1.9-bo'lim: Eksponensial va logarifm tenglamalar
Ushbu bo'limda biz eksponensial funktsiyalar yoki ulardagi logarifmlar bilan tenglamalarni echishni ko'rib chiqamiz.
Biz eksponensial funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalardan boshlaymiz. Ushbu tenglamalar uchun bizga kerak bo'lgan asosiy xususiyat:
\[{\log _b}{b^x} = x\]Yechim
Birinchi qadam, bir koeffitsientli tenglamaning bir tomonida eksponensialni o'z-o'zidan olishdir.
\[\begin{align*}7 + 15{{\bf{e}}^{1 - 3z}} & = 10\\ 15{{\bf{e}}^{1 - 3z}} & = 3\\ {{\bf{e}}^{1 - 3z}} & = \frac{1}{5}\end{align*}\]Endi biz \(z\) ni eksponentdan chiqarishimiz kerak, shunda biz buni hal qilishimiz mumkin. Buning uchun biz yuqoridagi xususiyatdan foydalanamiz. Chunki bizda bor e Tenglamada biz natural logarifmdan foydalanamiz. Birinchidan, biz ikkala tomonning logarifmini olamiz va keyin tenglamani soddalashtirish uchun xususiyatdan foydalanamiz.
\[\begin{align*}\ln \left( {{{\bf{e}}^{1 - 3z}}} \right) & = \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\\ 1 - 3z & = \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\end{align*}\]Hozir qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(z\) uchun ushbu tenglamani yechishdir.
\[\begin{align*}1 - 3z & = \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\\ - 3z & = - 1 + \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\\ z & = - \frac{1}{3}\left( { - 1 + \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)} \right) = 0.8698126372\end{align*}\]Yechim
Endi, bu holda eng yaxshi logarifm umumiy logarifm bo‘lib ko‘rinadi, chunki chap tomonning asosi 10 ga teng. Boshlang‘ich soddalashtirish yo‘q, shuning uchun ikkala tomonning jurnalini olib, soddalashtiring.
\[\begin{align*}\log {10^{{t^2} - t}} & = \log 100 = \log {10^2} = 2\\ {t^2} - t & = 2\end{align*}\]Ayni paytda bizda hal qilinishi mumkin bo'lgan kvadratik mavjud
\[\begin{align*}{t^2} - t - 2 & = 0\\ \left( {t - 2} \right)\left( {t + 1} \right) & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, bu holda echimlar \(t = 2\) va \(t = - 1\) kabi ko'rinadi.
Endi biz o'zgaruvchi faqat ko'rsatkichda paydo bo'ladigan bir nechta tenglamalarni ko'rganimizdan so'ng, biz ko'rsatkichda ham, undan tashqarida ham o'zgaruvchilarga ega misolni ko'rishimiz kerak.
Yechim
Birinchi qadam \(x\) ni ikkala shartdan ajratib ko'rsatishdir.
\(x\) Ikkala shartdan ajramang!!!!
E'tibor bering, \(x\) ni ikkala atamaga bo'lish orqali tenglamani "soddalashtirish" juda jozibali. Biroq, agar shunday qilsangiz, biz ko'rib turganimizdek, yechimni o'tkazib yuborasiz.
\[\begin{align*}x - x{{\bf{e}}^{5x + 2}} & = 0\\ x\left( {1 - {{\bf{e}}^{5x + 2}}} \right) & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, endi u bilan shug'ullanish biroz osonroq. Bundan biz ikkita imkoniyatdan birini olishimizni ko'rishimiz mumkin.
\[x = 0\hspace{0.25in}\,\,\,{\rm{OR}}\hspace{0.25in}1 - {{\bf{e}}^{5x + 2}} = 0\]Birinchi imkoniyatda boshqa hech narsa yo'q, agar biz ikkala tomonni \(x\) bilan ajratganimizda, biz buni o'tkazib yuborgan bo'lardik, shuning uchun ehtiyot bo'ling. Ikkinchi imkoniyatda bizda biroz ko'proq ish bor. Bu biz ushbu bo'limda qilgan birinchi ikkita tenglamaga o'xshash.
\[\begin{align*}{{\bf{e}}^{5x + 2}} & = 1\\ 5x + 2 & = \ln 1\\ 5x + 2 & = 0\\ x & = - \frac{2}{5}\end{align*}\]Shuni unutmangki, \(\ln 1 = 0\).
Shunday qilib, ikkita yechim \(x = 0\) va \(x = - \frac{2}{5}\).
Keyingi tenglama avvalgisiga o'xshash murakkabroq (hech bo'lmaganda ...) misoldir.
Yechim
Oldingi muammoda bo'lgani kabi \({x^2} - 4\) ni ikkala tomonning ajralmas qismiga bo'lmang. Bu tenglamani "soddalashtirgan" bo'lsa ham, echimlarni yo'qotadi. Shuni yodda tutingki, agar siz atamani ajrata olsangiz, tenglama to'g'ri yozilgan bo'lsa, uni hisobga olishingiz mumkin.
Shunday qilib, bu erda birinchi qadam hamma narsani tenglamaning bir tomoniga o'tkazish va keyin \({x^2} - 4\) ni faktordan chiqarishdir.
\[\begin{align*}5\left( {{x^2} - 4} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right){{\bf{e}}^{7 - x}} & = 0\\ \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {5 - {{\bf{e}}^{7 - x}}} \right) & = 0\end{align*}\]Bu vaqtda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa har bir omilni nolga tenglashtirish va har birini hal qilishdir.
\[\begin{array}{lll}\begin{aligned}{x^2} - 4 & = 0\\ x & = \pm 2 \\ & \\ & \end{aligned} & \hspace{0.25in} & \begin{aligned}5 - {{\bf{e}}^{7 - x}} & = 0\\ {{\bf{e}}^{7 - x}} & = 5\\ 7 - x & = \ln \left( 5 \right)\\ x & = 7 - \ln \left( 5 \right) = 5.390562088\end{aligned}\end{array}\]Keyin uchta yechim \[x = \pm \,2\] va \(x = 5.3906\) bo'ladi.
Yakuniy misol sifatida ikki xil eksponensialni o'z ichiga olgan tenglamani ko'rib chiqamiz.
Yechim
Bu erda birinchi qadam har bir tomonda bitta eksponensialni olish va keyin biz ikkala tomonni ulardan biriga bo'lamiz (bu ko'p jihatdan muhim emas), shuning uchun biz ikkita eksponensial koeffitsientga ega bo'lamiz. Keyin qismni soddalashtirish mumkin va biz oxir-oqibat ikkala koeffitsientni boshqa tomondan olamiz. Bularning barchasini bajarish,
\[\begin{align*}4{{\bf{e}}^{1 + 3x}} & = 9{{\bf{e}}^{5 - 2x}}\\ \frac{{{{\bf{e}}^{1 + 3x}}}}{{{{\bf{e}}^{5 - 2x}}}} & = \frac{9}{4}\\ {{\bf{e}}^{1 + 3x - \left( {5 - 2x} \right)}} & = {\frac{9}{4}}\\ {{\bf{e}}^{5x - 4}} & = {\frac{9}{4}}\end{align*}\]E'tibor bering, biz qaysi eksponensialni bu erda bo'lsak, qanday qilib ajratishimiz muhim emasligini aytganimizda, biz \(x\) da salbiy koeffitsientdan qochamiz. Katta muammo emas, lekin koeffitsientlardagi bu minus belgilarini ba'zida yo'qotish juda oson.
Bu endi biz hal qila oladigan shaklda, shuning uchun yechimning qolgan qismi.
\[\begin{align*}{{\bf{e}}^{5x - 4}} = {\frac{9}{4}}\\ 5x - 4 & = \ln \left( {{\frac{9}{4}}} \right)\\ 5x & = 4 + \ln \left( {{\frac{9}{4}}} \right)\\ x & = {\frac{1}{5}}\left( {4 + \ln \left( {{\frac{9}{4}}} \right)} \right) = 0.9621860432\end{align*}\]Bu tenglama \(x = 0.9622\) ning yagona yechimiga ega.
Keling, logarifmlarni o'z ichiga olgan ba'zi tenglamalarni ko'rib chiqaylik. Ushbu turdagi tenglamalarni echishda foydalanadigan asosiy xususiyat:
\[{b^{{{\log }_b}x}} = x\]Yechim
Ushbu muammoning birinchi bosqichi tenglamaning bir tomonida koeffitsienti 1 bo'lgan logarifmni o'z-o'zidan olishdir.
\[\begin{align*}2\ln \left( {\frac{x}{7} + 3} \right) & = - 7\\ \ln \left( {\frac{x}{7} + 3} \right) & = - \frac{7}{2}\end{align*}\]Endi biz \(x\) ni logarifmadan chiqarishimiz kerak va buni amalga oshirishning eng yaxshi yo'li ikkala tomonni "ko'paytirish" dir. e. Boshqacha aytganda,
\[{{\bf{e}}^{\ln \left( {\frac{x}{7} + 3} \right)}} = {{\bf{e}}^{ - \frac{7}{2}}}\]Shunday qilib, yuqoridagi xususiyatdan foydalanib e, tenglamada natural logarifm mavjud bo'lganligi sababli, biz olamiz,
\[\frac{x}{7} + 3 = {{\bf{e}}^{ - \frac{7}{2}}}\]Endi biz faqat \(x\) uchun buni hal qilishimiz kerak.
\[\begin{align*}\frac{x}{7} + 3 & = {{\bf{e}}^{ - \frac{7}{2}}}\\ \frac{x}{7} & = - 3 + {{\bf{e}}^{ - \frac{7}{2}}}\\ x & = 7\left( { - 3 + {{\bf{e}}^{ - \frac{7}{2}}}} \right) = - 20.78861832\end{align*}\]Shu nuqtada biz tugatdik va davom etamiz deb aytishga vasvasaga tushishimiz mumkin. Biroq, biz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Oldingisidan eslang bo'limi manfiy sonni logarifmga ulay olmaymiz. Bu, o'z-o'zidan, bizning javobimiz salbiy bo'lgani uchun ishlamaydi degani emas. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa uni logarifmga ulash va \(\frac{x}{7} + 3\) manfiy bo'lmasligiga ishonch hosil qilishdir. Men buni sizga qoldiraman, bu bizning yechimimizni logarifmga ulagandan so'ng haqiqatan ham ijobiydir va shuning uchun \(x = - 20.78861832\) tenglamaning yechimidir.
Endi murakkabroq tenglamani ko'rib chiqamiz. Ko'pincha tenglamada bir nechta logarifm bo'ladi. Bu sodir bo'lganda, barcha logarifmalarni bitta logarifmaga birlashtirish uchun quyidagi xususiyatlardan bir yoki bir nechtasini ishlatishimiz kerak bo'ladi. Bu bajarilgandan so'ng, biz oldingi misolda bo'lgani kabi davom etishimiz mumkin.
\[ {\log _b}(xy) = {\log _b}(x) + {\log _b}(y) \hspace{0.5in} {\log _b}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {\log _b}(x) - {\log _b}(y) \hspace{0.5in}{\log _b}\left( {{x^r}} \right) = r{\log _b}(x) \]Yechim
Avval ikkita logarifmni bitta logarifmga birlashtiring.
\[\begin{align*}2\ln \left( {\sqrt x } \right) - \ln \left( {1 - x} \right) & = 2\\ \ln \left( {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right) - \ln \left( {1 - x} \right) & = 2\\ \ln \left( x \right) - \ln \left( {1 - x} \right) & = 2\\ \ln \left( {\frac{x}{{1 - x}}} \right) & = 2\end{align*}\]Endi ikkala tomonni eksponentatsiya qiling va \(x\) ni hal qiling.
\[\begin{align*}\frac{x}{{1 - x}} & = {{\bf{e}}^2}\\ x & = {{\bf{e}}^2}\left( {1 - x} \right)\\ x & = {{\bf{e}}^2} - {{\bf{e}}^2}x\\ x\left( {1 + {{\bf{e}}^2}} \right) & = {{\bf{e}}^2}\\ x & = \frac{{{{\bf{e}}^2}}}{{1 + {{\bf{e}}^2}}} = 0.8807970780\end{align*}\]Bu erda yechim ishi biroz chigal edi, lekin bu siz vaqti-vaqti bilan bajarishingiz kerak bo'lgan ish, shuning uchun buni qila olishingizga ishonch hosil qiling!
Va nihoyat, biz \(x = 0.8807970780\) yechimi ikkala asl logarifmda ham manfiy sonlarni keltirmasligiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Bu yo'q, shuning uchun bu aslida bu muammoni hal qilishimizdir.
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Oxirgi misolda bo'lgani kabi, avval logarifmlarni bitta logarifmaga birlashtiring.
\[\begin{align*}\log x + \log \left( {x - 3} \right) & = 1\\ \log \left( {x\left( {x - 3} \right)} \right) & = 1\end{align*}\]Endi eksponentatsiya qiling, bu safar o'rniga 10 dan foydalaning e chunki biz tenglamada ikkala tomonning umumiy jurnallariga egamiz.
\[\begin{align*}{10^{\log \left( {{x^2} - 3x} \right)}} & = {10^1}\\ {x^2} - 3x & = 10\\ {x^2} - 3x - 10 & = 0\\ \left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, potentsial echimlar \(x = 5\) va \(x = - 2\). E'tibor bering, agar biz \(x = - 2\)-ni ikkita asl logarifmdan biriga ulab olsak, biz salbiy sonlarni olamiz, shuning uchun bu yechim bo'lmaydi. Biroq, biz \(x = 5\) dan foydalanishimiz mumkin.
Shuning uchun bu tenglamaning yechimi \(x = 5\) hisoblanadi.
Logarifmli tenglamalarni yechishda potentsial yechimlarni tekshirish, ular manfiy sonlar yoki nol logarifmlarini yaratmasligiga ishonch hosil qilish kerak. Tekshirishlarni amalga oshirganingizga ishonch hosil qilish ham muhimdir original tenglama. Agar siz ularni yuqoridagi ikkinchi logarifmda tekshirsangiz (ikkita jurnalni birlashtirgandan so'ng) ikkala yechim ham ishlaydi! Buning sababi shundaki, ikkita logarifmni birlashtirganda biz muammoni o'zgartirdik. Aslida, aynan shu o'zgarish biz foydalana olmaydigan qo'shimcha echimni taqdim etadi!
Bundan tashqari, ikkita potentsial echimga ega bo'lasiz va ulardan faqat bittasi ishlaydi, degan fikrga tushib qolmaslik uchun logarifmlarni o'z ichiga olgan tenglamalarni echishda ehtiyot bo'ling. Muammolarning ikkalasi ham yechim bo'lgan va birortasi ham yechim bo'lmagan hollarda bo'lishi mumkin.
Biz ishlashimiz kerak bo'lgan yana bir muammo bor.
Yechim
Ushbu muammoning birinchi bosqichi biz shu paytgacha qilganimiz bilan bir xil. Shunday qilib, keling, logarifmlarni birlashtiramiz.
\[\begin{align*}\ln \left( {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)} \right) & = 2\\ \ln \left( {{x^2} - x - 2} \right) & = 2\end{align*}\]Endi biz logarifmni yo'q qilish uchun \(\bf{e}\) ga nisbatan ikkala tomonni eksponentatsiya qilishimiz mumkin. Buni biroz soddalashtirish bilan birga bajarish,
\[\begin{align*}{x^2} - x - 2 & = {{\bf{e}}^2}\\ {x^2} - x - 2 - {{\bf{e}}^2} & = 0\end{align*}\]Biz bu muammoning nuqtasiga yetib keldik. Biz bu kvadratni hal qilishimiz kerak va \({{\bf{e}}^2}\) siz hamma buni qila oladi. Biroq, \({{\bf{e}}^2}\) bilan odamlar buni qila olmaslikka qaror qilishadi.
Bu faqat kvadrat tenglama va bu sinfdagi har bir kishi buni hal qila olishi kerak. Bu kvadrat tenglama va siz ko'rgan tenglama o'rtasidagi yagona farq shundaki, unda butun son yoki eng yomoni kasr bo'lmagan raqamlar mavjud. Bu holda kvadratikdagi doimiy faqat \( - 2 - {{\bf{e}}^2}\) va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa yechimlarni olish uchun kvadrat formuladan foydalanishdir.
Bu kvadrat tenglamaning yechimlari:
\[x = \frac{{1 \pm \sqrt {1 - 4\left( 1 \right)\left( { - 2 - {{\bf{e}}^2}} \right)} }}{2} = \frac{{1 \pm \sqrt {9 + 4{{\bf{e}}^2}} }}{2} = - 2.6047,\,\,\,3.6047\]Ushbu kvadratikning "tartibsiz" echimlaridan hayajonlanmang. Biz vaqti-vaqti bilan bunday echimlarni olamiz.
Ushbu muammoning oxirgi bosqichi dastlabki tenglamadagi kvadrat tenglamaning ikkita echimini tekshirishdir. Shunday qilib, biz birinchi yechim -2.6047 logarifmlarda manfiy sonlarni berishini va shuning uchun yechim bo'lolmasligini ko'ramiz. Boshqa tomondan, ikkinchi yechim, 3.6047, logarifmlarda manfiy sonlarni bermaydi va shuning uchun ham yaxshi.
Asl tenglamaning yechimi \(x = 3.6047\).