Endi biz ushbu sirt/mintaqaning sirt maydonini beradigan integralni o'rnatishimiz kerak.

Birinchidan, simmetriya bo'yicha qizil va sariq yuzalar bir xil sirt maydoniga ega bo'lishi kerakligiga e'tibor bering, chunki ular bir xil silindrning yuqori/pastki qismidir. Xuddi shunday, ko'k va yashil yuzalar bir xil sirt maydoniga ega bo'ladi.

Keyinchalik, bu sirtni tashkil etuvchi silindrlarning ikkalasi ham bir xil radiusga ega bo'lganligi sababli, yuqori / pastki va o'ng / chap qismlar ham bir xil sirt maydoniga ega bo'lishi kerak.

Demak, bu shuni anglatadiki, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa yuqorida ko'rsatilgan to'rtta sirtdan birining sirt maydonini olish va biz bu raqamni to'rtga ko'paytirish orqali to'liq sirt maydonini olishimiz mumkin.

Shunday qilib, yuqoridagi eskizning qizil qismining sirt maydonini olaylik. Buni amalga oshirish uchun biz \(z\) uchun \({x^2} + {z^2} = 4\) ni hal qilishimiz kerak,

\[z = \pm \sqrt {4 - {x^2}} \]

“+” tenglamasi eskizning qizil qismini, “-” tenglamasi esa eskizning sariq qismini beradi.

Shunday qilib, qizil qismning sirt maydonini beradigan integralni o'rnatamiz. Integral bu,

\[\begin{align*}S & = \iint\limits_{D}{{\sqrt {{{\left[ {{f_x}} \right]}^2} + {{\left[ {{f_y}} \right]}^2} + 1} \,dA}} = \iint\limits_{D}{{\sqrt {{{\left[ {\frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} \right]}^2} + {{\left[ 0 \right]}^2} + 1} \,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} + 1} \,dA}} = \iint\limits_{D}{{\sqrt {\frac{{{x^2} + \left( {4 - {x^2}} \right)}}{{4 - {x^2}}}} \,dA}} = \iint\limits_{D}{{\sqrt {\frac{4}{{4 - {x^2}}}} \,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\frac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\,dA}}\end{align*}\]

Formuladagi hosilalardan biri nolga teng bo'lganidan hayajonlanmang. Bu ba'zida sodir bo'ladi, shuning uchun biz bu sodir bo'lganda hayajonlanishni xohlamaymiz.

E'tibor bering, biz juda ko'p soddalashtirdik. Shunisi e'tiborga loyiqki, \(x\) hosilasi va kvadratini olgandan so'ng, biz bir xil dominatorga ega bo'lish uchun radikal ostidagi shartlarni o'rnatdik. Bu, o'z navbatida, radikal ostida bitta ratsional ifodani berdi, biz ham suratning, ham maxrajning ildizini osongina olishimiz mumkin edi.

Oxir-oqibat ko'rib turganimizdek, bu soddalashtirish integral baholash ishini ancha soddalashtiradi.

Endi biz integralimiz uchun \(D\) mintaqasini aniqlashimiz kerak. Agar biz sirtga to'g'ridan-to'g'ri yuqoridan qarasak (i.e. \(z\) o'qi bo'ylab pastga) biz quyidagi rasmni ko'ramiz.

Moviy doira aslida \({x^2} + {y^2} = 4\) silindridir va qizil maydon \({x^2} + {y^2} = 4\) ichidagi \({x^2} + {z^2} = 4\) ning yuqori qismidir.

Endi, umuman olganda, ushbu mintaqani ko'rish bizni integral qilish uchun qutb koordinatalaridan foydalanishni taklif qiladi (va ehtimol kerak). Biroq, bu integralni bajarish uchun qutbli koordinatalardan foydalanish unchalik qiyin bo'lmasa-da, (siz buni amaliyot uchun qilishni xohlashingiz mumkin), aslida dekart koordinatalarini ishlatish osonroq (bu holda!).

Dekart koordinatalari nuqtai nazaridan qizil disk uchun quyidagi chegaralardan foydalanamiz.

\[\begin{array}{c} - 2 \le x \le 2\\ - \sqrt {4 - {x^2}} \le y \le \sqrt {4 - {x^2}} \end{array}\]

\(y\) chegaralari uchun biz aylananing pastki qismidan yuqori qismiga o'tamiz.

OK, endi integralni o'rnatamiz.

\[S = \iint\limits_{D}{{\frac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\,dA}} = \int_{{ - 2}}^{2}{{\int_{{ - \sqrt {4 - {x^2}} }}^{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{\frac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\,dy}}\,dx}}\]

Keyinchalik, integralni baholaymiz.

\[\begin{align*}S & = \int_{{ - 2}}^{2}{{\int_{{ - \sqrt {4 - {x^2}} }}^{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{\frac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{{ - 2}}^{2}{{\left. {\frac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}y} \right|_{ - \sqrt {4 - {x^2}} }^{\sqrt {4 - {x^2}} }\,dx}}\\ & = \int_{{ - 2}}^{2}{{\frac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\left( {\sqrt {4 - {x^2}} - \left( { - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right)\,dx}}\\ & = \int_{{ - 2}}^{2}{{\frac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\left( {2\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\,dx}}\\ & \int_{{ - 2}}^{2}{{4\,dx}}\\ & = \left. {4x} \right|_{ - 2}^2 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{16}}\end{align*}\]

Biz hamma narsani aniq qilish uchun bu erda mutlaqo talab qilinadigan yana bir nechta qadamlarni qo'ydik, ammo bu erda integralni Dekart koordinatalari nuqtai nazaridan saqlash juda oddiy ekanligini ko'rishingiz mumkin.

Bu shuni ko'rsatadiki, qutbli koordinatalarga o'tkazish va narsalarni Kartezian koordinatalarida saqlash kabi narsalarni qilishda haqiqatan ham qattiq va tezkor qoidalar yo'q. Bizga ko'pincha aylanani ko'rish va darhol qutb koordinatalariga aylantirishni o'rgatishgan bo'lsa-da, bu muammo vaqti-vaqti bilan buni talab qilmaydigan muammolar mavjudligini ko'rsatdi!

OK, nihoyat sirt maydonini olamiz. Bu muammoning katta qismi oxirgi ikki bosqichda qilgan ishlarimizga qaratilgan ediki, biz nima qilayotganimizni unutish oson.

Eslatib o'tamiz, 5-bosqichdagi javob bizning sirtimizning qizil qismining sirt maydoni edi. To'liq sirt maydoni bundan to'rt baravar katta va shuning uchun butun sirtning sirt maydoni 16x4 = 64.