15.5-bo'lim : Uch karrali integrallar
6. \( \displaystyle \iiint\limits_{E}{{yz\,dV}}\) ni baholang, bu erda \(E\) \(x = 2{y^2} + 2{z^2} - 5\) va \(x = 1\) tekisligi bilan chegaralangan mintaqadir.
Yechim
Mayli, keling, \(E\) hududining qisqacha chizmasidan boshlaylik, shunda biz nima bilan shug'ullanayotganimizni his qilishimiz mumkin.
Biz "an'anaviy" o'qlar to'plami bilan bir qatorda "quti" o'qlari to'plami bilan eskizlarni berdik, bu sirt va mintaqani tasavvur qilishda yordam beradi.
Bizga ma'lumki, \(x = 2{y^2} + 2{z^2} - 5\) elliptik paraboloid bo'lib, markaz \(x\) o'qida joylashgan va yuqoridagi eskizda ko'rsatilganidek, ijobiy \(x\) yo'nalishida ochiladi. Sirtdagi ko'k "qopqoq" \(x = 1\) tekisligining paraboloid ichiga to'g'ri keladigan qismidir.
2-qadam
Xo'sh, bu muammoni hal qilish uchun biz birinchi navbatda \(x\) bilan integratsiya qilishimiz kerakligi va \(D\) mintaqasi y\(z\) tekisligida bo'lishi aniq.
Shuning uchun bizda \(x\) uchun quyidagi limitlar mavjud.
\[2{y^2} + 2{z^2} - 5 \le x \le 1\]Esda tutingki, bu turdagi chegaralarni o'rnatishda biz orqadan oldinga o'tamiz va shuning uchun paraboloid pastki chegara bo'ladi, chunki u qattiq jismning "orqasida" joylashgan sirt, \(x = 1\) esa qattiq jismning "old"i va yuqori chegarasi.
ushbu limitlar bilan biz uch karra integralni ham hech bo'lmaganda qisman quyidagicha o'rnatishimiz mumkin.
\[\iiint\limits_{E}{{yz\,dV}} = \iint\limits_{D}{{\left[ {\int_{{2{y^2} + 2{z^2} - 5}}^{1}{{yz\,dx}}} \right]\,dA}}\]3-qadam
Keyinchalik, biz integralni sozlashni tugatishimiz uchun \(D\) uchun limitlar kerak bo'ladi. \(D\) ni aniqlash uchun bizga ikkita sirtning kesishishi kerak bo'ladi. Chorraha,
\[2{y^2} + 2{z^2} - 5 = 1\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in} 2{y^2} + 2{z^2} = 6\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}{y^2} + {z^2} = 3\]Endi, agar biz "old tomondan" qattiq narsaga qarasak, i.e. ijobiy \(x\) o'qi bo'ylab biz \({y^2} + {z^2} \le 3\) diskini ko'ramiz va shuning uchun bu \(D\) mintaqasi.
\(D\) mintaqasi qutb koordinatalarini aniq ko'rsatuvchi diskdir, biroq u "standart" \(xy\) qutb koordinatalari bo'lmaydi. \(D\) \(yz\) tekisligida bo'lgani uchun keling, quyidagi "o'zgartirilgan" qutb koordinatalaridan foydalanamiz.
\[y = r\sin \theta \,\hspace{0.25in}z = r\cos \theta \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{y^2} + {z^2} = {r^2}\]Bizning muammomiz uchun qutb koordinatalarining bu "ta'rifi" hali kerak emas, lekin oxir-oqibat bo'ladi.
Ayni paytda bizga kerak bo'lgan narsa - bu doira uchun qutb chegaralari va ular aniq tarzda berilishi kerak:
\[\begin{array}{c}0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le \sqrt 3 \end{array}\]Oldingi barcha muammolar bilan biz ushbu limitlar bilan integralni shu nuqtada yozamiz. Biroq, biz qutbli koordinatalarga o'tkazishimiz kerak bo'lganligi sababli, biz birinchi integratsiyani amalga oshirmagunimizcha, qutb koordinatalarida integralni yozishni to'xtatamiz.
4-qadam
Shunday qilib, bu erda \(x\) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\iiint\limits_{E}{{yz\,dV}} & = \iint\limits_{D}{{\left. {\left( {xyz} \right)} \right|_{2{y^2} + 2{z^2} - 5}^1\,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\left[ {1 - \left( {2{y^2} + 2{z^2} - 5} \right)} \right]yz\,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\left[ {6 - 2\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} \right]yz\,dA}}\end{align*}\]Keyingi bosqichga tayyorgarlik ko'rish uchun biz bu erda ozgina soddalashtirdik.
5-qadam
Endi biz 3-bosqichda aniqlagan o'zgartirilgan versiyadan foydalanib, integralni qutb koordinatalariga aylantirishimiz kerak.
Qutbli koordinatalarga aylantirilganda bu integral.
\[\begin{align*}\iiint\limits_{E}{{yz\,dV}} & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{{\sqrt 3 }}{{\left[ {6 - 2{r^2}} \right]\left( {r\sin \theta } \right)\left( {r\cos \theta } \right)r\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{{\sqrt 3 }}{{\left[ {6{r^3} - 2{r^5}} \right]\sin \theta \cos \theta \,dr}}\,d\theta }}\end{align*}\]6-qadam
Endi \(r\) integratsiyasini bajaramiz.
\[\begin{align*}\iiint\limits_{E}{{yz\,dV}} & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\left. {\left[ {\frac{3}{2}{r^4} - \frac{1}{3}{r^6}} \right]\sin \theta \cos \theta } \right|_0^{\sqrt 3 }\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\frac{9}{2}\sin \theta \cos \theta \,d\theta }}\end{align*}\]7-qadam
Va nihoyat, keling, \(\theta \) integratsiyasini amalga oshiramiz va integratsiyadan biroz oldin integralni "soddalashtirish" uchun sinus uchun ikki tomonlama burchak formulasidan foydalanamiz.
\[\iiint\limits_{E}{{yz\,dV}} = \int_{0}^{{2\pi }}{{\frac{9}{4}\sin \left( {2\theta } \right)\,d\theta }} = \left. {\left( { - \frac{9}{8}\cos \left( {2\theta } \right)} \right)} \right|_0^{2\pi } = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{0}\]Shunday qilib, biz barcha limitlarni o'rnatganimizdan so'ng, bu muammo uchun integratsiya unchalik yomon emas edi. Ko'pincha bu muammolar bilan shunday bo'ladi. O'rnatilgan integrallar uchun chegaralarni olish muammoning eng qiyin qismi bo'ladi, lekin har doim emas. Ular o'rnatilgach, integratsiya odatda juda oddiy.
Bundan tashqari, biz ushbu misolda ko'rganimizdek, qutb koordinatalarining "tashqi" ikki karrali integralda ko'rsatilishi odatiy hol emas va ular har doim qutb koordinatalarining "standart" \(xy\) ta'rifi bo'ladi deb kutishga hech qanday sabab yo'q, shuning uchun siz ularni uchta yo'nalishning har qandayida ishlatishga tayyor bo'lishingiz kerak (\(xy\), \(xy\) yoki MATHBLOCK6TH7). yuqoriga.