15.5-bo'lim : Uch karrali integrallar
4. \(\displaystyle \iiint\limits_{E}{{3 - 4x\,dV}}\) ni baholang, bunda \(E\) \(z = 4 - xy\) ostidagi mintaqa va \(xy\) tekisligida \(0 \le x \le 2\), \(0 \le y \le 1\) tomonidan aniqlangan mintaqadan yuqori.
Yechim
Mayli, keling, \(E\) hududining qisqacha chizmasidan boshlaylik, shunda biz nima bilan shug'ullanayotganimizni his qilishimiz mumkin.
Biz "an'anaviy" o'qlar to'plami bilan bir qatorda "quti" o'qlari to'plami bilan eskizlarni berdik, bu sirt va mintaqani tasavvur qilishda yordam beradi.
Mintaqaning yuqori qismi (to'q sariq rangli sirt) \(z = 4 - xy\) grafigidir. Ko'rsatilgan ikki tomon (ko'k va qizil yuzalar) mintaqaning yo'nalishini hisobga olgan holda biz ko'rishimiz mumkin bo'lgan mintaqaning ikki tomonini ko'rsatadi. Mintaqaning pastki qismi \(xy\)-samolyotidir.
2-qadam
Shunday qilib, yuqoridagi eskizdan biz \(z\) uchun quyidagi limitlarga ega bo'lishini bilamiz.
\[0 \le z \le 4 - xy\]ushbu limitlar bilan biz uch karra integralni ham hech bo'lmaganda qisman quyidagicha o'rnatishimiz mumkin.
\[\iiint\limits_{E}{{3 - 4x\,dV}} = \iint\limits_{D}{{\left[ {\int_{0}^{{4 - xy}}{{3 - 4x\,dz}}} \right]\,dA}}\]3-qadam
Keyinchalik, biz integralni sozlashni tugatishimiz uchun \(D\) uchun limitlar kerak bo'ladi. Bu holda, bu juda oddiy, masalan, biz \(D\) faqat \(xy\) tekisligidagi to'rtburchak ekanligini ko'rishimiz mumkin va aslida limitlar muammo bayonotida quyidagicha berilgan:
\[\begin{array}{c}0 \le x \le 2\\ 0 \le y \le 1\end{array}\]Haqiqatan ham, bitta buyurtma va ikkinchisini bajarishning hech qanday afzalligi yo'q, shuning uchun bu holda biz \(y\) va keyin \(x\) ni birlashtiramiz.
ushbu limitlar bizda mavjud integralga ulangan holda,
\[\iiint\limits_{E}{{3 - 4x\,dV}} = \int_{0}^{2}{{\int_{0}^{1}{{\int_{0}^{{4 - xy}}{{3 - 4x\,dz}}\,dy}}\,dx}}\]4-qadam
OK, endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu integralni baholash. Mana \(z\) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\iiint\limits_{E}{{3 - 4x\,dV}} & = \int_{0}^{2}{{\int_{0}^{1}{{\left. {\left( {3 - 4x} \right)z} \right|_0^{4 - xy}\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{2}{{\int_{0}^{1}{{\left( {3 - 4x} \right)\left( {4 - xy} \right)\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{2}{{\int_{0}^{1}{{4{x^2}y - 3xy - 16x + 12\,dy}}\,dx}}\end{align*}\]E'tibor bering, integranda hech qanday \(z\) bo'lmaganligi sababli biz butun integrandni doimiy deb hisobladik va yuqorida ko'rsatilganidek, faqat bitta \(z\) qo'shdik. Biz har bir atamani alohida-alohida osonlik bilan birlashtira olardik, ammo integrand bilan bitta atama sifatida ishlash osonroq tuyulardi.
5-qadam
Endi \(y\) integratsiyasini bajaramiz.
\[\begin{align*}\iiint\limits_{E}{{3 - 4x\,dV}} & = \int_{0}^{2}{{\left. {\left( {2{x^2}{y^2} - \frac{3}{2}x{y^2} - 16xy + 12y} \right)} \right|_0^1\,dx}}\\ & = \int_{0}^{2}{{12 - \frac{{35}}{2}x + 2{x^2}\,dx}}\end{align*}\]6-qadam
Nihoyat, \(x\) integratsiyasini qilaylik.
\[\iiint\limits_{E}{{3 - 4x\,dV}} = \left. {\left( {12x - \frac{{35}}{4}{x^2} + \frac{2}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^2 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - \frac{{17}}{3}}}\]Shunday qilib, biz barcha limitlarni o'rnatganimizdan so'ng, bu muammo uchun integratsiya unchalik yomon emas edi. Ko'pincha bu muammolar bilan shunday bo'ladi. O'rnatilgan integrallar uchun chegaralarni olish muammoning eng qiyin qismi bo'ladi, lekin har doim emas. Ular o'rnatilgach, integratsiya odatda juda oddiy.