8.7-bo'lim: Furye qatorlarining yaqinlashishi (convergence of fourier series)
O'tgan bir nechta bo'limlarda biz Furye qatorlarini hisoblash bilan ko'p shug'ullandik, biroq qatorning yaqinlashishi masalasini chetlab o'tgan edik. Boshqacha aytganda, hisoblangan Furye qatori berilgan oraliqda aynan dastlabki funksiyaning o'ziga yaqinlashadimi?
Ushbu bo'limda biz aynan shu masalani hamda Furye qatorlarining uzluksizligi, hadma-had differensiallanishi va integrallanishi shartlarini batafsil ko'rib chiqamiz.
Yaqinlashish mavzusiga o'tishdan oldin, bizga kerak bo'ladigan bir nechta tayanch tushunchalarni aniqlab olamiz. Birinchidan, agar funksiyaning chapdan limiti \(f(a^-)\) va o'ngdan limiti \(f(a^+)\) mavjud bo'lib, ammo \(f(a^-) \ne f(a^+)\) bo'lsa, \(f(x)\) funksiya \(x = a\) nuqtada sakrash uzilishiga (jump discontinuity) ega deyiladi.
Ikkinchidan, agar funksiyani chekli sondagi bo'laklarga ajratish mumkin bo'lsa va har bir bo'lakda ham funksiyaning o'zi, ham uning hosilasi \(f'(x)\) uzluksiz bo'lsa, \(f(x)\) funksiya bo'lakli silliq (piecewise smooth) funksiya deyiladi. Bo'lakli silliq funksiya hamma joyda uzluksiz bo'lmasligi mumkin, biroq unda faqat chekli sondagi sakrash uzilishlariga ruxsat beriladi.
Keling, quyidagi funksiyani ko'rib chiqaylik:
\[f(x) = \begin{cases} L & \text{agar } -L \le x \le 0 \\ 2x & \text{agar } 0 \le x \le L \end{cases}\]Biz ushbu funksiyaning Furye qatorini oldingi bo'limdagi 2-misolda topgan edik. Quyida uning \([-L, L]\) oralig'idagi grafigi keltirilgan:
Ushbu funksiya \(x = 0\) nuqtada sakrash uzilishiga ega, chunki \(f(0^-) = L \ne 0 = f(0^+)\). \([-L, 0]\) va \([0, L]\) oraliqlarning har birida esa funksiya va uning hosilasi uzluksizdir. Demak, bu funksiya bo'lakli silliq funksiyaga misol bo'ladi.
Biz bilishimiz kerak bo'lgan uchinchi muhim tushuncha — funksiyaning davriy davomi (periodic extension)dir. \([-L, L]\) oralig'ida aniqlangan \(f(x)\) funksiyasining davriy davomi deb, ushbu oraliqdagi grafikni o'ngga va chapga \(2L\) qadam bilan cheksiz takrorlash orqali hosil qilingan yangi davriy funksiyaga aytiladi.
Endi Furye qatorlarining yaqinlashishi haqidagi asosiy teoremani keltiramiz.
Furye qatorlarining yaqinlashishi haqidagi Dirixle teoremasi
Faraz qilaylik, \(f(x)\) funksiyasi \([-L, L]\) oralig'ida bo'lakli silliq bo'lsin. U holda uning Furye qatori:
- Davriy davom uzluksiz bo'lgan har qanday nuqtada aynan \(f(x)\) funksiyasining davriy davomiga (va demak, oraliq ichida funksiyaning o'ziga) yaqinlashadi.
- Davriy davom \(x = a\) nuqtada sakrash uzilishiga ega bo'lsa, qator o'sha nuqtadagi chap va o'ng limitlarning o'rta arifmetigiga yaqinlashadi: \[\frac{1}{2}\left[ f(a^-) + f(a^+) \right]\]
Ushbu teorema shuni anglatadiki: funksiya uzluksiz bo'lgan barcha ichki nuqtalarda Furye qatori to'g'ridan-to'g'ri funksiyaning qiymatiga teng bo'ladi! Faqatgina sakrash uzilishlari bo'lgan nuqtalarda va oraliqning chekkalarida qator sakrash o'rtasidagi qiymatni qabul qiladi.
Xususan, yuqoridagi misolda \(x = 0\) sakrash nuqtasida Furye qatorining yig'indisi:
\[\frac{1}{2}\left[ f(0^-) + f(0^+) \right] = \frac{1}{2}\left[ L + 0 \right] = \frac{L}{2}\]Oraliqning chekka nuqtalari \(x = -L\) va \(x = L\) da esa:
\[\frac{1}{2}\left[ f(-L^-) + f(-L^+) \right] = \frac{1}{2}\left[ 2L + L \right] = \frac{3L}{2}\]Furye qatorining uzluksizligi sharti
Agar \(f(x)\) funksiyasi \([-L, L]\) oralig'ida bo'lakli silliq va uzluksiz bo'lib, uning oraliq chekkalaridagi qiymatlari teng bo'lsa, ya'ni \(f(-L) = f(L)\), u holda uning Furye qatori butun sonlar o'qida uzluksiz bo'ladi va \([-L, L]\) oralig'ida aynan \(f(x)\) ga yaqinlashadi.
Furye qatorini hadma-had differensiallash
Agar \(f(x)\) uzluksiz, uning hosilasi \(f'(x)\) bo'lakli silliq va \(f(-L) = f(L)\) bo'lsa, u holda Furye qatorini hadma-had differensiallash mumkin va hosil bo'lgan qator hosila \(f'(x)\) ning Furye qatoriga teng bo'ladi.
Furye qatorini hadma-had integrallash
Agar \(f(x)\) bo'lakli silliq bo'lsa, uning Furye qatorini oraliqda doimo hadma-had integrallash mumkin va natijada hosil bo'lgan qator funksiya integraliga yaqinlashadi.