Calculus II
Bu erda Calculus II yozuvlari uchun bir qator amaliy muammolar mavjud. "ni bosingYechim" yechimni o'z ichiga olgan sahifaga o'tish uchun har bir muammo uchun havola.
E'tibor bering, ba'zi bo'limlarda boshqalarga qaraganda ko'proq muammolar bo'ladi, ba'zilarida esa ko'proq yoki kamroq turli xil muammolar mavjud. Ko'pgina bo'limlar muammolarda bir qator qiyinchilik darajalariga ega bo'lishi kerak, ammo bu bo'limdan bo'limga farq qiladi.
Bu erda amaliyot muammolari yozilgan bo'limlar ro'yxati, shuningdek, ushbu bo'lim uchun eslatmalarda yoritilgan materiallarning qisqacha tavsifi keltirilgan.
Integratsiya texnikasi - Ushbu bobda biz bir nechta integratsiya usullarini ko'rib chiqamiz, jumladan, qismlar bo'yicha integratsiya, trig funktsiyalarini o'z ichiga olgan integrallar, triglarni almashtirish va qisman kasrlar. Shuningdek, biz noto'g'ri integrallarni ko'rib chiqamiz, shu jumladan noto'g'ri integrallarning yaqinlashuvi/divergentsiyasi uchun taqqoslash testidan foydalanish.Qismlar bo'yicha integratsiya - Ushbu bo'limda biz qismlar bo'yicha integratsiyani ko'rib chiqamiz. Ushbu sinfda biz ko'rib chiqadigan barcha usullardan bu o'quvchilar boshqa sinflarda yo'lda uchib ketishlari mumkin bo'lgan texnikadir. Shuningdek, biz qismlar formulasi bo'yicha integratsiyaning hosilasini beramiz.
Trig funksiyalarni o'z ichiga olgan integrallar – Ushbu bo'limda biz trig funksiyalarini o'z ichiga olgan integrallarni ko'rib chiqamiz. Xususan, biz sinuslar va kosinuslarning integratsiyalashgan mahsulotlarini, shuningdek, sekant va tangenslarning mahsulotlarini jamlaymiz. Shuningdek, biz trig funksiyalarining ayrim koeffitsientlari uchun ushbu trig funksiyalarining mahsulotlari uchun ishni qanday o‘zgartirishni qisqacha ko‘rib chiqamiz.
Triglarni almashtirish – Bu bo‘limda biz trig funksiyalarni o‘z ichiga oluvchi almashtirishlardan foydalanishni talab qiluvchi integrallarni (ham noaniq, ham aniq) va ulardan ma’lum integrallarni soddalashtirish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.
Qisman kasrlar - Ushbu bo'limda biz qisman kasrlardan foydalanib, integrallarni ba'zi ratsional funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallarni bajarishga imkon beradigan shaklga qayta yozamiz.
Ildizlarni o'z ichiga olgan integrallar - Ushbu bo'limda biz ba'zan ildizlari bo'lgan integrallar bilan ishlatilishi mumkin bo'lgan almashtirishni ko'rib chiqamiz.
Kvadratlarni o'z ichiga olgan integrallar - Ushbu bo'limda biz oldingi usullar darhol ishlamaydigan kvadratiklarni o'z ichiga olgan ba'zi integrallarni ko'rib chiqamiz. Ba'zi hollarda integralni bajarishimizdan oldin kvadratni manipulyatsiya qilish kerak. Biz ushbu bo'limda zarur bo'lgan bir nechta holatlarni ko'rib chiqamiz.
Integratsiya strategiyasi - Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Amaliy muammolar.
Noto'g'ri integrallar - Ushbu bo'limda biz cheksiz integrallash intervalli integrallarni va bu bo'limda uzluksiz integralli integrallarni ko'rib chiqamiz. Birgalikda ular noto'g'ri integrallar deb ataladi va biz ko'rib turganimizdek, ular cheklangan (ya'ni cheksiz emas) qiymatga ega bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Ularning cheklangan qiymatlari bor yoki yo'qligini aniqlash, aslida, ushbu bo'limning asosiy mavzularidan biri bo'ladi.
Noto'g'ri integrallar uchun taqqoslash testi - Noto'g'ri integrallarni baholash har doim ham mumkin bo'lmaydi, ammo biz hali ham ularning yaqinlashish yoki ajralishlarini aniqlashimiz kerak (ya'ni, ular cheklangan qiymatga egami yoki yo'qmi). Shunday qilib, ushbu bo'limda biz noto'g'ri integrallarning yaqinlashish yoki uzoqlashishini aniqlash uchun taqqoslash testidan foydalanamiz.
Aniq integrallarni yaqinlashtirish - Ushbu bo'limda biz aniq integral qiymatini yaqinlashtirishning bir necha oddiy usullarini ko'rib chiqamiz. Har bir aniq integralni baholash mumkin emas (ya'ni, noaniq integralni bajarish mumkin emasligi sababli) va shunga qaramay, biz aniq integralning qiymatini bilishimiz kerak bo'lishi mumkin. Ushbu usullar bizga hech bo'lmaganda ko'p hollarda etarli bo'lishi mumkin bo'lgan taxminiy qiymatni olish imkonini beradi.
Trig funksiyalarni o'z ichiga olgan integrallar – Ushbu bo'limda biz trig funksiyalarini o'z ichiga olgan integrallarni ko'rib chiqamiz. Xususan, biz sinuslar va kosinuslarning integratsiyalashgan mahsulotlarini, shuningdek, sekant va tangenslarning mahsulotlarini jamlaymiz. Shuningdek, biz trig funksiyalarining ayrim koeffitsientlari uchun ushbu trig funksiyalarining mahsulotlari uchun ishni qanday o‘zgartirishni qisqacha ko‘rib chiqamiz.
Triglarni almashtirish – Bu bo‘limda biz trig funksiyalarni o‘z ichiga oluvchi almashtirishlardan foydalanishni talab qiluvchi integrallarni (ham noaniq, ham aniq) va ulardan ma’lum integrallarni soddalashtirish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.
Qisman kasrlar - Ushbu bo'limda biz qisman kasrlardan foydalanib, integrallarni ba'zi ratsional funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallarni bajarishga imkon beradigan shaklga qayta yozamiz.
Ildizlarni o'z ichiga olgan integrallar - Ushbu bo'limda biz ba'zan ildizlari bo'lgan integrallar bilan ishlatilishi mumkin bo'lgan almashtirishni ko'rib chiqamiz.
Kvadratlarni o'z ichiga olgan integrallar - Ushbu bo'limda biz oldingi usullar darhol ishlamaydigan kvadratiklarni o'z ichiga olgan ba'zi integrallarni ko'rib chiqamiz. Ba'zi hollarda integralni bajarishimizdan oldin kvadratni manipulyatsiya qilish kerak. Biz ushbu bo'limda zarur bo'lgan bir nechta holatlarni ko'rib chiqamiz.
Integratsiya strategiyasi - Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Amaliy muammolar.
Noto'g'ri integrallar - Ushbu bo'limda biz cheksiz integrallash intervalli integrallarni va bu bo'limda uzluksiz integralli integrallarni ko'rib chiqamiz. Birgalikda ular noto'g'ri integrallar deb ataladi va biz ko'rib turganimizdek, ular cheklangan (ya'ni cheksiz emas) qiymatga ega bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Ularning cheklangan qiymatlari bor yoki yo'qligini aniqlash, aslida, ushbu bo'limning asosiy mavzularidan biri bo'ladi.
Noto'g'ri integrallar uchun taqqoslash testi - Noto'g'ri integrallarni baholash har doim ham mumkin bo'lmaydi, ammo biz hali ham ularning yaqinlashish yoki ajralishlarini aniqlashimiz kerak (ya'ni, ular cheklangan qiymatga egami yoki yo'qmi). Shunday qilib, ushbu bo'limda biz noto'g'ri integrallarning yaqinlashish yoki uzoqlashishini aniqlash uchun taqqoslash testidan foydalanamiz.
Aniq integrallarni yaqinlashtirish - Ushbu bo'limda biz aniq integral qiymatini yaqinlashtirishning bir necha oddiy usullarini ko'rib chiqamiz. Har bir aniq integralni baholash mumkin emas (ya'ni, noaniq integralni bajarish mumkin emasligi sababli) va shunga qaramay, biz aniq integralning qiymatini bilishimiz kerak bo'lishi mumkin. Ushbu usullar bizga hech bo'lmaganda ko'p hollarda etarli bo'lishi mumkin bo'lgan taxminiy qiymatni olish imkonini beradi.
Integrallarning qo'llanilishi - Ushbu bobda biz integrallarning bir nechta qo'llanilishini ko'rib chiqamiz. Biz egri chiziqning yoy uzunligini, aylanish jismining sirtini, ikkita egri chiziq bilan chegaralangan hududning massa markazini, suvga botgan plastinkadagi gidrostatik kuch/bosimni va ehtimollik zichligi funksiyasining oʻrtacha qiymatini hisoblashni tez koʻrib chiqamiz. Bu yerda berilgan ilovalar odatda Hisob II kursida qamrab olingan integrallarga olib keladi.
Ark uzunligi - Ushbu bo'limda biz egri chiziq uzunligini ma'lum oraliqda aniqlaymiz.
Sirt maydoni – Ushbu bo'limda biz inqilob jismining sirt maydonini aniqlaymiz,ya'nivertikal yoki gorizontal o'q atrofida ikkita egri chiziq bilan chegaralangan hududni aylantirish natijasida olingan qattiq jism.
Mass markazi – Ushbu bo'limda biz yupqa plastinkaning massa markazini yoki markaziy qismini aniqlaymiz, bu erda plastinka ikkita egri chiziq bilan chegaralangan mintaqa sifatida tavsiflanishi mumkin (ulardan biri \(x\) yoki \(y\) o'qi bo'lishi mumkin).
Gidrostatik bosim va kuch - Ushbu bo'limda biz suvga botgan vertikal plastinkadagi gidrostatik bosim va kuchni aniqlaymiz. Misollarda ishlatiladigan plitalar bir yoki bir nechta egri/chiziqlar bilan chegaralangan hududlar sifatida tavsiflanishi mumkin.
Ehtimollik – Ko‘p miqdorlarni ehtimollik zichligi funksiyalari bilan tasvirlash mumkin. Masalan, odamning kassada navbatda turishi yoki lampochkaning ishlash muddati. Bu miqdorlarning hech biri qat'iy qiymatlar emas va turli omillarga bog'liq bo'ladi. Ushbu bo'limda biz ehtimollik zichligi funksiyalarini ko'rib chiqamiz va ehtimollik zichligi funktsiyasining o'rtacha qiymatini (o'rtacha navbatda kutish yoki yorug'lik lampasining o'rtacha umrini o'ylab ko'ring) hisoblashni ko'rib chiqamiz.
Sirt maydoni – Ushbu bo'limda biz inqilob jismining sirt maydonini aniqlaymiz,ya'nivertikal yoki gorizontal o'q atrofida ikkita egri chiziq bilan chegaralangan hududni aylantirish natijasida olingan qattiq jism.
Mass markazi – Ushbu bo'limda biz yupqa plastinkaning massa markazini yoki markaziy qismini aniqlaymiz, bu erda plastinka ikkita egri chiziq bilan chegaralangan mintaqa sifatida tavsiflanishi mumkin (ulardan biri \(x\) yoki \(y\) o'qi bo'lishi mumkin).
Gidrostatik bosim va kuch - Ushbu bo'limda biz suvga botgan vertikal plastinkadagi gidrostatik bosim va kuchni aniqlaymiz. Misollarda ishlatiladigan plitalar bir yoki bir nechta egri/chiziqlar bilan chegaralangan hududlar sifatida tavsiflanishi mumkin.
Ehtimollik – Ko‘p miqdorlarni ehtimollik zichligi funksiyalari bilan tasvirlash mumkin. Masalan, odamning kassada navbatda turishi yoki lampochkaning ishlash muddati. Bu miqdorlarning hech biri qat'iy qiymatlar emas va turli omillarga bog'liq bo'ladi. Ushbu bo'limda biz ehtimollik zichligi funksiyalarini ko'rib chiqamiz va ehtimollik zichligi funktsiyasining o'rtacha qiymatini (o'rtacha navbatda kutish yoki yorug'lik lampasining o'rtacha umrini o'ylab ko'ring) hisoblashni ko'rib chiqamiz.
Parametrik tenglamalar va qutb koordinatalari - Ushbu bobda parametrik tenglamalar va qutbli koordinatalar haqidagi g'oyalar bilan tanishamiz. Shuningdek, biz ushbu ikki g'oya nuqtai nazaridan Kalkulyatorning asosiy g'oyalarini (tangens chiziqlar, maydon, yoy uzunligi va sirt maydoni) ko'rib chiqamiz.
Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar - Ushbu bo'limda biz parametrik tenglamalar va parametrik egri chiziqlar (ya'ni parametrik tenglamalar grafiklari) bilan tanishamiz. Biz bir nechta parametrik tenglamalar to'plamini chizamiz va algebraik tenglamani olish uchun parametrni qanday yo'q qilishni muhokama qilamiz, bu ko'pincha grafik jarayonda yordam beradi.
Parametrik tenglamalar bilan tangentlar – Ushbu boʻlimda parametrik egri chiziqlar uchun \(\frac{dy}{dx}\) va \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\) hosilalarini qanday topishni muhokama qilamiz. Shuningdek, parametrik egri chiziqlar uchun tangens chizig'ini topish, shuningdek, parametrik egri o'sish/kamayish va konkav yuqori/pastga bo'lgan joyni aniqlash uchun ushbu hosila formulalaridan foydalanishni ham muhokama qilamiz.
Parametrik tenglamali maydon – Ushbu bo'limda biz parametrik egri chiziq va \(x\) o'qi orasidagi maydonni faqat parametrik tenglamalar yordamida qanday topishni muhokama qilamiz (parametrni yo'q qilish va natijada olingan algebraik tenglamada standart Hisob I usullaridan foydalanish o'rniga).
Parametrik tenglamalar bilan yoy uzunligi – Ushbu bo'limda biz parametrik egri chiziqning yoy uzunligini faqat parametrik tenglamalar yordamida qanday topishni ko'rib chiqamiz (parametrni yo'q qilish va olingan algebraik tenglamada standart Hisoblash usullaridan foydalanish o'rniga).
Parametrik tenglamalar bilan sirt maydoni – Ushbu boʻlimda parametrik egri chiziqni \(x\) yoki \(y\) oʻqi atrofida aylantirish natijasida olingan qattiq jismning sirt maydonini faqat parametrik tenglamalar yordamida (parametrni yoʻq qilish va olingan algebraik tenglamada standart Hisoblash usullaridan foydalanish oʻrniga) qanday topishni muhokama qilamiz.
Qutb koordinatalari - Ushbu bo'limda biz "oddiy" Dekart / To'rtburchaklar koordinata tizimiga muqobil koordinatalar tizimini qutb koordinatalari bilan tanishtiramiz. Biz qutb va kartezian koordinata tizimlari o'rtasida konvertatsiya qilish uchun formulalarni olamiz. Shuningdek, biz ko'plab standart qutbli grafiklarni, shuningdek, qutb koordinatalari bo'yicha doiralar va chiziqlarning ba'zi tenglamalarini ko'rib chiqamiz.
Polar koordinatali tangentlar – Ushbu bo'limda qutb egri chiziqlari uchun \(\frac{dy}{dx}\) hosilasini qanday topishni muhokama qilamiz. Biz faqat qutbli koordinatalardan foydalangan holda (dekart koordinatalariga aylantirish va standart hisoblash texnikasidan foydalanish o'rniga) qutb egri chiziqlari uchun tangens chizig'ini topish uchun ushbu lotin formuladan foydalanishni ham muhokama qilamiz.
Polar koordinatali maydon – Ushbu bo'limda biz qutb egri chizig'i bilan o'ralgan maydonni qanday qilib ko'rib chiqamiz. Ushbu bo'limda biz ko'rib chiqadigan hududlar (har doim ham bo'lmasa ham) pirog yoki pitsa bo'lagiga o'xshab noaniq shaklga ega bo'ladi va biz mintaqaning maydonini tashqi chegaradan (qutb tenglamasi bilan belgilangan) va kelib chiqishi / qutbdan qidiramiz. Ikki qutbli egri chiziq orasidagi maydonni topishni ham muhokama qilamiz.
Qutb koordinatalari bilan yoy uzunligi - Ushbu bo'limda biz qutb egri chizig'ining yoy uzunligini faqat qutb koordinatalaridan foydalangan holda qanday topishni ko'rib chiqamiz (dekart koordinatalariga aylantirish va standart hisoblash texnikasidan foydalanish o'rniga).
Polar koordinatali sirt maydoni – Ushbu bo'limda biz qutb egri chizig'ini \(x\) yoki \(y\) o'qi atrofida faqat qutb koordinatalaridan foydalangan holda aylantirish orqali olingan qattiq jismning sirt maydonini qanday topishni ko'rib chiqamiz (dekart koordinatalariga aylantirish va standart hisoblash texnikasidan foydalanish o'rniga).
Yoy uzunligi va sirt maydoni qayta ko'rib chiqildi - Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Amaliy muammolar.
Parametrik tenglamalar bilan tangentlar – Ushbu boʻlimda parametrik egri chiziqlar uchun \(\frac{dy}{dx}\) va \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\) hosilalarini qanday topishni muhokama qilamiz. Shuningdek, parametrik egri chiziqlar uchun tangens chizig'ini topish, shuningdek, parametrik egri o'sish/kamayish va konkav yuqori/pastga bo'lgan joyni aniqlash uchun ushbu hosila formulalaridan foydalanishni ham muhokama qilamiz.
Parametrik tenglamali maydon – Ushbu bo'limda biz parametrik egri chiziq va \(x\) o'qi orasidagi maydonni faqat parametrik tenglamalar yordamida qanday topishni muhokama qilamiz (parametrni yo'q qilish va natijada olingan algebraik tenglamada standart Hisob I usullaridan foydalanish o'rniga).
Parametrik tenglamalar bilan yoy uzunligi – Ushbu bo'limda biz parametrik egri chiziqning yoy uzunligini faqat parametrik tenglamalar yordamida qanday topishni ko'rib chiqamiz (parametrni yo'q qilish va olingan algebraik tenglamada standart Hisoblash usullaridan foydalanish o'rniga).
Parametrik tenglamalar bilan sirt maydoni – Ushbu boʻlimda parametrik egri chiziqni \(x\) yoki \(y\) oʻqi atrofida aylantirish natijasida olingan qattiq jismning sirt maydonini faqat parametrik tenglamalar yordamida (parametrni yoʻq qilish va olingan algebraik tenglamada standart Hisoblash usullaridan foydalanish oʻrniga) qanday topishni muhokama qilamiz.
Qutb koordinatalari - Ushbu bo'limda biz "oddiy" Dekart / To'rtburchaklar koordinata tizimiga muqobil koordinatalar tizimini qutb koordinatalari bilan tanishtiramiz. Biz qutb va kartezian koordinata tizimlari o'rtasida konvertatsiya qilish uchun formulalarni olamiz. Shuningdek, biz ko'plab standart qutbli grafiklarni, shuningdek, qutb koordinatalari bo'yicha doiralar va chiziqlarning ba'zi tenglamalarini ko'rib chiqamiz.
Polar koordinatali tangentlar – Ushbu bo'limda qutb egri chiziqlari uchun \(\frac{dy}{dx}\) hosilasini qanday topishni muhokama qilamiz. Biz faqat qutbli koordinatalardan foydalangan holda (dekart koordinatalariga aylantirish va standart hisoblash texnikasidan foydalanish o'rniga) qutb egri chiziqlari uchun tangens chizig'ini topish uchun ushbu lotin formuladan foydalanishni ham muhokama qilamiz.
Polar koordinatali maydon – Ushbu bo'limda biz qutb egri chizig'i bilan o'ralgan maydonni qanday qilib ko'rib chiqamiz. Ushbu bo'limda biz ko'rib chiqadigan hududlar (har doim ham bo'lmasa ham) pirog yoki pitsa bo'lagiga o'xshab noaniq shaklga ega bo'ladi va biz mintaqaning maydonini tashqi chegaradan (qutb tenglamasi bilan belgilangan) va kelib chiqishi / qutbdan qidiramiz. Ikki qutbli egri chiziq orasidagi maydonni topishni ham muhokama qilamiz.
Qutb koordinatalari bilan yoy uzunligi - Ushbu bo'limda biz qutb egri chizig'ining yoy uzunligini faqat qutb koordinatalaridan foydalangan holda qanday topishni ko'rib chiqamiz (dekart koordinatalariga aylantirish va standart hisoblash texnikasidan foydalanish o'rniga).
Polar koordinatali sirt maydoni – Ushbu bo'limda biz qutb egri chizig'ini \(x\) yoki \(y\) o'qi atrofida faqat qutb koordinatalaridan foydalangan holda aylantirish orqali olingan qattiq jismning sirt maydonini qanday topishni ko'rib chiqamiz (dekart koordinatalariga aylantirish va standart hisoblash texnikasidan foydalanish o'rniga).
Yoy uzunligi va sirt maydoni qayta ko'rib chiqildi - Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Amaliy muammolar.
Seriya va ketma-ketliklar - Ushbu bobda biz ketma-ketliklar va qatorlar bilan tanishamiz. Biz ketma-ketlikning yaqinlashishi yoki ajralishi, ortib borishi yoki kamayishi yoki ketma-ketlik chegaralanganligini muhokama qilamiz. Keyin biz cheksiz qator nima ekanligini aniqlaymiz va qator bilan bog'liq ko'plab asosiy tushunchalarni muhokama qilamiz. Biz ketma-ketlik yaqinlashishi yoki ajralishini muhokama qilamiz, shu jumladan qatorning yaqinlashishi yoki ajralishini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ko'plab testlar. Shuningdek, biz funktsiyani ifodalash uchun quvvat seriyasidan yoki Teylor seriyasidan foydalanish va bu qator uchun yaqinlashish radiusi va intervalini qanday topishni muhokama qilamiz.
Ketma-ketliklar - Ushbu bo'limda biz matematika darsidagi ketma-ketlik deganda nimani nazarda tutayotganimizni aniqlaymiz va ular bilan ishlatadigan asosiy belgilarni beramiz. Biz ushbu bo'limda asosiy terminologiya, ketma-ketliklar chegaralari va ketma-ketliklarning yaqinlashuviga e'tibor qaratamiz. Shuningdek, ketma-ketliklar bilan ishlashda bizga kerak bo'ladigan ko'plab asosiy faktlar va xususiyatlarni beramiz.
Sequences haqida ko'proq - Ushbu bo'limda biz ketma-ketlikni tekshirishni davom ettiramiz. Biz ketma-ketlikning ortib borayotgan ketma-ketlik yoki kamayuvchi ketma-ketlik ekanligini va shuning uchun u monotonik ketma-ketlik ekanligini aniqlaymiz. Shuningdek, biz ketma-ketlikni quyida chegaralangan, yuqorida chegaralangan va/yoki chegaralanganligini aniqlaymiz.
Serial - Asosiy - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorni rasmiy ravishda aniqlaymiz. Shuningdek, biz seriyani boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan ko'plab asosiy faktlar, xususiyatlar va usullarni beramiz. Shuningdek, biz cheksiz qator yaqinlashishi yoki ajralishini qanday aniqlashni qisqacha muhokama qilamiz (bu mavzuni chuqurroq muhokama qilish keyingi bo'limda bo'ladi).
Seriyalarning konvergentsiyasi/divergentsiyasi - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorlarning yaqinlashishi va divergensiyasini batafsilroq ko'rib chiqamiz. Cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun qisman yig'indilar qanday ishlatilishini ko'rsatamiz. Shuningdek, biz ushbu bo'limda seriyalar uchun Divergentsiya testini beramiz.
Maxsus seriya - Ushbu bo'limda biz muntazam ravishda paydo bo'ladigan yoki biz muhokama qilmoqchi bo'lgan yoqimli xususiyatlarga ega bo'lgan uchta seriyani ko'rib chiqamiz. Biz geometrik seriyalarni, teleskopik seriyalarni va garmonik seriyalarni ko'rib chiqamiz.
Integral test - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun Integral testdan foydalanishni muhokama qilamiz. Integral testdan ketma-ketlik shartlari ijobiy va kamayuvchi bo'lsa, cheksiz qatorda qo'llanilishi mumkin. Integral testning isboti ham berilgan.
Taqqoslash testi/Limit taqqoslash testi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralishini aniqlash uchun taqqoslash testi va chegara solishtirish testlaridan foydalanishni muhokama qilamiz. Ikkala testdan foydalanish uchun cheksiz qatorning shartlari ijobiy bo'lishi kerak. Ikkala test uchun dalillar ham berilgan.
Muqobil seriyali test - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun Alternativ seriyalar testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Muqobil seriyali testdan faqat seriya shartlari bir-birining belgisi bilan almashtirilgan taqdirdagina foydalanish mumkin. Muqobil seriyali testning isboti ham berilgan.
Mutlaq konvergentsiya - Ushbu bo'limda biz mutlaq yaqinlashuv va shartli yaqinlashuv va ularning cheksiz qatorlarning yaqinlashuvi bilan qanday bog'liqligini qisqacha muhokama qilamiz.
Nisbat sinovi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning mutlaq yaqinlashishi yoki ajralib chiqishini aniqlash uchun nisbat testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Nisbat testi har qanday qatorda qo'llanilishi mumkin, ammo afsuski, har doim ham ketma-ketlik mutlaq yaqinlashadimi yoki ajraladimi degan aniq javob bera olmaydi. Nisbatan testning isboti ham berilgan.
Ildiz testi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning mutlaq yaqinlashishi yoki ajralib chiqishini aniqlash uchun Ildiz testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Ildiz testi har qanday seriyada ishlatilishi mumkin, ammo afsuski, ketma-ketlik mutlaq yaqinlashadimi yoki ajraladimi degan aniq javobni har doim ham bera olmaydi. Ildiz testining isboti ham berilgan.
Seriallar uchun strategiya - Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Amaliy muammolar.
Seriyaning qiymatini baholash - Ushbu bo'limda biz integral test, taqqoslash testi, muqobil seriyalar testi va nisbatlar testidan qanday qilib cheksiz qator qiymatini baholash uchun foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz.
Quvvat seriyasi - Ushbu bo'limda biz darajalar qatorining ta'rifini, shuningdek, darajalar qatori uchun yaqinlashish radiusi va yaqinlashuv oralig'ining ta'rifini beramiz. Shuningdek, biz nisbatlar testi va ildiz testidan quvvat seriyasi uchun yaqinlashish radiusi va intervalini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Quvvat seriyalari va funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz konvergent geometrik qator formulasidan ba'zi funktsiyalarni kuch qatori sifatida ifodalash uchun qanday foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz. Geometrik seriya formulasidan foydalanish uchun funktsiyani ma'lum bir shaklga qo'yish imkoniyati bo'lishi kerak, bu ko'pincha imkonsizdir. Biroq, ushbu formuladan foydalanish funktsiyalarni quvvat seriyasi sifatida qanday ko'rsatish mumkinligini tezda ko'rsatadi. Shuningdek, biz kuch seriyalarining differentsiatsiyasi va integratsiyasini muhokama qilamiz.
Teylor seriyasi – Ushbu bo'limda biz funksiya uchun Teylor/Maclaurin seriyasini qanday topishni muhokama qilamiz. Bu avvalgi bo'limda ko'rib chiqilgan usuldan ko'ra ko'pincha yoqimsiz ish hisobiga juda kengroq turli xil funktsiyalar uchun ishlaydi. Biz, shuningdek, \(x=0\) atrofida \({\bf e}^{x}\) , \(\cos(x)\) va \(\sin(x)\) Teylor qatorlari uchun ba'zi mashhur formulalarni olamiz.
Seriya ilovalari - Ushbu bo'limda biz ketma-ket bir nechta ilovalarni tezda ko'rib chiqamiz. Boshqa usul bilan baholab bo'lmaydigan noaniq integrallar uchun qator ko'rinishini qanday topish mumkinligini ko'rsatamiz. Shuningdek, biz funktsiyani taxmin qilish uchun quvvat seriyasining birinchi bir necha shartlaridan qanday foydalanishimiz mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Binom seriyasi – Ushbu bo'limda biz binom teoremasini beramiz va \(n\) butun son bo'lganda, \( \left(a+b\right)^{n}\) ko'rinishidagi atamalarni tezda kengaytirish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz. Bundan tashqari, \(n\) butun son bo'lmasa, Binom teoremasining kengaytmasi atamaning darajali seriyali tasvirini berish uchun ishlatilishi mumkin.
Sequences haqida ko'proq - Ushbu bo'limda biz ketma-ketlikni tekshirishni davom ettiramiz. Biz ketma-ketlikning ortib borayotgan ketma-ketlik yoki kamayuvchi ketma-ketlik ekanligini va shuning uchun u monotonik ketma-ketlik ekanligini aniqlaymiz. Shuningdek, biz ketma-ketlikni quyida chegaralangan, yuqorida chegaralangan va/yoki chegaralanganligini aniqlaymiz.
Serial - Asosiy - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorni rasmiy ravishda aniqlaymiz. Shuningdek, biz seriyani boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan ko'plab asosiy faktlar, xususiyatlar va usullarni beramiz. Shuningdek, biz cheksiz qator yaqinlashishi yoki ajralishini qanday aniqlashni qisqacha muhokama qilamiz (bu mavzuni chuqurroq muhokama qilish keyingi bo'limda bo'ladi).
Seriyalarning konvergentsiyasi/divergentsiyasi - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorlarning yaqinlashishi va divergensiyasini batafsilroq ko'rib chiqamiz. Cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun qisman yig'indilar qanday ishlatilishini ko'rsatamiz. Shuningdek, biz ushbu bo'limda seriyalar uchun Divergentsiya testini beramiz.
Maxsus seriya - Ushbu bo'limda biz muntazam ravishda paydo bo'ladigan yoki biz muhokama qilmoqchi bo'lgan yoqimli xususiyatlarga ega bo'lgan uchta seriyani ko'rib chiqamiz. Biz geometrik seriyalarni, teleskopik seriyalarni va garmonik seriyalarni ko'rib chiqamiz.
Integral test - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun Integral testdan foydalanishni muhokama qilamiz. Integral testdan ketma-ketlik shartlari ijobiy va kamayuvchi bo'lsa, cheksiz qatorda qo'llanilishi mumkin. Integral testning isboti ham berilgan.
Taqqoslash testi/Limit taqqoslash testi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralishini aniqlash uchun taqqoslash testi va chegara solishtirish testlaridan foydalanishni muhokama qilamiz. Ikkala testdan foydalanish uchun cheksiz qatorning shartlari ijobiy bo'lishi kerak. Ikkala test uchun dalillar ham berilgan.
Muqobil seriyali test - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun Alternativ seriyalar testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Muqobil seriyali testdan faqat seriya shartlari bir-birining belgisi bilan almashtirilgan taqdirdagina foydalanish mumkin. Muqobil seriyali testning isboti ham berilgan.
Mutlaq konvergentsiya - Ushbu bo'limda biz mutlaq yaqinlashuv va shartli yaqinlashuv va ularning cheksiz qatorlarning yaqinlashuvi bilan qanday bog'liqligini qisqacha muhokama qilamiz.
Nisbat sinovi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning mutlaq yaqinlashishi yoki ajralib chiqishini aniqlash uchun nisbat testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Nisbat testi har qanday qatorda qo'llanilishi mumkin, ammo afsuski, har doim ham ketma-ketlik mutlaq yaqinlashadimi yoki ajraladimi degan aniq javob bera olmaydi. Nisbatan testning isboti ham berilgan.
Ildiz testi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning mutlaq yaqinlashishi yoki ajralib chiqishini aniqlash uchun Ildiz testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Ildiz testi har qanday seriyada ishlatilishi mumkin, ammo afsuski, ketma-ketlik mutlaq yaqinlashadimi yoki ajraladimi degan aniq javobni har doim ham bera olmaydi. Ildiz testining isboti ham berilgan.
Seriallar uchun strategiya - Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Amaliy muammolar.
Seriyaning qiymatini baholash - Ushbu bo'limda biz integral test, taqqoslash testi, muqobil seriyalar testi va nisbatlar testidan qanday qilib cheksiz qator qiymatini baholash uchun foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz.
Quvvat seriyasi - Ushbu bo'limda biz darajalar qatorining ta'rifini, shuningdek, darajalar qatori uchun yaqinlashish radiusi va yaqinlashuv oralig'ining ta'rifini beramiz. Shuningdek, biz nisbatlar testi va ildiz testidan quvvat seriyasi uchun yaqinlashish radiusi va intervalini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Quvvat seriyalari va funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz konvergent geometrik qator formulasidan ba'zi funktsiyalarni kuch qatori sifatida ifodalash uchun qanday foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz. Geometrik seriya formulasidan foydalanish uchun funktsiyani ma'lum bir shaklga qo'yish imkoniyati bo'lishi kerak, bu ko'pincha imkonsizdir. Biroq, ushbu formuladan foydalanish funktsiyalarni quvvat seriyasi sifatida qanday ko'rsatish mumkinligini tezda ko'rsatadi. Shuningdek, biz kuch seriyalarining differentsiatsiyasi va integratsiyasini muhokama qilamiz.
Teylor seriyasi – Ushbu bo'limda biz funksiya uchun Teylor/Maclaurin seriyasini qanday topishni muhokama qilamiz. Bu avvalgi bo'limda ko'rib chiqilgan usuldan ko'ra ko'pincha yoqimsiz ish hisobiga juda kengroq turli xil funktsiyalar uchun ishlaydi. Biz, shuningdek, \(x=0\) atrofida \({\bf e}^{x}\) , \(\cos(x)\) va \(\sin(x)\) Teylor qatorlari uchun ba'zi mashhur formulalarni olamiz.
Seriya ilovalari - Ushbu bo'limda biz ketma-ket bir nechta ilovalarni tezda ko'rib chiqamiz. Boshqa usul bilan baholab bo'lmaydigan noaniq integrallar uchun qator ko'rinishini qanday topish mumkinligini ko'rsatamiz. Shuningdek, biz funktsiyani taxmin qilish uchun quvvat seriyasining birinchi bir necha shartlaridan qanday foydalanishimiz mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Binom seriyasi – Ushbu bo'limda biz binom teoremasini beramiz va \(n\) butun son bo'lganda, \( \left(a+b\right)^{n}\) ko'rinishidagi atamalarni tezda kengaytirish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz. Bundan tashqari, \(n\) butun son bo'lmasa, Binom teoremasining kengaytmasi atamaning darajali seriyali tasvirini berish uchun ishlatilishi mumkin.
Vektorlar - Ushbu (juda qisqa) bobda biz vektorlar asoslarini ko'rib chiqamiz. Vektorlar uchun umumiy belgi, vektorlarning arifmetikasi, vektorlarning (va ilovalarning) nuqta mahsuloti va vektorlarning (va ilovalar) oʻzaro koʻpaytmasi kiradi.
Vektorlar - asoslar - Ushbu bo'limda biz vektorlar uchun ba'zi umumiy belgilar bilan bir qatorda vektorlar haqidagi ba'zi asosiy tushunchalarni, masalan, vektorning kattaligi va birlik vektorlari bilan tanishamiz. Shuningdek, biz vektorni uning boshlang'ich va oxirgi nuqtalaridan qanday topish mumkinligini ko'rsatamiz.
Vektor arifmetikasi – Ushbu bo'limda biz ikki vektor yig'indisi va ayirmasining matematik va geometrik talqinini muhokama qilamiz. Shuningdek, biz skalyar ko'paytirish uchun geometrik talqinni aniqlaymiz va beramiz. Shuningdek, vektor arifmetikasining ayrim asosiy xossalarini beramiz va vektorlar uchun umumiy \(i\), \(j\), \(k\) yozuvlarini kiritamiz.
Nuqta mahsuloti - Ushbu bo'limda biz ikkita vektorning nuqta mahsulotini aniqlaymiz. Biz nuqta hosilalarining ba'zi asosiy xususiyatlarini beramiz va ortogonal vektorlarni aniqlaymiz va ikkita vektor ortogonal yoki yo'qligini aniqlash uchun nuqta mahsulotidan qanday foydalanishni ko'rsatamiz. Biz ushbu bo'limda vektor proyeksiyalari va yo'nalish kosinuslarini topishni ham muhokama qilamiz.
Oʻzaro mahsulot - Ushbu bo'limda biz ikkita vektorning o'zaro ko'paytmasini aniqlaymiz va ko'ndalang mahsulotlarning ba'zi asosiy faktlari va xususiyatlarini beramiz.
Vektor arifmetikasi – Ushbu bo'limda biz ikki vektor yig'indisi va ayirmasining matematik va geometrik talqinini muhokama qilamiz. Shuningdek, biz skalyar ko'paytirish uchun geometrik talqinni aniqlaymiz va beramiz. Shuningdek, vektor arifmetikasining ayrim asosiy xossalarini beramiz va vektorlar uchun umumiy \(i\), \(j\), \(k\) yozuvlarini kiritamiz.
Nuqta mahsuloti - Ushbu bo'limda biz ikkita vektorning nuqta mahsulotini aniqlaymiz. Biz nuqta hosilalarining ba'zi asosiy xususiyatlarini beramiz va ortogonal vektorlarni aniqlaymiz va ikkita vektor ortogonal yoki yo'qligini aniqlash uchun nuqta mahsulotidan qanday foydalanishni ko'rsatamiz. Biz ushbu bo'limda vektor proyeksiyalari va yo'nalish kosinuslarini topishni ham muhokama qilamiz.
Oʻzaro mahsulot - Ushbu bo'limda biz ikkita vektorning o'zaro ko'paytmasini aniqlaymiz va ko'ndalang mahsulotlarning ba'zi asosiy faktlari va xususiyatlarini beramiz.
3 o'lchovli fazo - Ushbu bobda biz uch o'lchovli fazoni ko'rib chiqishni boshlaymiz. Ushbu bob odatda Calculus III ga tayyorgarlik ishidir va shuning uchun biz standart 3D koordinatalar tizimini hamda bir nechta muqobil koordinata tizimlarini ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz uch o'lchovli fazoda chiziqlar va tekisliklar tenglamalarini qanday topishni muhokama qilamiz. Biz ba'zi standart 3D sirtlarni va ularning tenglamalarini ko'rib chiqamiz. Bundan tashqari vektor funktsiyalari va ularning ba'zi ilovalari (tangens va normal vektorlar, yoy uzunligi, egrilik va tezlik va tezlanish) bilan tanishamiz.
3D koordinata tizimi - Ushbu bo'limda biz standart uch o'lchovli koordinatalar tizimini, shuningdek, uch o'lchovda ishlash uchun zarur bo'lgan ba'zi umumiy belgilar va tushunchalarni taqdim etamiz.
Chiziqlar tenglamalari – Ushbu bo'limda biz uch o'lchovli fazodagi chiziqlar tenglamasining vektor shakli va parametrik shaklini olamiz. Shuningdek, biz uch o'lchovli fazodagi chiziqlarning simmetrik tenglamalarini beramiz. Shuni ham yodda tutingki, bu shakllar ikki o'lchovli fazodagi chiziqlar uchun ham foydali bo'lishi mumkin.
Tekislik tenglamalari – Ushbu bo'limda biz tekislikning vektor va skalyar tenglamasini chiqaramiz. Shuningdek, tekislikda yotgan uchta nuqtadan tekislik tenglamasini yozishni ko'rsatamiz.
Kvadrat yuzalar - Ushbu bo'limda biz kvadrat yuzalarning ba'zi misollarini ko'rib chiqamiz. Kvadrat yuzalarga konuslar, silindrlar, ellipsoidlar va elliptik paraboloidlar misol bo'la oladi.
Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari haqidagi ba'zi muhim mavzularni qisqacha ko'rib chiqamiz. Xususan, biz bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining sohasini, shuningdek, daraja egri chizig'ini, tekis sirtlarni va izlarni topishni muhokama qilamiz.
Vektor funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz uch o'lchovli fazodagi egri chiziqlarga e'tibor qaratuvchi vektor funktsiyalari tushunchasini kiritamiz. Biroq, biz sirtlarga ham qisqacha tegamiz. Biz vektor funksiyaning sohasini qanday topishni va vektor funksiyaning grafigini qanday ko'rsatishni ko'rsatamiz. Shuningdek, biz vektor funktsiyalari va parametrik tenglamalar o'rtasidagi oddiy munosabatni ko'rsatamiz, bu ba'zida juda foydali bo'ladi.
Vektor funktsiyalari bilan hisoblash - Ushbu bo'limda biz vektor funktsiyalari bilan asosiy hisob-kitoblarni, ya'ni limitlar, hosilalar va integrallarni qanday qilish kerakligini muhokama qilamiz.
Tangens, normal va binormal vektorlar - Ushbu bo'limda biz tangens, normal va binormal vektorlarni aniqlaymiz.
Vektor funksiyalari bilan yoy uzunligi - Ushbu bo'limda biz materialning boshida qo'llagan yoy uzunligi formulasini vektor funktsiyasining yoy uzunligini topish uchun kengaytiramiz. Ko'rib turganimizdek, yangi formula haqiqatan ham biz ko'rgan formulaning deyarli tabiiy kengaytmasidir.
Egrilik – Ushbu bo'limda vektor funksiyaning egriligini (ya'nifunktsiya berilgan nuqtada qanchalik tez o'zgarishini) hisoblash uchun ikkita formulani beramiz.
Tezlik va tezlanish - Ushbu bo'limda biz lotinlarning standart qo'llanilishini, joylashuv funktsiyasi vektor funktsiyasi bilan berilgan ob'ektning tezligi va tezlanishini qayta ko'rib chiqamiz. Tezlanish uchun biz normal tezlanish va tangensial tezlanish uchun formulalarni beramiz.
Silindrsimon koordinatalar - Ushbu bo'limda biz silindrsimon koordinatalar tizimini, uch o'lchovli koordinatalar tizimi uchun muqobil koordinatalar tizimini aniqlaymiz. Ko'rib turganimizdek, silindrsimon koordinatalar haqiqatan ham qutb koordinatalarining uch o'lchamli sozlamalarga juda tabiiy kengayishidan boshqa narsa emas.
Sferik koordinatalar - Ushbu bo'limda biz sferik koordinatalar tizimini, uch o'lchovli koordinatalar tizimi uchun yana bir muqobil koordinatalar tizimini aniqlaymiz. Ushbu koordinatalar tizimi sferik jismlar bilan ishlash uchun juda foydali. Biz silindrsimon koordinatalar va sferik koordinatalar, shuningdek, dekart va sferik koordinatalar o'rtasida konvertatsiya qilish uchun formulalarni olamiz (ikkisidan ko'ra foydaliroq).
Chiziqlar tenglamalari – Ushbu bo'limda biz uch o'lchovli fazodagi chiziqlar tenglamasining vektor shakli va parametrik shaklini olamiz. Shuningdek, biz uch o'lchovli fazodagi chiziqlarning simmetrik tenglamalarini beramiz. Shuni ham yodda tutingki, bu shakllar ikki o'lchovli fazodagi chiziqlar uchun ham foydali bo'lishi mumkin.
Tekislik tenglamalari – Ushbu bo'limda biz tekislikning vektor va skalyar tenglamasini chiqaramiz. Shuningdek, tekislikda yotgan uchta nuqtadan tekislik tenglamasini yozishni ko'rsatamiz.
Kvadrat yuzalar - Ushbu bo'limda biz kvadrat yuzalarning ba'zi misollarini ko'rib chiqamiz. Kvadrat yuzalarga konuslar, silindrlar, ellipsoidlar va elliptik paraboloidlar misol bo'la oladi.
Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari haqidagi ba'zi muhim mavzularni qisqacha ko'rib chiqamiz. Xususan, biz bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining sohasini, shuningdek, daraja egri chizig'ini, tekis sirtlarni va izlarni topishni muhokama qilamiz.
Vektor funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz uch o'lchovli fazodagi egri chiziqlarga e'tibor qaratuvchi vektor funktsiyalari tushunchasini kiritamiz. Biroq, biz sirtlarga ham qisqacha tegamiz. Biz vektor funksiyaning sohasini qanday topishni va vektor funksiyaning grafigini qanday ko'rsatishni ko'rsatamiz. Shuningdek, biz vektor funktsiyalari va parametrik tenglamalar o'rtasidagi oddiy munosabatni ko'rsatamiz, bu ba'zida juda foydali bo'ladi.
Vektor funktsiyalari bilan hisoblash - Ushbu bo'limda biz vektor funktsiyalari bilan asosiy hisob-kitoblarni, ya'ni limitlar, hosilalar va integrallarni qanday qilish kerakligini muhokama qilamiz.
Tangens, normal va binormal vektorlar - Ushbu bo'limda biz tangens, normal va binormal vektorlarni aniqlaymiz.
Vektor funksiyalari bilan yoy uzunligi - Ushbu bo'limda biz materialning boshida qo'llagan yoy uzunligi formulasini vektor funktsiyasining yoy uzunligini topish uchun kengaytiramiz. Ko'rib turganimizdek, yangi formula haqiqatan ham biz ko'rgan formulaning deyarli tabiiy kengaytmasidir.
Egrilik – Ushbu bo'limda vektor funksiyaning egriligini (ya'nifunktsiya berilgan nuqtada qanchalik tez o'zgarishini) hisoblash uchun ikkita formulani beramiz.
Tezlik va tezlanish - Ushbu bo'limda biz lotinlarning standart qo'llanilishini, joylashuv funktsiyasi vektor funktsiyasi bilan berilgan ob'ektning tezligi va tezlanishini qayta ko'rib chiqamiz. Tezlanish uchun biz normal tezlanish va tangensial tezlanish uchun formulalarni beramiz.
Silindrsimon koordinatalar - Ushbu bo'limda biz silindrsimon koordinatalar tizimini, uch o'lchovli koordinatalar tizimi uchun muqobil koordinatalar tizimini aniqlaymiz. Ko'rib turganimizdek, silindrsimon koordinatalar haqiqatan ham qutb koordinatalarining uch o'lchamli sozlamalarga juda tabiiy kengayishidan boshqa narsa emas.
Sferik koordinatalar - Ushbu bo'limda biz sferik koordinatalar tizimini, uch o'lchovli koordinatalar tizimi uchun yana bir muqobil koordinatalar tizimini aniqlaymiz. Ushbu koordinatalar tizimi sferik jismlar bilan ishlash uchun juda foydali. Biz silindrsimon koordinatalar va sferik koordinatalar, shuningdek, dekart va sferik koordinatalar o'rtasida konvertatsiya qilish uchun formulalarni olamiz (ikkisidan ko'ra foydaliroq).