15-bob: Bir nechta integrallar
Bu yerda Hisob III eslatmalarining Ko'p karrali integrallar bo'limi uchun topshiriq masalalari to'plami. Shuni esda tutingki, bu muammolarni hal qilishning iloji yo'q. Bular asosan o'qituvchilar uchun mo'ljallangan bo'lib, ular bir qator muammolarni hal qilish uchun topshirilishi mumkin. Yechimlar (yoki hatto yakuniy javoblar) mavjud bo'lsa, muammolarning maqsadini yo'q qiladi.
Ikki tomonlama integrallar - Ushbu bo'limda biz ikki karrali integralni rasmiy ravishda aniqlaymiz, shuningdek ikki karrali integralning tezkor talqinini beramiz.
Takroriy integrallar - Ushbu bo'limda biz Fubini teoremasidan integratsiya mintaqasi to'rtburchak bo'lgan ikki karrali integrallarni baholash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Umumiy mintaqalar ustidagi ikki tomonlama integrallar – Ushbu bo'limda biz umumiy mintaqalar, ya'ni to'rtburchaklar bo'lmagan ya'ni mintaqalar bo'yicha ikki karrali integrallarni baholashni boshlaymiz. Funktsiyaning ikki karrali integralini funktsiya tomonidan berilgan sirt va \(xy\) tekislik orasidagi qattiq jismning aniq hajmi sifatida qanday talqin qilish mumkinligini ko'rsatamiz.
Qutb koordinatalarida ikki karrali integrallar – Ushbu bo'limda biz kartezian koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dA\)) qutb koordinatalariga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Bunday hollarda integratsiya hududlari disklar yoki halqalarning hammasi yoki qismlari bo'ladi va shuning uchun biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini Polar koordinatalariga aylantirishimiz kerak.
Uch karrali integrallar - Ushbu bo'limda biz uchlik integralni aniqlaymiz. Shuningdek, biz integratsiyaning uch o'lchovli hududidan integratsiya chegaralarini belgilashning bir nechta misollarini ko'rsatamiz. Integratsiya chegaralarini olish ko'pincha bu muammolarning qiyin qismidir.
Silindrsimon koordinatalarda uch karrali integrallar – Ushbu bo'limda biz dekart koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dV\)) Silindr koordinatalariga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini silindrsimon koordinatalarga aylantiramiz.
Sferik koordinatalarda uch karrali integrallar – Ushbu bo'limda biz dekart koordinatalarida integrallarni (jumladan, \(dV\)) Sferik koordinatalarga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz ushbu hududlar uchun dastlabki Dekart chegaralarini Sferik koordinatalarga aylantiramiz.
O'zgaruvchilarni almashtirish - Oldingilarda biz Dekart koordinatalarini Polar, Silindrsimon va Sferik koordinatalarga aylantirdik. Ushbu bo'limda biz ushbu fikrni umumlashtiramiz va Dekart koordinatalarida integrallarni muqobil koordinatalar tizimiga qanday aylantirishimizni muhokama qilamiz. Sferik koordinatalarga aylantirilganda \(dV\) konversiya formulasining hosilasi kiritiladi.
Sirt maydoni - Ushbu bo'limda biz ikki o'lchovli fazoda mintaqa ustida joylashgan sirt qismining sirt maydonini aniqlash uchun ikki karrali integraldan qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Maydon va hajm qayta koʻrib chiqildi – Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Vazifa topshiriqlari.