2.6-bo'lim: Yaroqlilik oraliqlari
Biz ushbu bo'limni Validite Intervals deb nomladik, chunki barcha misollar ularni o'z ichiga oladi. Biroq, bu bo'limda ko'proq narsa bor. Differensial tenglamani qachon yechishimiz mumkinligini aytadigan bir nechta teoremalarni ko'ramiz. Shuningdek, chiziqli va chiziqli bo'lmagan differensial tenglamalar o'rtasidagi ba'zi farqlarni ko'ramiz.
Avval chiziqli birinchi tartibli differensial tenglamalar haqidagi teoremani ko'rib chiqamiz. Bu juda muhim teorema, lekin biz uni eng muhim jihati uchun ishlatmaymiz.
Chiziqli, 1\(^{st}\) tartibli tenglamalar yechimlarining o‘ziga xosligi
Quyidagi IVPni ko'rib chiqing.
\[y' + p\left( t \right)y = g\left( t \right)\hspace{0.25in}y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}\]Agar \(p(t)\) va \(g(t)\) \(\alpha < t < \beta \) ochiq oraliqda uzluksiz funksiyalar bo‘lsa va intervalda \(t_{o}\) bo‘lsa, bu oraliqda IVP uchun yagona yechim mavjud.
Xo'sh, bu teorema bizga nimani aytadi? Birinchidan, bu bizga etarlicha chiroyli chiziqli birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun echimlar mavjudligi kafolatlanganligini va eng muhimi, yechim noyob bo'lishini aytadi. Biz yechim topa olmasligimiz mumkin, lekin u borligini va ulardan faqat bittasi bo'lishini bilamiz. Bu teoremaning juda muhim jihati. Differensial tenglamaning yagona yechimga ega ekanligini bilish, ba'zida yechimning o'ziga ega bo'lishdan ko'ra muhimroqdir!
Keyinchalik, agar teoremadagi interval \(p(t)\) va \(g(t)\) uzluksiz bo'lishi mumkin bo'lgan eng katta interval bo'lsa, interval yechim uchun haqiqiylik oralig'idir. Bu shuni anglatadiki, chiziqli birinchi tartibli differentsial tenglamalar uchun haqiqiylik oralig'ini topish uchun biz differensial tenglamani echishimiz shart emas. E'tibor bering, amal qilish muddati faqat qisman dastlabki holatga bog'liq bo'ladi. Intervalda \(t_{o}\) bo'lishi kerak, lekin \(y_{o}\) qiymati amal qilish oralig'iga ta'sir qilmaydi.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Birinchidan, teoremadan foydalanib, amal qilish oralig'ini topish uchun biz differentsial tenglamani teoremada berilgan to'g'ri shaklda yozishimiz kerak. Shunday qilib, biz hosila koeffitsientiga bo'linishimiz kerak.
\[y' + \frac{2}{{{t^2} - 9}}y = \frac{{\ln \left| {20 - 4t} \right|}}{{{t^2} - 9}}\]Keyinchalik, ikkita funktsiya uzluksiz bo'lmagan joyni aniqlashimiz kerak. Bu bizga differentsial tenglama uchun barcha mumkin bo'lgan amal qilish intervallarini topish imkonini beradi. Shunday qilib, \(p(t)\) \(t = \pm \,3\) da uzluksiz bo'ladi, chunki bu nuqtalar nolga bo'linishni beradi. Xuddi shunday, \(g(t)\) \(t = \pm \,3\) va \(t = 5\) da uzluksiz bo'ladi, chunki bu nuqtada biz nolga teng natural logarifmaga ega bo'lamiz. E'tibor bering, bu holda biz mutlaq qiymatlar tufayli salbiy sonlarning tabiiy jurnali haqida tashvishlanishimiz shart emas.
Endi ushbu nuqtalar yordamida biz haqiqiy son chizig'ini \(p(t)\) va \(g(t)\) uzluksiz bo'ladigan to'rtta oraliqga ajratishimiz mumkin. Bu to'rtta interval,
\[ - \infty < t < - 3\hspace{0.25in} - 3 < t < 3\hspace{0.25in}3 < t < 5\hspace{0.25in}5 < t < \infty \]Har bir oraliqning oxirgi nuqtalari ikkita funktsiyadan kamida bittasi uzluksiz bo'lgan nuqtalardir. Bu ikkala funktsiyaning har bir intervalda hamma joyda uzluksiz bo'lishini kafolatlaydi.
Va nihoyat, boshlang'ich qiymat muammosi uchun haqiqiy amal qilish oralig'ini aniqlaymiz. Haqiqiy amal qilish oralig'i \(t_{o} = 4\) ni o'z ichiga olgan intervaldir. Shunday qilib, boshlang'ich qiymat muammosi uchun amal qilish oralig'i.
\[3 < t < 5\]Ushbu oxirgi misolda biz ehtiyot bo'lishimiz kerak, qolgan uchta interval haqiqiylik intervallari bo'lishi mumkin emas degan xulosaga shoshilmaslik kerak. Dastlabki shartni, xususan, \(t_{o}\) qiymatini o'zgartirib, biz to'rtta intervaldan istalgan birini amal qilish oralig'i qilishimiz mumkin.
Birinchi teorema chiziqli differentsial tenglamani talab qildi. Xuddi shunday teorema chiziqli bo'lmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun ham mavjud. Bu teorema birinchi teorema kabi haqiqiylik intervallarini topish uchun unchalik foydali emas, shuning uchun biz u bilan unchalik ko'p ish qilmaymiz.
Mana bu teorema.
1\(^{st}\) tartib tenglamalari yechimlarining o‘ziga xosligi
Quyidagi IVPni ko'rib chiqing.
\[y' = f\left( {t,y} \right)\hspace{0.25in}y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}\]Agar \(f(t,y)\) va \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\) ba'zi \(\alpha < t < \beta \), \(\gamma < y < \delta \) nuqtani o'z ichiga olgan to'rtburchaklar uzluksiz funksiyalar bo'lsa (\(t_{o}\, y_{o})\), \(\alpha < t < \beta \) tarkibidagi \(t_{o}– h < t < t_{o} + h\) oraliqlarida IVP uchun yagona yechim mavjud.
Hammasi shu. Birinchi teoremadan farqli o'laroq, bu teoremani haqiqiylik oralig'ini topish uchun ishlatib bo'lmaydi. Demak, biz teorema shartlari bajarilsa, yagona yechim mavjudligini bilib olamiz, lekin uning amal qilish oralig'ini aniqlash uchun bizga haqiqatda yechim kerak bo'ladi. Shuni ham yodda tutingki, chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalar uchun \(y_{0}\) qiymati amal qilish oralig'iga ta'sir qilishi mumkin.
Bu teorema shartlari bajarilmaganda paydo bo'lishi mumkin bo'lgan muammolarga misol.
Yechim
Birinchidan, bu differensial tenglama teorema shartlarini qoniqtirmasligiga e'tibor bering.
\[f\left( y \right) = {y^{\frac{1}{3}}}\hspace{0.25in}\frac{{df}}{{dy}} = \frac{1}{{3{y^{\frac{2}{3}}}}}\]Demak, funktsiya har qanday oraliqda uzluksiz, lekin hosila \(y = 0\) da uzluksiz emas va shuning uchun \(y = 0\) ni o'z ichiga olgan har qanday intervalda uzluksiz bo'lmaydi. Teoremadan foydalanish uchun ikkalasi ham \(y_{o} = 0\) ni o'z ichiga olgan intervalda uzluksiz bo'lishi kerak va bu biz uchun muammo, chunki bizda \(y_{o} = 0\) mavjud.
Endi muammoni aslida hal qilaylik. Bu differensial tenglamani ajratish mumkin va uni yechish juda oddiy.
\[\begin{align*}\int{{{y^{ - \frac{1}{3}}}dy}} & = \int{{dt}}\\ \frac{3}{2}{y^{\frac{2}{3}}} & = t + c\end{align*}\]Dastlabki shartni qo'llash \(c = 0\) ni beradi va shuning uchun yechim.
\[\begin{align*}\frac{3}{2}{y^{\frac{2}{3}}} & = t\\ {y^{\frac{2}{3}}} & = \frac{2}{3}t\\ {y^2} & = {\left( {\frac{2}{3}t} \right)^3}\\ y\left( t \right) & = \pm {\left( {\frac{2}{3}t} \right)^{\frac{3}{2}}}\end{align*}\]Shunday qilib, bizda ikkita mumkin bo'lgan echim bor, ularning ikkalasi ham differentsial tenglama va boshlang'ich shartni qondiradi. IVP uchun uchinchi yechim ham mavjud. \(y(t) = 0\) ham differensial tenglamaning yechimi bo‘lib, boshlang‘ich shartni qanoatlantiradi.
Ushbu oxirgi misolda bizda juda oddiy IVP bor edi va u teorema shartlaridan faqat bittasini buzdi, lekin uning uchta turli yechimi bor edi. Oldingilarda biz ishlagan barcha misollar ushbu teorema shartlarini qondirdi va IVP uchun yagona yagona yechimga ega edi. Bu misol, differensial tenglamalar sohasida narsalar har doim ham yaxshi harakat qilmasligini foydali eslatib turadi. Buni unutish oson, chunki differensial tenglamalar sinfida ishlangan muammolarning aksariyati yaxshi va o'zini yaxshi, oldindan aytib bo'ladigan tarzda tutadi.
Keling, chiziqli va chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalar o'rtasidagi farqlardan birini ko'rsatadigan yakuniy misolni ishlab chiqaylik.
Yechim
Bu masalani davom ettirishdan oldin shuni ta'kidlashimiz kerakki, differentsial tenglama chiziqli bo'lmagan va 2-teoremaning ikkala shartiga javob beradi va shuning uchun \(y_{o}\) ning har bir mumkin bo'lgan qiymati uchun IVP uchun yagona yechim bo'ladi.
Shuni ham yodda tutingki, muammo amal qilish oralig'ining \(y_{o}\) qiymatiga bog'liqligini talab qiladi. Bu chiziqli va chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalar o'rtasidagi farqni darhol ko'rsatadi. Chiziqli differentsial tenglamalar uchun amal qilish intervallari \(y_{o}\) qiymatiga bog'liq emas. Chiziqli bo'lmagan differentsial uchun haqiqiylik intervallari ikkinchi teoremadan keyin ta'kidlaganimizdek, \(y_{o}\) qiymatiga bog'liq bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, keling, IVP ni hal qilaylik va bir necha amal qilish oraliqlarini olamiz.
Birinchidan, agar \(y_{o} = 0\), \(y(t) = 0\) yechim ekanligini va buning amal qilish muddati oralig'iga ega ekanligini unutmang.
\[ - \infty < t < \infty \]Shunday qilib, muammoning qolgan qismi uchun \({y_0} \ne 0\) deb faraz qilaylik. Endi, differensial tenglamani ajratish mumkin, shuning uchun uni yechib, umumiy yechimni olamiz.
\[\begin{align*}\int{{{y^{ - 2}}dy}} & = \int{{dt}}\\ - \frac{1}{y} & = t + c\end{align*}\]Dastlabki shartni qo'llash beradi
\[c = - \frac{1}{{{y_0}}}\]Yechim shundan keyin.
\[\begin{align*} - \frac{1}{y} & = t - \frac{1}{{{y_0}}}\\ y\left( t \right) & = \frac{1}{{\frac{1}{{{y_0}}} - t}}\\ y\left( t \right) & = \frac{{{y_0}}}{{1 - {y_0}t}}\end{align*}\]Endi bizda boshlang'ich qiymat muammosining yechimi bor, biz haqiqiylik intervallarini topishni boshlashimiz mumkin. Yechimdan ko'rishimiz mumkinki, bizda yagona muammo bu nolga bo'linishdir
\[t = \frac{1}{{{y_0}}}\]Bu ikki mumkin bo'lgan amal qilish oralig'iga olib keladi.
\[\begin{align*} - \infty < & t < \frac{1}{{{y_0}}}\\ \frac{1}{{{y_0}}} < & t < \infty \end{align*}\]Bu haqiqiy amal qilish oralig'i \(t_{o} = 0\) ni o'z ichiga olgan interval bo'ladi. Biroq, bu \(y_{o}\) qiymatiga bog'liq. Agar \(y_{o} < 0 \) bo'lsa, \(\frac{1}{{{y_0}}} < 0\) va shunga o'xshash ikkinchi intervalda \(t_{o} = 0\) bo'ladi. Xuddi shunday, agar \(y_{o} > 0\), keyin \(\frac{1}{{{y_0}}} > 0\) va bu holda birinchi intervalda \(t_{o} = 0\) bo'ladi.
Bu \(y_{o}\) qiymatiga qarab quyidagi mumkin bo'lgan amal qilish oraliqlariga olib keladi.
\[\begin{align*}& {\mbox{If }}{y_0} > 0 & \hspace{0.25in} & - \infty < t < \frac{1}{{{y_0}}}{\mbox{ is the interval of validity}}{\mbox{.}}\\ & {\mbox{If }}{y_0} = 0 & \hspace{0.25in} & - \infty < t < \infty {\mbox{ is the interval of validity}}{\mbox{.}}\\ & {\mbox{If }}{y_0} < 0 & \hspace{0.25in} & \frac{1}{{{y_0}}} < t < \infty \,{\mbox{ is the interval of validity}}{\mbox{.}}\end{align*}\]Yon eslatmada, yechim o'zining yakuniy ko'rinishida \(y_{o} = 0\) da ishlaydi.
Xo'sh, bu misol bizga chiziqli va chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalar o'rtasidagi farq haqida nimani ko'rsatdi?
Birinchidan, misol yechimida ta'kidlanganidek, chiziqli bo'lmagan differensial tenglamalar uchun amal qilish intervallari \(y_{o}\) qiymatiga bog'liq bo'lishi mumkin, chiziqli differensial tenglamalar uchun amal qilish intervallari esa bunga bog'liq emas.
Ikkinchidan, chiziqli differensial tenglamalar uchun amal qilish oraliqlarini differensial tenglamadan topish mumkin, bu yechim haqida hech qanday ma'lumotga ega bo'lmagan. Bu, albatta, chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalar bilan bog'liq emas. Oxirgi misoldagi bu oraliqlarning har qandayini differentsial tenglamadan qanday topish mumkinligini ko'rish juda qiyin bo'lar edi. Yaroqlilik oralig'ini topishimiz uchun yechimni bilish kerak edi.