Calculus III
Bu erda Calculus III yozuvlari uchun amaliy masalalar to'plami. "ni bosingYechim" yechimni o'z ichiga olgan sahifaga o'tish uchun har bir muammo uchun havola.
E'tibor bering, ba'zi bo'limlarda boshqalarga qaraganda ko'proq muammolar bo'ladi, ba'zilarida esa ko'proq yoki kamroq turli xil muammolar mavjud. Ko'pgina bo'limlar muammolarda bir qator qiyinchilik darajalariga ega bo'lishi kerak, ammo bu bo'limdan bo'limga farq qiladi.
Bu erda amaliyot muammolari yozilgan bo'limlar ro'yxati, shuningdek, ushbu bo'lim uchun eslatmalarda yoritilgan materiallarning qisqacha tavsifi keltirilgan.
3 o'lchovli fazo - Ushbu bobda biz uch o'lchovli fazoni ko'rib chiqishni boshlaymiz. Ushbu bob odatda Calculus III ga tayyorgarlik ishidir va shuning uchun biz standart 3D koordinatalar tizimini hamda bir nechta muqobil koordinata tizimlarini ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz uch o'lchovli fazoda chiziqlar va tekisliklar tenglamalarini qanday topishni muhokama qilamiz. Biz ba'zi standart 3D sirtlarni va ularning tenglamalarini ko'rib chiqamiz. Bundan tashqari vektor funktsiyalari va ularning ba'zi ilovalari (tangens va normal vektorlar, yoy uzunligi, egrilik va tezlik va tezlanish) bilan tanishamiz.3D koordinata tizimi - Ushbu bo'limda biz standart uch o'lchovli koordinatalar tizimini, shuningdek, uch o'lchovda ishlash uchun zarur bo'lgan ba'zi umumiy belgilar va tushunchalarni taqdim etamiz.
Chiziqlar tenglamalari – Ushbu bo'limda biz uch o'lchovli fazodagi chiziqlar tenglamasining vektor shakli va parametrik shaklini olamiz. Shuningdek, biz uch o'lchovli fazodagi chiziqlarning simmetrik tenglamalarini beramiz. Shuni ham yodda tutingki, bu shakllar ikki o'lchovli fazodagi chiziqlar uchun ham foydali bo'lishi mumkin.
Tekislik tenglamalari – Ushbu bo'limda biz tekislikning vektor va skalyar tenglamasini chiqaramiz. Shuningdek, tekislikda yotgan uchta nuqtadan tekislik tenglamasini yozishni ko'rsatamiz.
Kvadrat yuzalar - Ushbu bo'limda biz kvadrat yuzalarning ba'zi misollarini ko'rib chiqamiz. Kvadrat yuzalarga konuslar, silindrlar, ellipsoidlar va elliptik paraboloidlar misol bo'la oladi.
Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari haqidagi ba'zi muhim mavzularni qisqacha ko'rib chiqamiz. Xususan, biz bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining sohasini, shuningdek, daraja egri chizig'ini, tekis sirtlarni va izlarni topishni muhokama qilamiz.
Vektor funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz uch o'lchovli fazodagi egri chiziqlarga e'tibor qaratuvchi vektor funktsiyalari tushunchasini kiritamiz. Biroq, biz sirtlarga ham qisqacha tegamiz. Biz vektor funksiyaning sohasini qanday topishni va vektor funksiyaning grafigini qanday ko'rsatishni ko'rsatamiz. Shuningdek, biz vektor funktsiyalari va parametrik tenglamalar o'rtasidagi oddiy munosabatni ko'rsatamiz, bu ba'zida juda foydali bo'ladi.
Vektor funktsiyalari bilan hisoblash - Ushbu bo'limda biz vektor funktsiyalari bilan asosiy hisob-kitoblarni, ya'ni limitlar, hosilalar va integrallarni qanday qilish kerakligini muhokama qilamiz.
Tangens, normal va binormal vektorlar - Ushbu bo'limda biz tangens, normal va binormal vektorlarni aniqlaymiz.
Vektor funksiyalari bilan yoy uzunligi - Ushbu bo'limda biz materialning boshida qo'llagan yoy uzunligi formulasini vektor funktsiyasining yoy uzunligini topish uchun kengaytiramiz. Ko'rib turganimizdek, yangi formula haqiqatan ham biz ko'rgan formulaning deyarli tabiiy kengaytmasidir.
Egrilik – Ushbu bo'limda vektor funksiyaning egriligini (ya'nifunktsiya berilgan nuqtada qanchalik tez o'zgarishini) hisoblash uchun ikkita formulani beramiz.
Tezlik va tezlanish - Ushbu bo'limda biz lotinlarning standart qo'llanilishini, joylashuv funktsiyasi vektor funktsiyasi bilan berilgan ob'ektning tezligi va tezlanishini qayta ko'rib chiqamiz. Tezlanish uchun biz normal tezlanish va tangensial tezlanish uchun formulalarni beramiz.
Silindrsimon koordinatalar - Ushbu bo'limda biz silindrsimon koordinatalar tizimini, uch o'lchovli koordinatalar tizimi uchun muqobil koordinatalar tizimini aniqlaymiz. Ko'rib turganimizdek, silindrsimon koordinatalar haqiqatan ham qutb koordinatalarining uch o'lchamli sozlamalarga juda tabiiy kengayishidan boshqa narsa emas.
Sferik koordinatalar - Ushbu bo'limda biz sferik koordinatalar tizimini, uch o'lchovli koordinatalar tizimi uchun yana bir muqobil koordinatalar tizimini aniqlaymiz. Ushbu koordinatalar tizimi sferik jismlar bilan ishlash uchun juda foydali. Biz silindrsimon koordinatalar va sferik koordinatalar, shuningdek, dekart va sferik koordinatalar o'rtasida konvertatsiya qilish uchun formulalarni olamiz (ikkisidan ko'ra foydaliroq).
Chiziqlar tenglamalari – Ushbu bo'limda biz uch o'lchovli fazodagi chiziqlar tenglamasining vektor shakli va parametrik shaklini olamiz. Shuningdek, biz uch o'lchovli fazodagi chiziqlarning simmetrik tenglamalarini beramiz. Shuni ham yodda tutingki, bu shakllar ikki o'lchovli fazodagi chiziqlar uchun ham foydali bo'lishi mumkin.
Tekislik tenglamalari – Ushbu bo'limda biz tekislikning vektor va skalyar tenglamasini chiqaramiz. Shuningdek, tekislikda yotgan uchta nuqtadan tekislik tenglamasini yozishni ko'rsatamiz.
Kvadrat yuzalar - Ushbu bo'limda biz kvadrat yuzalarning ba'zi misollarini ko'rib chiqamiz. Kvadrat yuzalarga konuslar, silindrlar, ellipsoidlar va elliptik paraboloidlar misol bo'la oladi.
Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari haqidagi ba'zi muhim mavzularni qisqacha ko'rib chiqamiz. Xususan, biz bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining sohasini, shuningdek, daraja egri chizig'ini, tekis sirtlarni va izlarni topishni muhokama qilamiz.
Vektor funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz uch o'lchovli fazodagi egri chiziqlarga e'tibor qaratuvchi vektor funktsiyalari tushunchasini kiritamiz. Biroq, biz sirtlarga ham qisqacha tegamiz. Biz vektor funksiyaning sohasini qanday topishni va vektor funksiyaning grafigini qanday ko'rsatishni ko'rsatamiz. Shuningdek, biz vektor funktsiyalari va parametrik tenglamalar o'rtasidagi oddiy munosabatni ko'rsatamiz, bu ba'zida juda foydali bo'ladi.
Vektor funktsiyalari bilan hisoblash - Ushbu bo'limda biz vektor funktsiyalari bilan asosiy hisob-kitoblarni, ya'ni limitlar, hosilalar va integrallarni qanday qilish kerakligini muhokama qilamiz.
Tangens, normal va binormal vektorlar - Ushbu bo'limda biz tangens, normal va binormal vektorlarni aniqlaymiz.
Vektor funksiyalari bilan yoy uzunligi - Ushbu bo'limda biz materialning boshida qo'llagan yoy uzunligi formulasini vektor funktsiyasining yoy uzunligini topish uchun kengaytiramiz. Ko'rib turganimizdek, yangi formula haqiqatan ham biz ko'rgan formulaning deyarli tabiiy kengaytmasidir.
Egrilik – Ushbu bo'limda vektor funksiyaning egriligini (ya'nifunktsiya berilgan nuqtada qanchalik tez o'zgarishini) hisoblash uchun ikkita formulani beramiz.
Tezlik va tezlanish - Ushbu bo'limda biz lotinlarning standart qo'llanilishini, joylashuv funktsiyasi vektor funktsiyasi bilan berilgan ob'ektning tezligi va tezlanishini qayta ko'rib chiqamiz. Tezlanish uchun biz normal tezlanish va tangensial tezlanish uchun formulalarni beramiz.
Silindrsimon koordinatalar - Ushbu bo'limda biz silindrsimon koordinatalar tizimini, uch o'lchovli koordinatalar tizimi uchun muqobil koordinatalar tizimini aniqlaymiz. Ko'rib turganimizdek, silindrsimon koordinatalar haqiqatan ham qutb koordinatalarining uch o'lchamli sozlamalarga juda tabiiy kengayishidan boshqa narsa emas.
Sferik koordinatalar - Ushbu bo'limda biz sferik koordinatalar tizimini, uch o'lchovli koordinatalar tizimi uchun yana bir muqobil koordinatalar tizimini aniqlaymiz. Ushbu koordinatalar tizimi sferik jismlar bilan ishlash uchun juda foydali. Biz silindrsimon koordinatalar va sferik koordinatalar, shuningdek, dekart va sferik koordinatalar o'rtasida konvertatsiya qilish uchun formulalarni olamiz (ikkisidan ko'ra foydaliroq).
Qisman hosilalar - Ushbu bobda biz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari chegaralarini qisqacha ko'rib chiqamiz va keyin bir nechta o'zgaruvchining funktsiyalarining hosilalariga o'tamiz. Ko'rib chiqamizki, biz bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan funktsiyalarning hosilalarini qila olamizmi, bir nechta o'zgaruvchili funktsiyalarning hosilalarini qilish unchalik qiyin emas (juda muhim noziklik bilan). Shuningdek, biz qisman hosilalar, yuqori tartibli qisman hosilalar va bir nechta o'zgaruvchining funktsiyalariga qo'llaniladigan zanjir qoidasini talqin qilishni muhokama qilamiz. Shuningdek, biz yo'nalishli hosilalarni aniqlaymiz va muhokama qilamiz.
Limitlar - Bo'limda biz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari chegaralarini baholashni tez ko'rib chiqamiz. Biz, shuningdek, ba'zi cheklovlar mavjud emasligini ko'rsatish uchun foydalanish mumkin bo'lgan juda tez usulni ko'rib chiqamiz.
Qisman hosilalar - Ushbu bo'limda biz qisman hosilalar g'oyasini ko'rib chiqamiz. Biz qisman hosilaning rasmiy ta'rifini, shuningdek, standart belgilarni va ularni amalda qanday hisoblashni (ya'ni, ta'rifdan foydalanmasdan) beramiz. Ko'rib turganingizdek, siz bitta o'zgaruvchining funktsiyalarining hosilalarini qila olasizmi, siz qisman hosilalar bilan muammoga duch kelmaysiz. Qisman lotinlarni hisoblashda doimo yodda tutish kerak bo'lgan faqat bitta (juda muhim) noziklik mavjud.
Qisman hosilalarning talqinlari - Bo'limda biz qisman hosilalarning bir nechta muhim talqinlarini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, har doim muhim, funktsiyaning o'zgarish tezligi. Garchi bizda funktsiya o'zgarishi mumkin bo'lgan bir nechta "yo'nalishlar" mavjud bo'lsa ham (I hisob-kitobdan farqli o'laroq). Shuningdek, qisman hosilalar funksiya izlariga teginish chiziqlarning qiyaligini berishini ham ko‘ramiz.
Yuqori tartibli qisman hosilalar - Bo'limda biz yuqori tartibli qisman hosilalarni ko'rib chiqamiz. Biroq, Calculus I dan farqli o'laroq, bizda bir nechta ikkinchi tartibli hosilalar, bir nechta uchinchi tartibli hosilalar va boshqalar bo'ladi, chunki biz hozir bir nechta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan ishlamoqdamiz. Yuqori tartibli hosilalarni topishda ba'zi ishlarda yordam berish uchun Kleraut teoremasini ham muhokama qilamiz.
Differensiallar - Ushbu bo'limda biz birinchi marta Hisob-kitob Ida ko'rgan differentsiallar g'oyasini bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalariga kengaytiramiz.
Zanjir qoidasi – Bo‘limda biz zanjir qoidasi g‘oyasini bir nechta o‘zgaruvchili funksiyalarga kengaytiramiz. Xususan, biz bu erda zanjir qoidasining bir nechta varianti mavjudligini ko'ramiz, barchasi bizning funktsiyamiz qancha o'zgaruvchilarga bog'liq ekanligiga va bu o'zgaruvchilarning har biri, o'z navbatida, turli o'zgaruvchilar nuqtai nazaridan qanday yozilishi mumkinligiga bog'liq. Shuningdek, biz bir nechta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan ishlashda duch kelishi mumkin bo'lgan deyarli har qanday vaziyat uchun zanjir qoidasini yozishning yaxshi usulini beramiz. Bundan tashqari, biz bilvosita differentsiatsiya qilishning juda tez usulini topamiz, shuning uchun biz Calculus I-da birinchi bo'lib qilgan jarayonni boshdan kechirishimiz shart emas.
Yo'nalishli hosilalar – Bo‘limda biz yo‘nalishli hosilalar tushunchasi bilan tanishamiz. Yo'nalishli hosilalar bilan, agar biz qisman hosilalar bilan bog'liq bo'lganidek, faqat bittadan boshqa barcha mustaqil o'zgaruvchilarni o'zgartirishga ruxsat bersak, funktsiya qanday o'zgarishini so'rashimiz mumkin. Bundan tashqari, biz ba'zi belgilarga yordam berish uchun gradient vektorini aniqlaymiz va bu erda ishlaymiz. Gradient vektori keyingi bo'limlarda ham juda foydali bo'ladi. Shuningdek, biz ma'lum bir funktsiya eng tez o'zgaruvchan yo'nalishni aniqlashga imkon beradigan yoqimli faktni keltiramiz.
Qisman hosilalar - Ushbu bo'limda biz qisman hosilalar g'oyasini ko'rib chiqamiz. Biz qisman hosilaning rasmiy ta'rifini, shuningdek, standart belgilarni va ularni amalda qanday hisoblashni (ya'ni, ta'rifdan foydalanmasdan) beramiz. Ko'rib turganingizdek, siz bitta o'zgaruvchining funktsiyalarining hosilalarini qila olasizmi, siz qisman hosilalar bilan muammoga duch kelmaysiz. Qisman lotinlarni hisoblashda doimo yodda tutish kerak bo'lgan faqat bitta (juda muhim) noziklik mavjud.
Qisman hosilalarning talqinlari - Bo'limda biz qisman hosilalarning bir nechta muhim talqinlarini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, har doim muhim, funktsiyaning o'zgarish tezligi. Garchi bizda funktsiya o'zgarishi mumkin bo'lgan bir nechta "yo'nalishlar" mavjud bo'lsa ham (I hisob-kitobdan farqli o'laroq). Shuningdek, qisman hosilalar funksiya izlariga teginish chiziqlarning qiyaligini berishini ham ko‘ramiz.
Yuqori tartibli qisman hosilalar - Bo'limda biz yuqori tartibli qisman hosilalarni ko'rib chiqamiz. Biroq, Calculus I dan farqli o'laroq, bizda bir nechta ikkinchi tartibli hosilalar, bir nechta uchinchi tartibli hosilalar va boshqalar bo'ladi, chunki biz hozir bir nechta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan ishlamoqdamiz. Yuqori tartibli hosilalarni topishda ba'zi ishlarda yordam berish uchun Kleraut teoremasini ham muhokama qilamiz.
Differensiallar - Ushbu bo'limda biz birinchi marta Hisob-kitob Ida ko'rgan differentsiallar g'oyasini bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalariga kengaytiramiz.
Zanjir qoidasi – Bo‘limda biz zanjir qoidasi g‘oyasini bir nechta o‘zgaruvchili funksiyalarga kengaytiramiz. Xususan, biz bu erda zanjir qoidasining bir nechta varianti mavjudligini ko'ramiz, barchasi bizning funktsiyamiz qancha o'zgaruvchilarga bog'liq ekanligiga va bu o'zgaruvchilarning har biri, o'z navbatida, turli o'zgaruvchilar nuqtai nazaridan qanday yozilishi mumkinligiga bog'liq. Shuningdek, biz bir nechta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan ishlashda duch kelishi mumkin bo'lgan deyarli har qanday vaziyat uchun zanjir qoidasini yozishning yaxshi usulini beramiz. Bundan tashqari, biz bilvosita differentsiatsiya qilishning juda tez usulini topamiz, shuning uchun biz Calculus I-da birinchi bo'lib qilgan jarayonni boshdan kechirishimiz shart emas.
Yo'nalishli hosilalar – Bo‘limda biz yo‘nalishli hosilalar tushunchasi bilan tanishamiz. Yo'nalishli hosilalar bilan, agar biz qisman hosilalar bilan bog'liq bo'lganidek, faqat bittadan boshqa barcha mustaqil o'zgaruvchilarni o'zgartirishga ruxsat bersak, funktsiya qanday o'zgarishini so'rashimiz mumkin. Bundan tashqari, biz ba'zi belgilarga yordam berish uchun gradient vektorini aniqlaymiz va bu erda ishlaymiz. Gradient vektori keyingi bo'limlarda ham juda foydali bo'ladi. Shuningdek, biz ma'lum bir funktsiya eng tez o'zgaruvchan yo'nalishni aniqlashga imkon beradigan yoqimli faktni keltiramiz.
Qisman hosilalarning qo'llanilishi - Ushbu bobda biz qisman hosilalarning bir nechta qo'llanilishini ko'rib chiqamiz. Biz yuzalarga teginish tekisliklarining tenglamasini topamiz va oldingi Hisob sinflaridan hosilalarning muhimroq qo'llanilishini qayta ko'rib chiqamiz. Biz ko'p o'zgaruvchilar funksiyalarining nisbiy va mutlaq ekstremallarini topishga katta vaqt sarflaymiz. Biz, shuningdek, bir yoki bir nechta cheklovlarga duchor bo'lgan funktsiyaning mutlaq ekstremalini topish uchun Lagrange ko'paytmalarini kiritamiz.
Tangens tekisliklar va chiziqli yaqinlashishlar - Ushbu bo'limda sirtga teginish tekisligi nima ekanligini va \(z=f(x,y)\ shaklida yozilishi mumkin bo'lgan yuzalarga teginish tekisliklarining tenglamalarini topish uchun qisman hosilalardan qanday foydalanishni rasmiy ravishda aniqlang). Shuningdek, biz qanday qilib tangens tekisliklarni ma'lum bir nuqtada sirtga chiziqli yaqinlashish sifatida qarash mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Gradient vektori, tangens tekisliklar va normal chiziqlar - Ushbu bo'limda gradient vektoridan oldingi bo'limga qaraganda ancha umumiy funktsiyaga teginish tekisliklarini topish uchun qanday foydalanish mumkinligini muhokama qiling. Shuningdek, biz normal chiziqni aniqlaymiz va gradient vektoridan normal chiziq tenglamasini topish uchun qanday foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz.
Nisbiy minimal va maksimallar - Ushbu bo'limda biz ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari uchun kritik nuqtalarni aniqlaymiz va ular nisbiy minimumlar, nisbiy maksimallar yoki egar nuqtalari (ya'ni, nisbiy minimal yoki nisbiy maksimal emas) ekanligini aniqlash usulini muhokama qilamiz.
Mutlaq minimal va maksimallar – Bu bo‘limda mustaqil o‘zgaruvchilarga faqat chegaralangan (ya’ni hududning hech bir qismi cheksizlikka chiqmaydigan) va yopiq (ya’ni chegaradagi barcha nuqtalar jarayonda foydalanish mumkin bo‘lgan haqiqiy nuqtalar) hududdan kelishiga ruxsat berilganda, ikkita o‘zgaruvchi funksiyasining mutlaq ekstremalini qanday topishni ko‘rib chiqamiz.
Lagranj multiplikatorlari - Ushbu bo'limda biz mustaqil o'zgaruvchilar bir yoki bir nechta cheklovlarga duchor bo'lgan ikki yoki uchta o'zgaruvchining funktsiyalarining mutlaq minimumlari va maksimallarini topish uchun Lagrange multiplikatorlari usulidan qanday foydalanishni ko'rib chiqamiz. Usul qanday/nima uchun ishlashini ham qisqacha asoslab beramiz.
Gradient vektori, tangens tekisliklar va normal chiziqlar - Ushbu bo'limda gradient vektoridan oldingi bo'limga qaraganda ancha umumiy funktsiyaga teginish tekisliklarini topish uchun qanday foydalanish mumkinligini muhokama qiling. Shuningdek, biz normal chiziqni aniqlaymiz va gradient vektoridan normal chiziq tenglamasini topish uchun qanday foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz.
Nisbiy minimal va maksimallar - Ushbu bo'limda biz ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari uchun kritik nuqtalarni aniqlaymiz va ular nisbiy minimumlar, nisbiy maksimallar yoki egar nuqtalari (ya'ni, nisbiy minimal yoki nisbiy maksimal emas) ekanligini aniqlash usulini muhokama qilamiz.
Mutlaq minimal va maksimallar – Bu bo‘limda mustaqil o‘zgaruvchilarga faqat chegaralangan (ya’ni hududning hech bir qismi cheksizlikka chiqmaydigan) va yopiq (ya’ni chegaradagi barcha nuqtalar jarayonda foydalanish mumkin bo‘lgan haqiqiy nuqtalar) hududdan kelishiga ruxsat berilganda, ikkita o‘zgaruvchi funksiyasining mutlaq ekstremalini qanday topishni ko‘rib chiqamiz.
Lagranj multiplikatorlari - Ushbu bo'limda biz mustaqil o'zgaruvchilar bir yoki bir nechta cheklovlarga duchor bo'lgan ikki yoki uchta o'zgaruvchining funktsiyalarining mutlaq minimumlari va maksimallarini topish uchun Lagrange multiplikatorlari usulidan qanday foydalanishni ko'rib chiqamiz. Usul qanday/nima uchun ishlashini ham qisqacha asoslab beramiz.
Ko'p integrallar - Ushbu bobda ikki karrali integrallar, ya'ni mustaqil o'zgaruvchilar ikki o'lchovli mintaqadan bo'lgan ikkita o'zgaruvchining integral funktsiyalari va uch o'zgaruvchining integral funktsiyalari ko'rib chiqiladi, ya'ni mustaqil o'zgaruvchilar uch o'lchovli mintaqalardan bo'lgan uchta o'zgaruvchining integral funktsiyalari. Bunga qutb koordinatalarida ikki karrali integrallar va silindrsimon va sferik koordinatalarda uch karrali integrallar kiradi va odatda ikki va uch integrallarda o'zgaruvchilarning o'zgarishi kiradi.
Ikki tomonlama integrallar - Ushbu bo'limda biz ikki karrali integralni rasmiy ravishda aniqlaymiz, shuningdek ikki karrali integralning tezkor talqinini beramiz.
Takroriy integrallar - Ushbu bo'limda biz Fubini teoremasidan integratsiya mintaqasi to'rtburchak bo'lgan ikki karrali integrallarni baholash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Umumiy mintaqalar ustidagi ikki tomonlama integrallar – Ushbu bo'limda biz umumiy mintaqalar, ya'ni to'rtburchaklar bo'lmagan ya'ni mintaqalar bo'yicha ikki karrali integrallarni baholashni boshlaymiz. Funktsiyaning ikki karrali integralini funktsiya tomonidan berilgan sirt va \(xy\) tekislik orasidagi qattiq jismning aniq hajmi sifatida qanday talqin qilish mumkinligini ko'rsatamiz.
Qutb koordinatalarida ikki karrali integrallar – Ushbu bo'limda biz kartezian koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dA\)) qutb koordinatalariga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Bunday hollarda integratsiya hududlari disklar yoki halqalarning hammasi yoki qismlari bo'ladi va shuning uchun biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini Polar koordinatalariga aylantirishimiz kerak.
Uch karrali integrallar - Ushbu bo'limda biz uchlik integralni aniqlaymiz. Shuningdek, biz integratsiyaning uch o'lchovli hududidan integratsiya chegaralarini belgilashning bir nechta misollarini ko'rsatamiz. Integratsiya chegaralarini olish ko'pincha bu muammolarning qiyin qismidir.
Silindrsimon koordinatalarda uch karrali integrallar – Ushbu bo'limda biz dekart koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dV\)) Silindr koordinatalariga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini silindrsimon koordinatalarga aylantiramiz.
Sferik koordinatalarda uch karrali integrallar – Ushbu bo'limda biz dekart koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dV\)) Sferik koordinatalarga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini Sferik koordinatalarga aylantiramiz.
O'zgaruvchilarning o'zgarishi - Oldingilarda biz Dekart koordinatalarini Polar, Silindrsimon va Sferik koordinatalarga aylantirdik. Ushbu bo'limda biz ushbu fikrni umumlashtiramiz va Dekart koordinatalarida integrallarni muqobil koordinatalar tizimiga qanday aylantirishimizni muhokama qilamiz. Sferik koordinatalarga aylantirilganda \(dV\) konversiya formulasining hosilasi kiritiladi.
Sirt maydoni - Ushbu bo'limda biz ikki o'lchovli fazoda mintaqa ustida joylashgan sirt qismining sirt maydonini aniqlash uchun ikki karrali integraldan qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Maydon va hajm qayta koʻrib chiqildi - Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Amaliy muammolar.
Takroriy integrallar - Ushbu bo'limda biz Fubini teoremasidan integratsiya mintaqasi to'rtburchak bo'lgan ikki karrali integrallarni baholash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Umumiy mintaqalar ustidagi ikki tomonlama integrallar – Ushbu bo'limda biz umumiy mintaqalar, ya'ni to'rtburchaklar bo'lmagan ya'ni mintaqalar bo'yicha ikki karrali integrallarni baholashni boshlaymiz. Funktsiyaning ikki karrali integralini funktsiya tomonidan berilgan sirt va \(xy\) tekislik orasidagi qattiq jismning aniq hajmi sifatida qanday talqin qilish mumkinligini ko'rsatamiz.
Qutb koordinatalarida ikki karrali integrallar – Ushbu bo'limda biz kartezian koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dA\)) qutb koordinatalariga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Bunday hollarda integratsiya hududlari disklar yoki halqalarning hammasi yoki qismlari bo'ladi va shuning uchun biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini Polar koordinatalariga aylantirishimiz kerak.
Uch karrali integrallar - Ushbu bo'limda biz uchlik integralni aniqlaymiz. Shuningdek, biz integratsiyaning uch o'lchovli hududidan integratsiya chegaralarini belgilashning bir nechta misollarini ko'rsatamiz. Integratsiya chegaralarini olish ko'pincha bu muammolarning qiyin qismidir.
Silindrsimon koordinatalarda uch karrali integrallar – Ushbu bo'limda biz dekart koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dV\)) Silindr koordinatalariga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini silindrsimon koordinatalarga aylantiramiz.
Sferik koordinatalarda uch karrali integrallar – Ushbu bo'limda biz dekart koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dV\)) Sferik koordinatalarga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini Sferik koordinatalarga aylantiramiz.
O'zgaruvchilarning o'zgarishi - Oldingilarda biz Dekart koordinatalarini Polar, Silindrsimon va Sferik koordinatalarga aylantirdik. Ushbu bo'limda biz ushbu fikrni umumlashtiramiz va Dekart koordinatalarida integrallarni muqobil koordinatalar tizimiga qanday aylantirishimizni muhokama qilamiz. Sferik koordinatalarga aylantirilganda \(dV\) konversiya formulasining hosilasi kiritiladi.
Sirt maydoni - Ushbu bo'limda biz ikki o'lchovli fazoda mintaqa ustida joylashgan sirt qismining sirt maydonini aniqlash uchun ikki karrali integraldan qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Maydon va hajm qayta koʻrib chiqildi - Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Amaliy muammolar.
Chiziqli integrallar - Ushbu bobda biz integralning yangi turi bilan tanishamiz: Chiziqli integrallar. Chiziqli integrallar bilan biz ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilarning funktsiyalarini birlashtiramiz, bunda mustaqil o'zgaruvchilar endi qo'sh va uch integral kabi mintaqalar emas, balki egri chiziqlar bilan belgilanadi. Ushbu bobda biz konservativ vektor maydonlarini o'rganamiz va Grin teoremasini muhokama qilamiz.
Vektor maydonlari - Ushbu bo'limda biz vektor maydoni tushunchasi bilan tanishamiz va ularni grafik qilishning bir nechta misollarini keltiramiz. Bundan tashqari, biz bir necha boblar oldin birinchi marta ko'rgan gradientni qayta ko'rib chiqamiz.
Chiziqli integrallar - I qism – Ushbu bo'limda biz egri chiziqlarni parametrlashtirishni tez ko'rib chiqishdan boshlaymiz. Bu biz baholaydigan ko'plab chiziqli integrallarda talab qilinadigan mahorat va shuning uchun tushunish kerak. Keyin biz ko'rib chiqiladigan chiziqli integralning birinchi turini rasman aniqlaymiz: yoy uzunligi bo'yicha chiziqli integrallar.
Chiziqli integrallar - II qism - Ushbu bo'limda biz chiziqli integrallarni ko'rib chiqishni davom ettiramiz va biz ko'rib chiqadigan chiziqli integralning ikkinchi turini aniqlaymiz: \(x\), \(y\) va/yoki \(z\) ga nisbatan chiziqli integrallar. Biz, shuningdek, ba'zan foydali bo'ladigan bunday chiziqli integral uchun muqobil yozuv shaklini taqdim etamiz.
Vektor maydonlarining chiziqli integrallari - Ushbu bo'limda biz ko'rib chiqadigan chiziqli integrallarning uchinchi turini aniqlaymiz: vektor maydonlarining chiziqli integrallari. Shuningdek, biz chiziqli integralning ushbu alohida turi x, y va z ga nisbatan chiziqli integrallarning maxsus holatlari bilan bog'liqligini ko'ramiz.
Chiziqli integrallar uchun asosiy teorema – Ushbu bo'limda vektor maydonlarining chiziqli integrallari uchun hisoblashning asosiy teoremasini beramiz. Bu ma'lum turdagi chiziqli integrallarni juda tez hisoblash mumkinligini ko'rsatadi. Shuningdek, biz foydali bo'ladigan bir nechta ta'riflar va faktlarni beramiz.
Konservativ vektor maydonlari - Ushbu bo'limda biz avvalgi bo'limlarda qilganimizdan ko'ra konservativ vektor maydonlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz konservativ vektor maydonlari uchun potentsial funksiyalarni qanday topishni muhokama qilamiz.
Grin teoremasi - Ushbu bo'limda biz Grin teoremasini, shuningdek, ikki o'lchovli mintaqaning maydonini topishda foydalanishimiz mumkin bo'lgan Grin teoremasining qiziqarli qo'llanilishini muhokama qilamiz.
Chiziqli integrallar - I qism – Ushbu bo'limda biz egri chiziqlarni parametrlashtirishni tez ko'rib chiqishdan boshlaymiz. Bu biz baholaydigan ko'plab chiziqli integrallarda talab qilinadigan mahorat va shuning uchun tushunish kerak. Keyin biz ko'rib chiqiladigan chiziqli integralning birinchi turini rasman aniqlaymiz: yoy uzunligi bo'yicha chiziqli integrallar.
Chiziqli integrallar - II qism - Ushbu bo'limda biz chiziqli integrallarni ko'rib chiqishni davom ettiramiz va biz ko'rib chiqadigan chiziqli integralning ikkinchi turini aniqlaymiz: \(x\), \(y\) va/yoki \(z\) ga nisbatan chiziqli integrallar. Biz, shuningdek, ba'zan foydali bo'ladigan bunday chiziqli integral uchun muqobil yozuv shaklini taqdim etamiz.
Vektor maydonlarining chiziqli integrallari - Ushbu bo'limda biz ko'rib chiqadigan chiziqli integrallarning uchinchi turini aniqlaymiz: vektor maydonlarining chiziqli integrallari. Shuningdek, biz chiziqli integralning ushbu alohida turi x, y va z ga nisbatan chiziqli integrallarning maxsus holatlari bilan bog'liqligini ko'ramiz.
Chiziqli integrallar uchun asosiy teorema – Ushbu bo'limda vektor maydonlarining chiziqli integrallari uchun hisoblashning asosiy teoremasini beramiz. Bu ma'lum turdagi chiziqli integrallarni juda tez hisoblash mumkinligini ko'rsatadi. Shuningdek, biz foydali bo'ladigan bir nechta ta'riflar va faktlarni beramiz.
Konservativ vektor maydonlari - Ushbu bo'limda biz avvalgi bo'limlarda qilganimizdan ko'ra konservativ vektor maydonlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz konservativ vektor maydonlari uchun potentsial funksiyalarni qanday topishni muhokama qilamiz.
Grin teoremasi - Ushbu bo'limda biz Grin teoremasini, shuningdek, ikki o'lchovli mintaqaning maydonini topishda foydalanishimiz mumkin bo'lgan Grin teoremasining qiziqarli qo'llanilishini muhokama qilamiz.
Yuzaki integrallar - Ushbu bobda biz integralning yana bir turini ko'rib chiqamiz: Yuzaki integrallar. Yuzaki integrallar bilan biz ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilarning funktsiyalarini birlashtiramiz, bu erda mustaqil o'zgaruvchilar endi uch o'lchovli qattiq jismlar yuzasida joylashgan. Biz Stoks teoremasini va Divergensiya teoremasini ham ko'rib chiqamiz.
Jingalak va farqlanish – Ushbu bo'limda biz vektor maydonining jingalak va divergensiya tushunchalari bilan tanishamiz. Shuningdek, biz Grin teoremasining ikkita vektor shaklini beramiz va uch o'lchamli vektor maydonining konservativ maydoni yoki yo'qligini aniqlash uchun jingalakdan qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Parametrik yuzalar – Ushbu bo'limda biz sirtni parametrik tenglamalar bilan ifodalash asoslarini ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz sirtning normal vektorini topish uchun sirtni parametrlashdan qanday foydalanish mumkinligini (bu bir nechta bo'limlarda juda foydali bo'ladi) va sirtning sirt maydonini topish uchun parametrlashdan qanday foydalanish mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Yuzaki integrallar - Ushbu bo'limda biz sirt integrali g'oyasini kiritamiz. Sirt integrallari bilan biz qattiq jism yuzasida integrallashamiz. Boshqacha qilib aytganda, o'zgaruvchilar doimo qattiq jismning yuzasida bo'ladi va hech qachon qattiq jismning o'zidan chiqmaydi. Shuningdek, ushbu bo'limda biz ushbu bobda ko'rib chiqiladigan birinchi turdagi sirt integrallari bilan ishlaymiz: funktsiyalarning sirt integrallari.
Vektor maydonlarining sirt integrallari - Ushbu bo'limda biz yo'naltirilgan sirt tushunchasi bilan tanishamiz va biz ko'rib chiqadigan sirt integralining ikkinchi turini ko'rib chiqamiz: vektor maydonlarining sirt integrallari.
Stokes teoremasi - Ushbu bo'limda biz Stokes teoremasini muhokama qilamiz.
Divergentsiya teoremasi - Ushbu bo'limda biz Divergensiya teoremasini muhokama qilamiz.
Parametrik yuzalar – Ushbu bo'limda biz sirtni parametrik tenglamalar bilan ifodalash asoslarini ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz sirtning normal vektorini topish uchun sirtni parametrlashdan qanday foydalanish mumkinligini (bu bir nechta bo'limlarda juda foydali bo'ladi) va sirtning sirt maydonini topish uchun parametrlashdan qanday foydalanish mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Yuzaki integrallar - Ushbu bo'limda biz sirt integrali g'oyasini kiritamiz. Sirt integrallari bilan biz qattiq jism yuzasida integrallashamiz. Boshqacha qilib aytganda, o'zgaruvchilar doimo qattiq jismning yuzasida bo'ladi va hech qachon qattiq jismning o'zidan chiqmaydi. Shuningdek, ushbu bo'limda biz ushbu bobda ko'rib chiqiladigan birinchi turdagi sirt integrallari bilan ishlaymiz: funktsiyalarning sirt integrallari.
Vektor maydonlarining sirt integrallari - Ushbu bo'limda biz yo'naltirilgan sirt tushunchasi bilan tanishamiz va biz ko'rib chiqadigan sirt integralining ikkinchi turini ko'rib chiqamiz: vektor maydonlarining sirt integrallari.
Stokes teoremasi - Ushbu bo'limda biz Stokes teoremasini muhokama qilamiz.
Divergentsiya teoremasi - Ushbu bo'limda biz Divergensiya teoremasini muhokama qilamiz.