17.4-bo'lim : Vektor maydonlarining sirt integrallari
2. \( \displaystyle \iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot \,d\vec S}}\) ni baholang, bunda \(\vec F = - x\,\vec i + 2y\,\vec j - z\,\vec k\) va \(S\) \(y = 3{x^2} + 3{z^2}\) ning musbat \(y\) o'qi yo'nalishiga yo'naltirilgan \(y = 6\) orqasida joylashgan qismidir.
Yechim
Keling, ushbu muammoni hal qilishda biz ishlayotgan sirtning qisqacha eskizi bilan boshlaylik.
E'tibor bering, bu muammodagi sirt faqat elliptik paraboloiddir va \(y = 6\) da "qopqoq" ni o'z ichiga olmaydi. Agar muammo aniq bo'lishi uchun qandaydir tarzda belgilab qo'ygan bo'lsa, biz "qopqoq" ni kiritgan bo'lardik.
Bu holda \(D\) ikkita tenglamani teng yoki teng o'rnatish orqali biz oladigan doira/disk bo'ladi,
\[6 = 3{x^2} + 3{z^2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{x^2} + {z^2} = 2\]Shunday qilib, \(D\) \({x^2} + {z^2} \le 2\) diski bo'ladi.
2-qadam
Keling, endi integralni o'rnatamiz. Bu holda biz sirt tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[f\left( {x,y,z} \right) = 3{x^2} + 3{z^2} - y = 0\]U holda sirt uchun birlik normal vektor,
\[\vec n = \frac{{\nabla f}}{{\left\| {\nabla f} \right\|}} = \frac{{\left\langle {6x, - 1,6z} \right\rangle }}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\]Biz gradientning kattaligini hisoblamadik, chunki biz integral bilan ishlashni boshlaganimizda u bekor qilinishini bilamiz.
Shuni ham yodda tutingki, bu holda biz yuqorida hisoblagan normal vektor to'g'ri yo'nalishga ega emas. Muammo bayonotida bizga yo'nalish musbat \(y\) o'qi yo'nalishida ekanligi aytildi va bu normal vektor har doim ijobiy \(y\) o'qining umumiy yo'nalishini ko'rsatishi kerakligini anglatadi (i.e. ijobiy \(y\) komponenti) va bu emas.
Biroq, buni tuzatish oson. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa yuqoridagi normal vektorni minus birga ko'paytirish va biz kerakli narsani olamiz. Shunday qilib, bu muammo uchun bizga kerak bo'lgan normal vektor.
\[\vec n = - \frac{{\nabla f}}{{\left\| {\nabla f} \right\|}} = \frac{{\left\langle { - 6x,1, - 6z} \right\rangle }}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\]Ko'rib turganimizdek, bu normal vektor aslida bizga kerak bo'lgan ijobiy \(y\) komponentiga ega.
3-qadam
Keyinchalik, biz quyidagi nuqta mahsulotini hisoblashimiz kerak.
\[\begin{align*}\vec F\left( {x,3{x^2} + 3{z^2},z} \right)\centerdot \vec n & = \left\langle { - x,2\left( {3{x^2} + 3{z^2}} \right), - z} \right\rangle \centerdot \frac{{\left\langle { - 6x,1, - 6z} \right\rangle }}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\\ & = \frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left( {6{x^2} + 2\left( {3{x^2} + 3{z^2}} \right) + 6{z^2}} \right)\\ & = \frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left[ {12\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} \right]\end{align*}\]Esda tutingki, biz \(y = 3{x^2} + 3{z^2}\) sirt tenglamasini vektor maydonidagi \(y\) ga ulashimiz kerak edi!
U holda integral,
\[\begin{align*}\iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot \,d\vec S}} & = \iint\limits_{S}{{\frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left[ {12\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} \right]\,dS}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left[ {12\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} \right]\left\| {\nabla f} \right\|\,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{12\left( {{x^2} + {z^2}} \right)\,dA}}\end{align*}\]Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, gradientning kattaligini hisoblashning hojati yo'q edi, chunki biz sirt integralini "normal" ikki karrali integralga aylantirganimizda bekor qilinadi.
Shuni ham yodda tutingki, \(D\) 1-bosqichda berilgan va bu faqat \({x^2} + {z^2} \le 2\) diskidir.
4-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - ikki karrali integralni baholash va bu hozir juda qiyin bo'lmasligi kerak.
Shuni ham yodda tutingki, biz qutbli koordinatalarni ikki karrali integralda ishlatmoqchimiz. Biz quyidagi qutb koordinatalaridan foydalanamiz.
\[x = r\cos \theta \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}z = r\sin \theta \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{x^2} + {z^2} = {r^2}\]\(D\) uchun qutb chegaralari:
\[\begin{array}{c}0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le \sqrt 2 \end{array}\]U holda integral,
\[\begin{align*}\iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot \,d\vec S}} & = \iint\limits_{D}{{12\left( {{x^2} + {z^2}} \right)\,dA}}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{{\sqrt 2 }}{{12{r^3}\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\left. {3{r^4}} \right|_0^{\sqrt 2 }\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{12\,d\theta }} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{24\pi }}\end{align*}\]Shuni unutmangki, biz qutbli koordinatalarga o'tishda \(dA\) dan qo'shimcha \(r\) ni olamiz.