16.5-bo'lim: Chiziqli integrallar uchun asosiy teorema
Hisoblashda bizda bor edi Hisoblashning asosiy teoremasi Bu bizga aniq integrallarni qanday baholashni aytdi. Bu bizga aytdi,
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{F'\left( x \right)dx}} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\]Ma'lum bo'lishicha, buning ma'lum turdagi vektor maydonlari ustidagi chiziqli integrallar uchun versiyasi mavjud. Mana.
Chiziqli integrallar uchun asosiy teorema
Faraz qilaylik, \(C\) a silliq \(\vec r\left( t \right)\), \(a \le t \le b\) tomonidan berilgan egri chiziq. Faraz qilaylik, \(f\) gradient vektori \(\nabla f\) \(C\) da uzluksiz bo‘lgan funksiya bo‘lsin. Keyin,
\[\int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot \,d\,\vec r}} = f\left( {\vec r\left( b \right)} \right) - f\left( {\vec r\left( a \right)} \right)\]E'tibor bering, \(\vec r\left( a \right)\) \(C\) da boshlang'ich nuqtani, \(\vec r\left( b \right)\) esa \(C\) da yakuniy nuqtani ifodalaydi. Bundan tashqari, biz funktsiya uchun o'zgaruvchilar sonini aniqlamadik, chunki u teorema uchun haqiqatan ham ahamiyatsiz. Teorema funktsiyadagi o'zgaruvchilar sonidan qat'iy nazar amal qiladi.
Asosiy teoremani isbotlash
Bu juda to'g'ridan-to'g'ri dalil.
Tasdiqlash uchun biz uch o'lchovda ishlayapmiz deb taxmin qilamiz, ammo bu har qanday o'lchamda amalga oshirilishi mumkin.
Keling, chiziqli integralni hisoblashdan boshlaylik.
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot d\,\vec r}} & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\nabla f\left( {\vec r\left( t \right)} \right)\centerdot \vec r'\left( t \right)\,dt}}\\ & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\frac{{dx}}{{dt}} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\frac{{dy}}{{dt}} + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\frac{{dz}}{{dt}}} \right)\,dt}}\end{align*}\]Endi, bu nuqtada biz foydalanishimiz mumkin Zanjir qoidasi integralni quyidagicha soddalashtirish uchun,
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot d\,\vec r}} & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\frac{{dx}}{{dt}} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\frac{{dy}}{{dt}} + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\frac{{dz}}{{dt}}} \right)\,dt}}\\ & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\frac{d}{{dt}}\left[ {f\left( {\vec r\left( t \right)} \right)} \right]\,dt}}\end{align*}\]Buni tugatish uchun biz yagona integrallar uchun Hisoblashning asosiy teoremasidan foydalanishimiz kerak.
\[\int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot d\,\vec r}} = f\left( {\vec r\left( b \right)} \right) - f\left( {\vec r\left( a \right)} \right)\]Keling, ushbu teoremadan foydalanish misolini tez ko'rib chiqaylik.
Yechim
Birinchidan, shuni ta'kidlaymizki, biz birinchi nuqtadan ikkinchi nuqtaga o'tish yo'lini aniqlamaganmiz. Buning sababi oddiy. Yuqoridagi teorema shuni ko'rsatadiki, bunday integralni baholash uchun egri chiziqdagi boshlang'ich va yakuniy nuqtalar kerak.
Shunday qilib, \(\vec r\left( t \right)\), \(a \le t \le b\) \(\left( {1,\frac{1}{2},2} \right)\) da boshlanib, \(\left( {2,1, - 1} \right)\) da tugaydigan har qanday yo‘l bo‘lsin. Keyin,
\[\vec r\left( a \right) = \left\langle {1,\frac{1}{2},2} \right\rangle \hspace{0.5in}\vec r\left( b \right) = \left\langle {2,1, - 1} \right\rangle \]U holda integral,
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot \,d\,\vec r}} & = f\left( {2,1, - 1} \right) - f\left( {1,\frac{1}{2},2} \right)\\ & = \cos \left( {2\pi } \right) + \sin \pi - 2\left( 1 \right)\left( { - 1} \right) - \left( {\cos \pi + \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 1\left( {\frac{1}{2}} \right)\left( 2 \right)} \right)\\ & = 4\end{align*}\]E'tibor bering, bu chiziq integralini bajarish uchun bizga gradient vektori ham kerak emas edi. Biroq, gradient vektorlarini topish amaliyoti uchun bu erda,
\[\nabla f = \left\langle { - \pi \sin \left( {\pi x} \right) - yz,\pi \cos \left( {\pi y} \right) - xz, - xy} \right\rangle \]Ushbu misoldan olish kerak bo'lgan eng muhim g'oya bu integralni qanday bajarish emas, chunki bu juda oddiy, biz qiladigan narsa oxirgi nuqta va boshlang'ich nuqtani funktsiyaga ulab, ikkita natijani ayirishdir. Ushbu misoldan (va shuning uchun hisobning asosiy teoremasi haqida) muhim g'oya shundan iboratki, bu turdagi chiziqli integrallar uchun javob olish uchun yo'lni bilishimiz shart emas edi. Boshqacha qilib aytganda, biz xohlagan yo'ldan foydalanishimiz mumkin va biz har doim bir xil natijalarga erishamiz.
Chiziqli integrallarning birinchi qismida (biz vektor maydonlarini ko'rib chiqmagan bo'lsak ham) biz ko'pincha yo'lni o'zgartirganimizda chiziqli integralning qiymatini o'zgartirishimizni ko'rdik. Endi bizda chiziqli integralning bir turi bor, buning uchun biz bilamizki, yo'lni o'zgartirish chiziqli integral qiymatini o'zgartirmaydi.
Keling, bu fikrni biroz rasmiylashtiraylik. Bu erda ba'zi ta'riflar mavjud. Birinchisini biz allaqachon ko'rganmiz, lekin bu biroz vaqt o'tdi va bu bo'limda muhim, shuning uchun biz uni yana beramiz. Qolgan ta'riflar yangi.
Ta'riflar
Birinchidan, \(\vec F\) ba'zi \(D\) domenidagi uzluksiz vektor maydoni deb faraz qilaylik.
- \(\vec F\) is a konservativ vektor maydoni, agar \(\vec F = \nabla f\) kabi \(f\) funktsiyasi mavjud bo'lsa. \(f\) funksiyasi a deyiladi potentsial funktsiya vektor maydoni uchun. Biz ushbu ta'rifni birinchi bo'limning birinchi qismida ko'rdik.
- \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot \,d\,\vec r}}\) is yo'ldan mustaqil agar \( \displaystyle \int\limits_{{{C_1}}}{{\vec F\centerdot \,d\,\vec r}} = \int\limits_{{{C_2}}}{{\vec F\centerdot \,d\,\vec r}}\) har qanday ikkita yo'l uchun \({C_1}\) va \({C_2}\) \(D\) da bir xil boshlang'ich va yakuniy nuqtalar bilan.
- \(C\) yo'li chaqiriladi yopiq agar uning boshlang'ich va oxirgi nuqtalari bir xil nuqta bo'lsa. Masalan, aylana yopiq yo'ldir.
- \(C\) yo'li oddiy agar u o'zini kesib o'tmasa. Doira oddiy egri chiziqdir, 8-raqamli egri chiziq esa oddiy emas.
- \(D\) mintaqasi ochiq agar u o'zining chegara nuqtalarini o'z ichiga olmasa.
- \(D\) mintaqasi ulangan agar mintaqadagi istalgan ikkita nuqtani butunlay \(D\) da joylashgan yo'l bilan bog'lay olsak.
- \(D\) mintaqasi oddiy bog'langan agar u ulangan bo'lsa va unda hech qanday teshik bo'lmasa. Keyingiga qadar bu bizga kerak bo'lmaydi, lekin u bu erda keltirilgan barcha boshqa ta'riflarga mos keladi, shuning uchun bu ta'rifni qo'yish uchun tabiiy joy edi.
Ushbu ta'riflar bilan biz hozir ba'zi yoqimli faktlarni keltira olamiz.
Mustaqillik yo'li haqida faktlar
- \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot \,d\,\vec r}}\) yo'ldan mustaqil.
Buni isbotlash juda oson, chunki yuqoridagi teoremaga qarashimiz kerak. Teorema shuni aytadiki, bu integralni baholash uchun bizga egri chiziqning boshlang'ich va oxirgi nuqtalari kerak bo'ladi. Bu, o'z navbatida, chiziqli integrali yo'ldan mustaqil bo'lishi kerakligini aytadi.
- Agar \(\vec F\) konservativ vektor maydoni bo'lsa, \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot \,d\,\vec r}}\) yo'ldan mustaqildir.
Bu haqiqatni isbotlash ham oson. Agar \(\vec F\) konservativ bo'lsa, u \(f\) potentsial funksiyasiga ega va shuning uchun chiziqli integrali \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot \,d\,\vec r}} = \int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot \,d\,\vec r}}\) ga aylanadi. Keyin birinchi faktdan foydalanib, bu chiziqli integrali yo'ldan mustaqil bo'lishi kerakligini bilamiz.
- Agar \(\vec F\) ochiq bog'langan \(D\) mintaqasidagi uzluksiz vektor maydoni bo'lsa va agar \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot \,d\,\vec r}}\) yo'ldan mustaqil bo'lsa (\(D\) dagi har qanday yo'l uchun), \(\vec F\) \(D\) da konservativ vektor maydonidir.
- Agar \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot \,d\,\vec r}}\) yo'ldan mustaqil bo'lsa, \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot \,d\,\vec r}} = 0\) har bir yopiq yo'l uchun \(C\).
- Agar \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot \,d\,\vec r}} = 0\) har bir yopiq yo'l uchun \(C\) bo'lsa, \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot \,d\,\vec r}}\) yo'ldan mustaqil bo'ladi.
Bu vektor maydonlari ustida chiziqli integrallar bilan ishlashda eslash kerak bo'lgan ba'zi yoqimli faktlar. Shuningdek, 2 va 3 va 4 va 5 bir-birining suhbati ekanligiga e'tibor bering.