1.14-bo'lim: Mutlaq qiymat tenglamalari va tengsizliklar
Quyidagilarning har birini hal qiling.
- \(\left| {3x + 8} \right| = 2\)
Yechim
Bu quyidagi faktdan foydalanadi
\[\left| p \right| = d \ge 0\,\,\,\,\hspace{0.25in}\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,p = \pm \,d\]\(d\) noldan katta yoki teng bo'lishi talabi shunchaki mutlaq qiymat faqat nolga teng yoki katta bo'lgan sonni qaytarishini tan olishdir. \(d\) salbiy bo'lsa nima bo'lishini bilish uchun quyidagi 3-muammoga qarang.
Demak, bu tenglamaning yechimi
\[\begin{align*} \begin{aligned}3x + 8 & = 2\\ 3x & = - 6\\ x & = - 2\end{aligned} & {\hspace{0.75in}{\rm{OR}}\hspace{0.5in}} & \begin{aligned}3x + 8 & = - 2\\ 3x & = - 10\\ x & = - \frac{{10}}{3}\end{aligned}\end{align*}\]Shunday qilib, buning ikkita echimi bor edi. Bu deyarli har doim shunday bo'ladi. Bundan tashqari, bu echimlar salbiy ekanligidan hayajonlanmang. Bu muammo emas. Biz manfiy raqamlarni mutlaq qiymat tenglamasiga qo'shishimiz mumkin (bu javoblar bilan nima qilamiz), biz shunchaki mutlaq qiymatdan manfiy raqamlarni chiqara olmaymiz (biz buni qilmaymiz, bu holda biz mutlaq qiymatdan 2 ni olamiz).
- \(\left| {2x - 4} \right| = 10\)
Yechim
Bu avvalgi muammo bilan bir xil ishlaydi.
\[\begin{align*}\begin{aligned}2x - 4 & = 10\\ 2x & = 14\\ x & = 7\end{aligned} & \hspace{0.75in}{\rm{OR}}\hspace{0.5in} & \begin{aligned}2x - 4 & = - 10\\ 2x & = - 6\\ x & = - 3\end{aligned}\end{align*}\]Mutlaq qiymatli tenglamalar va tengsizliklarni yechishda quyidagi juda keng tarqalgan xatoga yo'l qo'ymang.
\[\begin{align*}\left| {2x - 4} \right| \ne 2x + 4 & = 10\\ 2x & = 6\\ x & = 3\end{align*}\]Xatoni tushundingizmi? Mutlaq qiymatlar satrini tashlab, men har bir "-" ni "+" ga o'zgartirdim va biz bilamizki, bu shunday ishlamaydi! Buni qilish orqali biz bitta javob olamiz va u ham noto'g'ri. Bu noto'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun uni asl tenglamaga ulang.
\[\left| {2\left( 3 \right) - 4} \right| = \left| {6 - 4} \right| = \left| 2 \right| = 2 \ne 10\]Mutlaq qiymat tenglamalari va tengsizliklarni yechishni birinchi marta o'rganganida, odamlar shunchaki barcha minus belgilarini ortiqcha belgilarga o'zgartiradilar va hal qiladilar. Bu shunchaki noto'g'ri va deyarli hech qachon to'g'ri javobni olmaydi. Mutlaq qiymat tenglamalarini echish usuli men bu erda ko'rsatgan usuldir.
- \(\left| {x + 1} \right| = - 15\)
Yechim
Bu savol mutlaq qiymatlarni tushunishingizga ishonch hosil qilish uchun yaratilgan. Bu holda biz \(x\) qiymatlaridan keyin bo'lamiz, shuning uchun ularni \(\left| {x + 1} \right|\) ga ulaganimizda -15 ni olamiz. Biroq, bu muammo. Esda tutingki, mutlaq qiymat DOIMO musbat sonni qaytaradi! Boshqacha qilib aytganda, biz bu mutlaq qiymatdan -15 ni olishimiz mumkin emas. Shuning uchun bu tenglamaning yechimlari yo'q.
- \(\left| {7x - 10} \right| \le 4\)
Yechim
Mutlaq qiymat tengsizliklarini < yoki \( \le \) bilan yechish ularda biz foydalanamiz
\[\begin{align*}\left| p \right| < d\,\,\,\,\hspace{0.25in}\,\,\,\, & \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\, - d < p < d\\ \left| p \right| \le d\,\,\,\,\hspace{0.25in}\,\,\,\, & \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\, - d \le p \le d\end{align*}\]Mutlaq qiymat tenglamalarida bo'lgani kabi, biz d ning noldan katta yoki teng bo'lishini talab qilamiz.
Bu holatda yechim shundan iborat
\[\begin{array}{c} - 4 \le 7x - 10 \le 4\\ 6 \le 7x \le 14\\ \frac{6}{7} \le x \le 2\end{array}\]Bularni yechishda tengsizlikning Ikkala tomoniga 10 ni qo‘shishni va Ikkala tomonni 7 ga bo‘lishni unutmang. Bu yerda keng tarqalgan xatolardan biri shunchaki bir tomonni qo‘shish yoki bo‘lishdir.
- \(\left| {1 - 2x} \right| < 7\)
Yechim
Bu bitta kichik farq bilan oldingi muammo bilan bir xil.
\[\begin{array}{c} - 7 < 1 - 2x < 7\\ - 8 < - 2x < 6\\ 4 > x > - 3\end{array}\]Tengsizlikni manfiy raqamga ko'paytirish yoki bo'lishda (bu holda -2) tengsizlikning yo'nalishini burish kerakligini unutmang.
- \(\left| {x - 9} \right| \le - 1\)
Yechim
Bu muammo sizga tengsizlikning boshqa tomonidagi manfiy sonlar bilan qanday kurashishni ko'rsatish uchun mo'ljallangan. Shunday qilib, biz \(x\)-ni qidirmoqdamiz, bu bizga (albatta mutlaq qiymatni olgandan keyin) -1 dan kichik bo'lgan raqamni beradi, lekin 3-muammoda bo'lgani kabi Bu shunchaki mumkin emas, chunki mutlaq qiymat har doim ijobiy sonni yoki nolni qaytaradi, ularning hech biri hech qachon manfiy raqamdan kam bo'lmaydi. Demak, bu tengsizlikning yechimi yo'q.
- \(\left| {4x + 5} \right| > 3\)
Yechim
> va \( \ge \) ishtirokidagi mutlaq qiymat tengsizliklari quyidagicha hal qilinadi.
\[\begin{align*}\left| p \right| > d\,\,\,\,\hspace{0.25in}\,\,\,\, & \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,p < - d\hspace{0.25in}{\rm{or}}\hspace{0.25in}p > d\\ \left| p \right| \ge d\,\,\,\,\hspace{0.25in}\,\,\,\, & \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,p \le - d\hspace{0.25in}{\rm{or}}\hspace{0.25in}p \ge d\end{align*}\]E'tibor bering, siz yechimda ikkita alohida tengsizlikni olasiz. Bu shunday bo'lishi kerak. Bularni bitta tengsizlikka birlashtira olmaysiz. Ushbu muammoni hal qilgandan so'ng, men sizga nima uchun ekanligini ko'rsataman.
Mana bu yechim
\[\begin{align*}\begin{aligned}4x + 5 & < - 3\\ 4x & < - 8\\ x & < - 2\end{aligned} & \hspace{0.75in}{\rm{OR}}\hspace{0.5in} & \begin{aligned}4x + 5 & > 3\\ 4x & > - 2\\ x & > - \frac{1}{2}\end{aligned}\end{align*}\]Shunday qilib, bu tengsizlikning yechimi \( - \frac{1}{2}\) dan -2 dan kichik yoki katta bo'lgan \(x\) bo'ladi.
Endi, yuqorida aytib o'tganimdek, siz yechimni quyidagi qo'shaloq tengsizlik sifatida yoza olmaysiz.
\[ - 2 > x > - \frac{1}{2}\]Ikki tomonlama tengsizlikni yozganingizda (bu erda bizda bo'lgani kabi) siz \(x\) tengsizlikning ikkala qismini bir vaqtning o'zida qondiradigan raqam bo'lishini aytasiz. Boshqacha qilib aytganda, buni yozishda men \(x\) -2 dan kichik va BU AYM VAQTDA \( - \frac{1}{2}\) dan kattaroq son ekanligini aytmoqchiman. Men bu haqiqat bo'lgan hech qanday raqamni bilmayman. Demak, bu shunchaki noto'g'ri. Buni qilmang. Biroq, bu tengsizlikni hal qilishda o'quvchilar yo'l qo'yadigan JUDA keng tarqalgan xatodir.
- \(\left| {4 - 11x} \right| \ge 9\)
Yechim
Bu yechim uchun ko'p emas. Faqat -11 ga bo'lishda ehtiyot bo'ling.
\[\begin{align*}\begin{aligned}4 - 11x & \le - 9\\ - 11x & \le - 13\\ x & \ge \frac{{13}}{{11}}\end{aligned} & \hspace{0.75in}{\rm{OR}}\hspace{0.5in} & \begin{aligned}4 - 11x & \ge 9\\ - 11x & \ge 5\\ x & \le - \frac{5}{{11}}\end{aligned}\end{align*}\] - \(\left| {10x + 1} \right| > - 4\)
Yechim
Bu 3 va 6-masalalar qatoridagi yana bir muammo. Biroq, bu safargi javob juda boshqacha. Bu holda biz \(x\)-ni qidirmoqdamiz, bu mutlaq qiymatni ulaganimizda -4 dan katta javobni qaytarib olamiz, ammo mutlaq qiymat faqat ijobiy raqamlarni yoki nolni qaytarganligi sababli, natija DOIMA har qanday salbiy sondan katta bo'ladi. Shunday qilib, biz xohlagan \(x\)-ni ushbu mutlaq qiymatga ulab, -4 dan katta raqamni olishimiz mumkin. Demak, bu tengsizlikning yechimi barcha haqiqiy sonlardir.