17.6-bo'lim: Divergensiya teoremasi
Ushbu bo'limda biz sirt integrallarini uch karrali integrallar bilan bog'laymiz. Buni Divergensiya teoremasi yordamida qilamiz.
Divergentsiya teoremasi
\(E\) oddiy qattiq mintaqa, \(S\) esa \(E\) ning musbat orientatsiyaga ega chegara yuzasi bo‘lsin. Komponentlari uzluksiz birinchi tartibli qisman hosilalarga ega bo'lgan vektor maydoni \(\vec F\) bo'lsin. Keyin,
\[\iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot d\vec S}} = \iiint\limits_{E}{{{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec F\,dV}}\]Keling, ushbu teoremadan qanday foydalanishni misol qilib ko'rib chiqaylik.
Yechim
Keling, buni sirtning eskizi bilan boshlaylik.
Uch karrali integral uchun \(E\) mintaqasi bu sirtlar bilan o'ralgan mintaqadir. E'tibor bering, silindrsimon koordinatalar ushbu mintaqa uchun mukammal koordinatalar tizimi bo'ladi. Agar shunday qilsak, bu erda diapazonlar uchun cheklovlar mavjud.
\[\begin{array}{c}0 \le z \le 4 - 3{r^2}\\ 0 \le r \le 1\\ 0 \le \theta \le 2\pi \end{array}\]Bizga vektor maydonining divergentsiyasi ham kerak bo'ladi, shuning uchun uni olamiz.
\[{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec F = y - y + 1 = 1\]U holda integral,
\[\begin{align*}\iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot d\vec S}} & = \iiint\limits_{E}{{{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec F\,dV}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\int_{{\,0}}^{{4 - 3{r^2}}}{{r\,dz}}\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,1}}{{4r - 3{r^3}\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\left. {\left( {2{r^2} - \frac{3}{4}{r^4}} \right)} \right|_0^1\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\frac{5}{4}\,d\theta }}\\ & = \frac{5}{2}\pi \end{align*}\]