15.5-bo'lim : Uch karrali integrallar
9. \(z = 8 - {x^2} - {y^2}\) ostida \(z = - \sqrt {4{x^2} + 4{y^2}} \) ustidagi va \({x^2} + {y^2} = 4\) ichida joylashgan hudud hajmini aniqlash uchun uch karrali integraldan foydalaning.
Yechim
Xo'sh, keling, nima bilan shug'ullanayotganimizni his qilishimiz uchun hajmini xohlagan hududning qisqacha eskizi bilan boshlaylik. Biz bu hududni \(E\) deb ataymiz.
Biz "an'anaviy" o'qlar to'plami bilan bir qatorda "quti" o'qlari to'plami bilan eskizlarni berdik, bu sirt va mintaqani tasavvur qilishda yordam beradi.
Mintaqaning yuqori qismi (to'q sariq rangli sirt) \({x^2} + {y^2} = 4\) silindrining ichidagi elliptik paraboloid\(z = 8 - {x^2} - {y^2}\) grafigining qismidir. Mintaqaning pastki qismi \({x^2} + {y^2} = 4\) silindrining ichidagi \(z = - \sqrt {4{x^2} + 4{y^2}} \) konus grafigining qismidir. Mintaqaning devorlari (pastki qismini ko'rsatish uchun shaffof) \({x^2} + {y^2} = 4\) silindridir.
2-qadam
Bu qattiq jismning hajmi quyidagicha ifodalanadi:
\[V = \iiint\limits_{E}{{dV}}\]3-qadam
Shunday qilib, endi biz integral uchun o'rnatilgan chegaralarni olishimiz kerak. Yuqoridagi eskizdan biz birinchi navbatda z ga nisbatan integratsiya qilishimiz kerakligini ko'rishimiz mumkin, shuning uchun bu chegaralar.
\[ - \sqrt {4{x^2} + 4{y^2}} \le z \le 8 - {x^2} - {y^2}\]Bizga \(D\) uchun ham limitlar kerak bo'ladi. Bu holda \(D\) faqat \({x^2} + {y^2} \le 4\) tomonidan berilgan diskdir (i.e. \(xy\) tekisligining silindr ichidagi qismi. Bu \(xy\) tekisligida paraboloid va konusning grafigini tuzishimiz kerak bo'lgan mintaqa va \(D\) ham shunday.
\(D\) disk bo'lgani uchun \(D\) orqali integratsiya qilish uchun qutb koordinatalaridan foydalanish mantiqiy. Mana \(D\) uchun limitlar.
\[\begin{array}{c}0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le 2\end{array}\]Endi tovush integralini quyidagi tarzda o'rnatamiz.
\[V = \iiint\limits_{E}{{dV}} = \iint\limits_{D}{{\left[ {\int_{{ - \sqrt {4{x^2} + 4{y^2}} }}^{{8 - {x^2} - {y^2}}}{{\,dz}}} \right]\,dA}}\]Biz bilamizki, biz qutb koordinatalarida tashqi ikki karrali integralni bajarishimiz kerak, biz \(z\) integratsiyasini tugatmagunimizcha, bu chegaralarni qo'yishni to'xtatamiz.
4-qadam
Mayli, keling, \(z\) integratsiyasini qilaylik.
\[\begin{align*}V & = \iint\limits_{D}{{\left. z \right|_{ - \sqrt {4{x^2} + 4{y^2}} }^{8 - {x^2} - {y^2}}\,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{8 - {x^2} - {y^2} + \sqrt {4{x^2} + 4{y^2}} \,dA}}\end{align*}\]5-qadam
Endi integralni qutb koordinatalariga aylantiramiz. Shuni unutmangki, \({x^2} + {y^2} = {r^2}\) va \(dA = r\,dr\,d\theta \).
Qutb koordinatalari bo'yicha hajm integrali shunday bo'ladi:
\[\begin{align*}V & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{2}{{\left[ {8 - {r^2} + 2r} \right]r\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{2}{{8r - {r^3} + 2{r^2}\,dr}}\,d\theta }}\end{align*}\]6-qadam
\(r\) integratsiyasi shundan iboratki,
\[V = \int_{0}^{{2\pi }}{{\left. {\left( {4{r^2} - \frac{1}{4}{r^4} + \frac{2}{3}{r^3}} \right)} \right|_0^2\,d\theta }} = \int_{0}^{{2\pi }}{{\frac{{52}}{3}\,d\theta }}\]7-qadam
Nihoyat, mintaqa hajmini olish uchun juda oddiy \(\theta \) integralini hisoblashimiz mumkin.
\[V = \int_{0}^{{2\pi }}{{\frac{{52}}{3}\,d\theta }} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{104}}{3}\pi }}\]