Calculus III
Ushbu sahifada Calculus III (Ko'p o'zgaruvchili funksiyalar tahlili va maydonlar nazariyasi) kursi bo'yicha to'liq o'quv qo'llanmalari jamlangan. Darslar oliy matematikani mustaqil o'rganishni istagan talabalar va muhandislar uchun tushunarli, ravon va amaliy misollar bilan boyitilgan holda taqdim etilgan.
Ushbu kursni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun Calculus I (limitlar, hosilalar va integrallash) hamda Calculus II (integrallash usullari, parametrik tenglamalar, vektorlar va fazoviy geometriya) asoslarini yaxshi bilish talab etiladi.
Quyida ushbu kursga kiritilgan barcha boblar va mavzularning to'liq mundarijasi keltirilgan:
1-Bob. Uch o'lchovli fazo (3-Dimensional Space) - Ushbu bobda uch o'lchovli koordinatalar sistemasi, fazodagi to'g'ri chiziq va tekislik tenglamalari, ikkinchi tartibli sirtlar (konus, silindr, ellipsoid, paraboloidlar), vektor-funksiyalar va ularning kinematik tatbiqlari (urinma va normal vektorlar, egri chiziq yoyi uzunligi, egrilik, tezlik va tezlanish) hamda silindrik va sferik koordinatalar sistemalari o'rganiladi.3D koordinatalar sistemasi – Uch o'lchovli fazoda koordinatalar sistemasi, fazoviy nuqtalar va masofani hisoblash.
To'g'ri chiziq tenglamalari – Fazodagi to'g'ri chiziqning vektor, parametrik va kanonik (simmetrik) tenglamalari.
Tekislik tenglamalari – Tekislikning vektor va skalyar tenglamalari hamda berilgan uchta nuqta orqali tekislik tenglamasini tuzish.
Ikkinchi tartibli sirtlar – Konuslar, silindrlar, ellipsoidlar va elliptik paraboloidlar kabi asosiy fazoviy sirtlar tahlili.
Ko'p o'zgaruvchili funksiyalar – Funksiyaning aniqlanish sohasi, sath chiziqlari va sath sirtlari.
Vektor-funksiyalar – Fazoviy egri chiziqlarni vektor-funksiyalar orqali ifodalash va ularning grafigi.
Vektor-funksiyalarni differensiallash va integrallash – Vektor-funksiyalarning limiti, hosilasi va integrali.
Urinma, normal va binormal vektorlar – Birlik urinma va asosiy normal vektorlar hamda Frenet-Serret bazisi.
Vektor-funksiyalar yordamida yoy uzunligi – Fazoviy egri chiziqning yoy uzunligini hisoblash formulasi.
Egrilik (Curvature) – Egri chiziqning berilgan nuqtadagi egriligini hisoblash formulalari.
Tezlik va tezlanish – Harakat trayektoriyasining tezligi, normal va tangensial tezlanishlari.
Silindrik koordinatalar – Fazoda qutb koordinatalarining tabiiy davomi bo'lgan silindrik sistema.
Sferik koordinatalar – Sferik simmetriyaga ega jismlar uchun qulay bo'lgan fazoviy koordinatalar sistemasi.
To'g'ri chiziq tenglamalari – Fazodagi to'g'ri chiziqning vektor, parametrik va kanonik (simmetrik) tenglamalari.
Tekislik tenglamalari – Tekislikning vektor va skalyar tenglamalari hamda berilgan uchta nuqta orqali tekislik tenglamasini tuzish.
Ikkinchi tartibli sirtlar – Konuslar, silindrlar, ellipsoidlar va elliptik paraboloidlar kabi asosiy fazoviy sirtlar tahlili.
Ko'p o'zgaruvchili funksiyalar – Funksiyaning aniqlanish sohasi, sath chiziqlari va sath sirtlari.
Vektor-funksiyalar – Fazoviy egri chiziqlarni vektor-funksiyalar orqali ifodalash va ularning grafigi.
Vektor-funksiyalarni differensiallash va integrallash – Vektor-funksiyalarning limiti, hosilasi va integrali.
Urinma, normal va binormal vektorlar – Birlik urinma va asosiy normal vektorlar hamda Frenet-Serret bazisi.
Vektor-funksiyalar yordamida yoy uzunligi – Fazoviy egri chiziqning yoy uzunligini hisoblash formulasi.
Egrilik (Curvature) – Egri chiziqning berilgan nuqtadagi egriligini hisoblash formulalari.
Tezlik va tezlanish – Harakat trayektoriyasining tezligi, normal va tangensial tezlanishlari.
Silindrik koordinatalar – Fazoda qutb koordinatalarining tabiiy davomi bo'lgan silindrik sistema.
Sferik koordinatalar – Sferik simmetriyaga ega jismlar uchun qulay bo'lgan fazoviy koordinatalar sistemasi.
2-Bob. Xususiy hosilalar (Partial Derivatives) - Ko'p o'zgaruvchili funksiyalarning limitlari, uzluksizligi va xususiy hosilalari. Klerot teoremasi, to'liq differensial, murakkab funksiyani differensiallash (Chain Rule), oshkormas funksiyalar hosilasi, yo'nalish bo'yicha hosila va gradient vektori.
Ko'p o'zgaruvchili funksiyalar limiti – Fazoviy limitlarni hisoblash va limitning mavjud emasligini isbotlash usullari.
Xususiy hosilalar – Xususiy hosila ta'rifi va hisoblash qoidalari.
Xususiy hosilalarning geometrik va fizik ma'nosi – O'zgarish tezligi va kesimlar urinmasi qiyaligi.
Yuqori tartibli xususiy hosilalar – Aralash hosilalar va Klerot (Shvars) teoremasi.
Differensiallar – Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning to'liq differensiali va taqribiy hisoblashlar.
Zanjir qoidasi (Chain Rule) – Ko'p o'zgaruvchili murakkab funksiyalarni differensiallash.
Yo'nalish bo'yicha hosila va gradient – Ixtiyoriy vektor yo'nalishidagi o'zgarish tezligi va eng tez o'sish yo'nalishi.
Xususiy hosilalar – Xususiy hosila ta'rifi va hisoblash qoidalari.
Xususiy hosilalarning geometrik va fizik ma'nosi – O'zgarish tezligi va kesimlar urinmasi qiyaligi.
Yuqori tartibli xususiy hosilalar – Aralash hosilalar va Klerot (Shvars) teoremasi.
Differensiallar – Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning to'liq differensiali va taqribiy hisoblashlar.
Zanjir qoidasi (Chain Rule) – Ko'p o'zgaruvchili murakkab funksiyalarni differensiallash.
Yo'nalish bo'yicha hosila va gradient – Ixtiyoriy vektor yo'nalishidagi o'zgarish tezligi va eng tez o'sish yo'nalishi.
3-Bob. Xususiy hosilalarning tatbiqlari - Sirtlarga o'tkazilgan urinma tekislik va normal to'g'ri chiziq tenglamalari, ko'p o'zgaruvchili funksiyalarning lokal ekstremumlari (minimum, maksimum va egar nuqtalari), yopiq sohadagi global (absolyut) ekstremumlar hamda Lagranj ko'paytuvchilari usuli.
Urinma tekisliklar va chiziqli approksimatsiya – Sirtga o'tkazilgan urinma tekislik tenglamasini tuzish.
Gradient vektori, urinma tekislik va normal chiziq – Gradient orqali sirt normali va tekisligini topish.
Lokal minimum va maksimumlar – Statsionar nuqtalar, Gessian matritsasi va egar nuqtalari.
Absolyut ekstremumlar – Chegaralangan yopiq sohada funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish.
Lagranj ko'paytuvchilari – Shartli ekstremumlarni topishning universal usuli.
Gradient vektori, urinma tekislik va normal chiziq – Gradient orqali sirt normali va tekisligini topish.
Lokal minimum va maksimumlar – Statsionar nuqtalar, Gessian matritsasi va egar nuqtalari.
Absolyut ekstremumlar – Chegaralangan yopiq sohada funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish.
Lagranj ko'paytuvchilari – Shartli ekstremumlarni topishning universal usuli.
4-Bob. Karrali integrallar (Multiple Integrals) - Ikki karrali va uch karrali integrallar, Fubini teoremasi, qutb, silindrik va sferik koordinatalarda integrallash, o'zgaruvchilarni almashtirish (Yakobian) hamda yuza va hajmlarni hisoblash tatbiqlari.
Ikki karrali integral – Ikki karrali integral ta'rifi va geometrik ma'nosi.
Takroriy integrallar – To'g'ri to'rtburchak soha bo'yicha Fubini teoremasi.
Ixtiyoriy soha bo'yicha ikki karrali integrallar – Murakkab sohalarda integrallash va integrallash tartibini o'zgartirish.
Qutb koordinatalarida ikki karrali integral – Doiraviy sohalarda qutb koordinatalariga o'tish.
Uch karrali integral – Fazoviy jism bo'yicha integrallash va integrallash chegaralarini aniqlash.
Silindrik koordinatalarda uch karrali integral – Silindrik simmetriyaga ega jismlar hajmi va massasini hisoblash.
Sferik koordinatalarda uch karrali integral – Sferik koordinatalarga o'tish formulasi.
O'zgaruvchilarni almashtirish va Yakobian – Karrali integrallarda umumiy almashtirishlar nazariyasi.
Sirt yuzini hisoblash – Fazoviy egri sirtning yuzini ikki karrali integral orqali topish.
Yuza va hajm formulalari umumlashtirmasi – Karrali integrallarning asosiy geometrik tatbiqlari.
Takroriy integrallar – To'g'ri to'rtburchak soha bo'yicha Fubini teoremasi.
Ixtiyoriy soha bo'yicha ikki karrali integrallar – Murakkab sohalarda integrallash va integrallash tartibini o'zgartirish.
Qutb koordinatalarida ikki karrali integral – Doiraviy sohalarda qutb koordinatalariga o'tish.
Uch karrali integral – Fazoviy jism bo'yicha integrallash va integrallash chegaralarini aniqlash.
Silindrik koordinatalarda uch karrali integral – Silindrik simmetriyaga ega jismlar hajmi va massasini hisoblash.
Sferik koordinatalarda uch karrali integral – Sferik koordinatalarga o'tish formulasi.
O'zgaruvchilarni almashtirish va Yakobian – Karrali integrallarda umumiy almashtirishlar nazariyasi.
Sirt yuzini hisoblash – Fazoviy egri sirtning yuzini ikki karrali integral orqali topish.
Yuza va hajm formulalari umumlashtirmasi – Karrali integrallarning asosiy geometrik tatbiqlari.
5-Bob. Egri chiziqli integrallar (Line Integrals) - Egri chiziq yoyi va koordinatalar bo'yicha birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar, vektor maydonining egri chiziqli integrali, integralning yo'lga bog'liq emasligi, potensialli maydonlar va tekislikda Grin teoremasi.
Vektor maydonlari – Vektor maydon tushunchasi va ularning grafik tasviri.
Egri chiziqli integral - I qism – Egri chiziq yoyi uzunligi bo'yicha integral.
Egri chiziqli integral - II qism – Koordinatalar bo'yicha integrallar va differensial shakllar.
Vektor maydonining egri chiziqli integrali – Maydonda bajarilgan ishni hisoblash.
Egri chiziqli integrallar uchun asosiy teorema – Nyuton-Leybnits formulasining egri chiziqli integrallardagi analogi.
Potensialli (konservativ) vektor maydonlar – Maydon potensialini topish va integrallash yo'liga bog'liq emaslik.
Grin teoremasi – Yopiq kontur bo'yicha integralni ikki karrali integralga bog'lovchi formula.
Egri chiziqli integral - I qism – Egri chiziq yoyi uzunligi bo'yicha integral.
Egri chiziqli integral - II qism – Koordinatalar bo'yicha integrallar va differensial shakllar.
Vektor maydonining egri chiziqli integrali – Maydonda bajarilgan ishni hisoblash.
Egri chiziqli integrallar uchun asosiy teorema – Nyuton-Leybnits formulasining egri chiziqli integrallardagi analogi.
Potensialli (konservativ) vektor maydonlar – Maydon potensialini topish va integrallash yo'liga bog'liq emaslik.
Grin teoremasi – Yopiq kontur bo'yicha integralni ikki karrali integralga bog'lovchi formula.
6-Bob. Sirt integrallari (Surface Integrals) - Vektor maydonining uyurmasi (rotor/curl) va divergensiyasi, parametrik sirtlar, birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari (oqim/flux), fazoda Stoks teoremasi hamda Gauss-Ostrogradskiy (Divergence) teoremasi.
Rotor (Curl) va divergensiya – Maydonning uyurmasi va manbalarini ifodalovchi differensial operatorlar.
Parametrik sirtlar – Sirtlarni vektor-funksiyalar orqali parametrlash.
Birinchi tur sirt integrallari – Skalyar funksiyani sirt yuzasi bo'yicha integrallash.
Vektor maydonining sirt integrali (Oqim) – Maydonning sirt orqali o'tuvchi to'liq oqimi.
Stoks teoremasi – Sirt integrali bilan uning chegarasi bo'yicha egri chiziqli integral orasidagi fundamental bog'liqlik.
Gauss-Ostrogradskiy (Divergence) teoremasi – Fazoviy hajm bo'yicha uch karrali integralni sirt oqimi bilan bog'lovchi teorema.
Parametrik sirtlar – Sirtlarni vektor-funksiyalar orqali parametrlash.
Birinchi tur sirt integrallari – Skalyar funksiyani sirt yuzasi bo'yicha integrallash.
Vektor maydonining sirt integrali (Oqim) – Maydonning sirt orqali o'tuvchi to'liq oqimi.
Stoks teoremasi – Sirt integrali bilan uning chegarasi bo'yicha egri chiziqli integral orasidagi fundamental bog'liqlik.
Gauss-Ostrogradskiy (Divergence) teoremasi – Fazoviy hajm bo'yicha uch karrali integralni sirt oqimi bilan bog'lovchi teorema.