkinchi burchak uchun -2.2143 yoki \(2\pi - 2.2143 = 4.0689\) dan foydalanishimiz mumkin. Odatdagidek, bu qaydlar uchun biz ijobiydan foydalanamiz. Shuning uchun ikkita burchak,
\[\begin{align*}\begin{aligned}2x - 1 & = 2.2143 + 2\pi n\\ 2x - 1 & = 4.0689 + 2\pi n\end{aligned} &{\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]Endi biz \(x\) ning haqiqiy qiymatlarini topishimiz kerak. Ular yuqoridagi barcha muammolar bilan bir xil tarzda topiladi. Avval ikkala tomonga 1 qo‘shamiz va keyin 2 ga bo‘lamiz.
\[\begin{align*}\begin{aligned}x & = 1.6072 + \pi n\\ x & = 2.5345 + \pi n\end{aligned} & {\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]Shunday qilib, ushbu misolda biz ilgari ko'rib chiqilganlardan bir oz farq qiladigan argumentni ko'rdik, lekin muammolarni hal qilishda unchalik farq qilmaydi, shuning uchun bundan juda hayajonlanmang.
Endi biz boshqa turdagi trig tenglamasiga o'tishimiz kerak. Shu nuqtaga qadar hal qilingan barcha trig tenglamalari (oldingi misol, shuningdek, oldingi bo'lim) qaysidir ma'noda odatda trig sinfida echiladigan "standart" trig tenglamasi edi. Trig-funksiyalarni o'z ichiga olgan boshqa turdagi tenglamalar mavjud, ammo biz ularni tezda ko'rib chiqishimiz kerak. Qolgan misollar turli xil trig tenglamalarining ba'zilarini ko'rsatadi.
Yechim
Shunday qilib, bu, albatta, biz hal qilgan tenglamalarning hech biriga o'xshamaydi va dastlab jarayon ham boshqacha. Birinchidan, har bir atamada \(\cos \left( {6y} \right)\) borligiga e'tibor bering, keling, buni hisobga olib, bizda nima borligini ko'rib chiqaylik.
\[\cos \left( {6y} \right)\left( {2 + 11\sin \left( {3y} \right)} \right) = 0\]Endi bizda nolga teng ikkita atama mahsuloti bor va shuning uchun biz ega bo'lishimiz kerakligini bilamiz,
\[\cos \left( {6y} \right) = 0\hspace{0.5in}{\rm{OR}}\hspace{0.5in}2 + 11\sin \left( {3y} \right) = 0\]Endi, bu nuqtada bizda echishimiz kerak bo'lgan ikkita trig tenglama bor va ularning har biri biz ilgari yechgan tenglama turiga o'xshash. Shuning uchun biz bu ikki tenglamani yechish haqida batafsil ma'lumot bermaymiz.
Birinchidan, \(\cos \left( {6y} \right) = 0\) ni hal qilish,
\[\begin{align*}\begin{aligned}6y & = \frac{\pi }{2} + 2\pi n\\ & \\ 6y & = \frac{{3\pi }}{2} + 2\pi n\end{aligned} & {\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}} &\begin{aligned}y & = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi n}}{3}\\ & \\ y & = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{3}\end{aligned} & {\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]Keyinchalik, \(2 + 11\sin \left( {3y} \right) = 0\) ni hal qilish,
\[\begin{align*}\begin{aligned}3y & = 6.1004 + 2\pi n\\ & \\3y & = 3.3244 + 2\pi n\end{aligned} & {\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}} &\begin{aligned}y & = 2.0335 + \frac{{2\pi n}}{3}\\ & \\ y & = 1.1081 + \frac{{2\pi n}}{3}\end{aligned} & {\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]Esda tutingki, bu eslatmalarda biz ijobiy burchaklarni olishga moyilmiz va shuning uchun bu erda birinchi yechim aslida \(2\pi - 0.1828\) bo'lib, bizning kalkulyatorimiz teskari sinus funksiyasidan foydalanganda javob sifatida bizga -0,1828 javob berdi.
U holda bu tenglamaning yechimlari,
\[\begin{align*}\begin{aligned}y & = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi n}}{3}\\ & \\ y & = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{3}\\ y & = 2.0335 + \frac{{2\pi n}}{3}\\ y & = 1.1081 + \frac{{2\pi n}}{3}\end{aligned} & {\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]Ushbu keyingi misol, shuningdek, "faktoring" trig tenglamalarini o'z ichiga oladi, lekin avvalgi misoldan bir oz farq qiladi.
Yechim
Bu tenglamani yechishdan oldin bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan tenglamani yechamiz.
\[4{x^2} - 3x = 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}4{x^2} - 3x - 1 = \left( {4x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - \frac{1}{4},1\]Bu yechish oson (yoki hech bo'lmaganda biz bu nuqtada oson deb umid qilamiz) tenglama. Shunda aniq savol: nega biz buni qildik? Agar siz ikkita tenglamani solishtirsangiz, haqiqiy farq shundaki, biz hal qilgan tenglama hamma joyda \(x\) va biz yechmoqchi bo'lgan tenglama sinusga ega. Bu bizga shuni aytadiki, biz ikkita tenglamani xuddi shu tarzda ishlashimiz mumkin.
Biz birinchi navbatda tenglamani quyidagicha “komil” qilamiz,
\[4{\sin ^2}\left( {\frac{t}{3}} \right) - 3\sin \left( {\frac{t}{3}} \right) - 1 = \left( {4\sin \left( {\frac{t}{3}} \right) + 1} \right)\left( {\sin \left( {\frac{t}{3}} \right) - 1} \right) = 0\]Endi ikkita omilning har birini nolga tenglang va sinusni hal qiling,
\[\sin \left( {\frac{t}{3}} \right) = - \frac{1}{4}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\sin \left( {\frac{t}{3}} \right) = 1\]Hozir bizda ikkita trig tenglama mavjud, ularni shu nuqtada osonlikcha (umid qilamanki...) yechishimiz mumkin. Bularning har birining yechimlari va shuning uchun asl tenglamaning yechimlari ekanligini tekshirish uchun tafsilotlarni sizga qoldiramiz:
\[\begin{align*}\begin{aligned}t & = 18.0915 + 6\pi n\\ t & = 10.1829 + 6\pi n\\ t & = \frac{{3\pi }}{2} + 6\pi n\end{aligned} & {\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]Birinchi ikkita yechim birinchi tenglamadan, uchinchi yechim esa ikkinchi tenglamadan.
Keling, kvadrat tenglamani echishni o'z ichiga olgan yana bir trig tenglamani ishlab chiqaylik. Biroq, bu safar, oldingi misoldan farqli o'laroq, bu omil hisobga olinmaydi va shuning uchun biz kvadrat formuladan foydalanishimiz kerak.
Yechim
Endi, misolni boshlashdan oldin aytib o'tilganidek, bu kvadratik omil emas. Biroq, bu hamma narsa yo'qolgan degani emas. Quyidagi tenglamani kvadrat formula bilan yechishimiz mumkin (siz eslab qoling Bu va uni qanday qilib to'g'ri ishlatish kerak?),
\[8{t^2} + 13t - 5 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = \frac{{ - 13 \pm \sqrt {329} }}{{16}} = 0.3211,\,\,\, - 1.9461\]Shunday qilib, agar biz kvadrat formuladan foydalana olsak, biz uni yechishimiz so'ralgan tenglamada ham qo'llashimiz mumkin. Bu bizga beradi,
\[\cos \left( {1 - x} \right) = 0.3211\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\rm{OR}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\cos \left( {1 - x} \right) = - 1.9461\]Endi eslang 9-misol oldingi bo'limdan. Ushbu misolda biz \( - 1 \le \cos \left( \theta \right) \le 1\) va shuning uchun ikkinchi tenglamaning yechimlari bo'lmasligini ta'kidladik. Shunday qilib, birinchi tenglamaning echimlari bizning dastlabki tenglamamizning yagona echimini beradi. Buni hal qilish quyidagi echimlar to'plamini beradi,
\[\begin{array}{cc}\begin{aligned}x & = - 0.2439 - 2\pi n\\ x & = - 4.0393 - 2\pi n\end{aligned} & {\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{array}\]E'tibor bering, biz bu erda ba'zi salbiy raqamlarni oldik va bu biz ushbu misollarning aksariyatida ishlatgan umumiy shaklni buzganga o'xshaydi. Biroq, bu holda, bizning kalkulyatorimizda teskari kosinusni hisoblagandan so'ng, \(x\) ni yechganimizda "-" paydo bo'ladi.
Ushbu bo'limda biz ishlashimiz kerak bo'lgan yana bir misol bor, u trig tenglamalarni echishda faktoring paydo bo'lishining boshqa usulini ko'rsatadi. Bu tenglama, shuningdek, o'zgaruvchi trig tenglamaning ichida ham, tashqarisida ham paydo bo'ladigan yagona tenglamadir. Bu shakldagi barcha tenglamalarni osonlikcha yechish mumkin emas, lekin ba'zilari bo'lishi mumkin, shuning uchun biz ulardan biriga tez misol keltirmoqchimiz.
Yechim
Birinchidan, hal qilishni boshlashdan oldin, biz bir narsani aniqlab olishimiz kerak. \(x\) NI IKKI TOMONDAN BEKOR QILMANG!!! Garchi buni qilish tabiiy ishdek tuyulishi mumkin BO'LADI bu erda yechimni yo'qotishimizga sabab bo'ladi.
Shunday qilib, bu tenglamani yechish uchun avval tenglamaning bir tomonidagi barcha shartlarni olamiz va keyin tenglamadan \(x\) faktorini olamiz. Agar biz \(x\) ni barcha shartlardan bekor qilsak, uni faktoriyadan chiqarish mumkin. Buni qilish,
\[5x\tan \left( {8x} \right) - 3x = x\left( {5\tan \left( {8x} \right) - 3} \right) = 0\]Faktoringga ko'ra, bizda ikkalasi bo'lishi kerak,
\[x = 0\hspace{0.5in}{\rm{OR}}\hspace{0.5in}\tan \left( {8x} \right) = \frac{3}{5}\]E'tibor bering, agar biz \(x\)-ni bekor qilsak, birinchi yechimni o'tkazib yuborgan bo'lardik. Endi biz tangensli tenglamani yechdik 5-misol oldingi bo'lim, shuning uchun biz bu erda ushbu yechimning tafsilotlariga kirmaymiz. Mana trig tenglamasining yechimi.
\[\begin{array}{cc}\begin{aligned}x & = 0.0676 + \frac{{\pi n}}{4}\\ & \\ x & = 0.4603 + \frac{{\pi n}}{4}\end{aligned} & {\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{array}\]Dastlabki tenglamaning to'liq yechimlari to'plami,
\[\begin{array}{cc}\begin{aligned}x & = 0 \\ x & = 0.0676 + \frac{{\pi n}}{4}\\ & \\ x & = 0.4603 + \frac{{\pi n}}{4}\end{aligned} & {\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{array}\]