15.5-bo'lim : Uch karrali integrallar
2. \( \displaystyle \int_{0}^{1}{{\int_{0}^{{{z^{\,2}}}}{{\int_{0}^{3}{{y\cos \left( {{z^5}} \right)\,dx}}\,dy}}\,dz}}\) ni baholang
Yechim
Bu muammo uchun haqiqatan ham unchalik ko'p narsa yo'q. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - berilgan tartib bo'yicha integrallash va esda tutingki, xuddi qo'shaloq integrallarda bo'lgani kabi, biz "ichki" integraldan boshlaymiz va chiqish yo'limiz.
Shuni ham yodda tutingki, chegaralardan biri doimiy emasligi muammo emas. O'rnatilgan uch karrali integrallar faqat chegara sifatida doimiylarga ega bo'lishi kerak, degan hech narsa yo'q!
Shunday qilib, \(x\) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\int_{0}^{1}{{\int_{0}^{{{z^{\,2}}}}{{\int_{0}^{3}{{y\cos \left( {{z^5}} \right)\,dx}}\,dy}}\,dz}} & = \int_{0}^{1}{{\int_{0}^{{{z^{\,2}}}}{{\left. {\left( {y\cos \left( {{z^5}} \right)\,x} \right)} \right|_0^3\,dy}}\,dz}}\\ & = \int_{0}^{1}{{\int_{0}^{{{z^{\,2}}}}{{3y\cos \left( {{z^5}} \right)\,\,dy}}\,dz}}\end{align*}\]Esda tutingki, uch karra integratsiya xuddi qo'shaloq integratsiyaga o'xshaydi va biz integrallashayotganidan boshqa barcha o'zgaruvchilar doimiy hisoblanadi. Shunday qilib, \(x\) integratsiyasi uchun \(y\) va \(z\) konstantalar hisoblanadi.
2-qadam
Keyinchalik, biz \(y\) integratsiyasini amalga oshiramiz.
\[\begin{align*}\int_{0}^{1}{{\int_{0}^{{{z^{\,2}}}}{{\int_{0}^{3}{{y\cos \left( {{z^5}} \right)\,dx}}\,dy}}\,dz}}& = \int_{0}^{1}{{\left. {\left( {\frac{3}{2}{y^2}\cos \left( {{z^5}} \right)} \right)} \right|_0^{{z^2}}\,dz}}\\ & = \int_{0}^{1}{{\frac{3}{2}{z^4}\cos \left( {{z^5}} \right)\,dz}}\end{align*}\]3-qadam
Nihoyat, biz \(z\) integratsiyasini amalga oshiramiz va shuni ta'kidlaymizki, biz ushbu integratsiyani amalga oshirishning yagona yo'li hozir integranda bo'lgan \({z^4}\) tufaylidir. Agar bu mavjud bo'lmasa, biz bu integralni bajara olmaymiz.
\[\int_{0}^{1}{{\int_{0}^{{{z^{\,2}}}}{{\int_{0}^{3}{{y\cos \left( {{z^5}} \right)\,dx}}\,dy}}\,dz}} = \left. {\left( {\frac{3}{{10}}\sin \left( {{z^5}} \right)} \right)} \right|_0^1 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{3}{{10}}\sin \left( 1 \right) = 0.2524}}\]Shunday qilib, bu muammoni hal qilish juda ko'p emas, chunki biz uchun limitlar allaqachon o'rnatilgan.