15.5-bo'lim : Uch karrali integrallar
3. \( \displaystyle \iiint\limits_{E}{{6{z^2}\,dV}}\) ni baholang, bunda \(E\) birinchi oktantda \(4x + y + 2z = 10\) ostidagi mintaqadir.
Yechim
Mayli, keling, \(E\) hududining qisqacha chizmasidan boshlaylik, shunda biz nima bilan shug'ullanayotganimizni his qilishimiz mumkin.
Biz "an'anaviy" o'qlar to'plami bilan bir qatorda "quti" o'qlari to'plami bilan eskizlarni berdik, bu sirt va mintaqani tasavvur qilishda yordam beradi.
Ushbu muammo uchun \(E\) mintaqasi yuqorida ko'rsatilgan tekislik ostidagi va birinchi oktantdagi mintaqadir. Boshqacha qilib aytganda, yuqoridagi samolyotning eskizi aynan \(E\) mintaqasining yuqori qismidir. Mintaqaning pastki qismi \(xy\) tekisligi, tomonlari esa oddiygina \(yz\) va \(xz\) tekisliklari.
2-qadam
Shunday qilib, yuqoridagi eskizdan biz \(z\) uchun quyidagi limitlarga ega bo'lishini bilamiz.
\[0 \le z \le 5 - 2x - \frac{1}{2}y\]bu erda biz \(z\) yuqori chegarasini oddiygina \(z\) uchun tekislik tenglamasini yechish orqali oldik.
ushbu limitlar bilan biz uch karra integralni ham hech bo'lmaganda qisman quyidagicha o'rnatishimiz mumkin.
\[\iiint\limits_{E}{{6{z^2}\,dV}} = \iint\limits_{D}{{\left[ {\int_{0}^{{5 - 2x - \frac{1}{2}y}}{{6{z^2}\,dz}}} \right]\,dA}}\]3-qadam
Keyinchalik, biz integralni sozlashni tugatishimiz uchun \(D\) uchun limitlar kerak bo'ladi. Bu muammo uchun \(D\) oddiygina \(xy\) tekisligidagi mintaqadir (chunki biz avval \(z\) ga nisbatan integrasiya qilamiz) biz 1-bosqichda tekislikning grafigini tuzganmiz. Bu ham, bu holda \(D\)ni mintaqaning pastki qismiga aylantiradi.
Mana \(D\) eskizi.
\(D\) gipotenuzasi oddiygina 1-qadamdagi tekislikning va \(xy\) tekisligining kesishishidir, shuning uchun biz \(z = 0\) ni tekislik tenglamasiga ulab, uning tenglamasini tezda olishimiz mumkin.
Ushbu mintaqaning tabiatini va biz integratsiya qiladigan funksiyani hisobga olsak, biz \(D\) uchun integratsiyaning ikkala tartibidan ham foydalanishimiz mumkin. Shunday qilib, limitlarni hech bo'lmaganda biroz yaxshiroq ushlab turish uchun biz \(y\) va keyin \(x\) ni birlashtiramiz.
Mana \(D\) ustidan ikki karrali integral uchun chegaralar.
\[\begin{array}{c} \displaystyle 0 \le x \le \frac{5}{2}\\ 0 \le y \le 10 - 4x\end{array}\]Yuqori \(x\) chegarasi shunchaki \(y = 0\) ni gipotenuza tenglamasiga ulash va gipotenuzaning \(x\) o'qini qayerda kesishganini aniqlash uchun \(x\) ni hal qilish orqali topildi.
ushbu limitlar bizda mavjud integralga ulangan holda,
\[\iiint\limits_{E}{{6{z^2}\,dV}} = \int_{0}^{{\frac{5}{2}}}{{\int_{0}^{{10 - 4x}}{{\int_{0}^{{5 - 2x - \frac{1}{2}y}}{{6{z^2}\,dz}}\,dy}}\,dx}}\]4-qadam
OK, endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu integralni baholash. Mana \(z\) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\iiint\limits_{E}{{6{z^2}\,dV}} & = \int_{0}^{{\frac{5}{2}}}{{\int_{0}^{{10 - 4x}}{{\left. {\left( {2{z^3}} \right)} \right|_0^{5 - 2x - \frac{1}{2}y}\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{{\frac{5}{2}}}{{\int_{0}^{{10 - 4x}}{{2{{\left( {5 - 2x - \frac{1}{2}y} \right)}^3}dy}}\,dx}}\end{align*}\]Ushbu integralning integralini ko'paytirmang.
5-qadam
Oxirgi bosqichda ta'kidlanganidek, biz bu integralning integralini ko'paytirishni xohlamaymiz. Talabalarning bir nechta integrallar bilan qilgan eng katta xatolaridan biri bu integraldan keyin soddalashtirish rejimiga o'tish va hamma narsani ko'paytirishdir.
Ba'zan, albatta, buni qilish kerak, lekin bu holda, biz \(y\) integratsiyasini oddiy Calculus I almashtirish bilan osongina amalga oshirishimiz mumkinligini yodda tuting. Mana o'sha ish.
\[\begin{align*}\iiint\limits_{E}{{6{z^2}\,dV}} & = \int_{0}^{{\frac{5}{2}}}{{\left. { - {{\left( {5 - 2x - \frac{1}{2}y} \right)}^4}} \right|_0^{10 - 4x}\,dx}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}u = 5 - 2x - \frac{1}{2}y\\ & = \int_{0}^{{\frac{5}{2}}}{{{{\left( {5 - 2x} \right)}^4}\,dx}}\end{align*}\]Biz ushbu bosqichda ishlatilgan almashtirishni berdik, ammo almashtirish tafsilotlarini tekshirishni sizga qoldiramiz.
6-qadam
Yana bir bor e'tibor bering, biz "soddalashtirish" qila olamiz yoki bu integralni tugatish uchun boshqa almashtirishni amalga oshirishimiz mumkin. Mana, bu muammo uchun oxirgi integratsiya bosqichi. Almashtirish tafsilotlarini tekshirishni sizga qoldiramiz.
\[\begin{align*}\iiint\limits_{E}{{6{z^2}\,dV}} & = \int_{0}^{{\frac{5}{2}}}{{{{\left( {5 - 2x} \right)}^4}\,dx}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}u = 5 - 2x\\ & = \left. { - \frac{1}{{10}}{{\left( {5 - 2x} \right)}^5}} \right|_0^{\frac{5}{2}}\\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{625}}{2}}}\end{align*}\]Shunday qilib, biz barcha limitlarni o'rnatganimizdan so'ng, bu muammoni integratsiya qilish juda yomon emas edi, agar biz almashtirishlardan foydalangan bo'lsak. Ko'pincha bu muammolar bilan shunday bo'ladi. O'rnatilgan integrallar uchun chegaralarni olish muammoning eng qiyin qismi bo'ladi, lekin har doim emas. Ular o'rnatilgach, integratsiya odatda juda oddiy.
Bundan tashqari, yuqorida aytib o'tilganidek, asosiy Calculus I almashtirishlaringizni unutmang. Ulardan foydalanish ko'pincha xato qilish oson bo'lgan ba'zi tartibsiz algebralardan qochish imkonini beradi.