17.4-bo'lim : Vektor maydonlarining sirt integrallari
1. \( \displaystyle \iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot \,d\vec S}}\) ni baholang, bunda \(\vec F = 3x\,\vec i + 2z\,\vec j + \left( {1 - {y^2}} \right)\vec k\) va \(S\) \(z = 2 - 3y + {x^2}\) ning uchburchak ustida joylashgan qismidir.
\) - cho'qqilari \(\left( {0,0} \right)\), \(\left( {2,0} \right)\) va \(\left( {2, - 4} \right)\) bo'lgan tekislik salbiy tomonga yo'naltirilgan z- o'q yo'nalishi.Yechim
Keling, ushbu muammoni hal qilishda biz ishlayotgan sirtning qisqacha eskizi bilan boshlaylik.
Biz an'anaviy o'qlari bo'lgan eskizni va sirtni ingl.
To'q sariq sirt bu muammoda biz ishlayotgan \(z = 2 - 3y + {x^2}\) eskizidir. Sirt ostidagi yashil rangli uchburchak - bu sirt ostida joylashgan muammo bayonotida ko'rsatilgan uchburchak. Ushbu uchburchak ushbu muammo uchun \(D\) mintaqasi bo'ladi.
Mana, yuqoridagi eskizdagi asosan xiralashgan ko'rinishdan yaxshiroq ko'rish uchun \(D\) ning qisqacha eskizi.
Qaysi to‘plamni integralda ishlatishni o‘rnatganimizdan so‘ng hal qilamiz.
2-qadam
Keling, endi integralni o'rnatamiz. Bu holda biz sirt tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[f\left( {x,y,z} \right) = 2 - 3y + {x^2} - z = 0\]U holda sirt uchun birlik normal vektor,
\[\vec n = \frac{{\nabla f}}{{\left\| {\nabla f} \right\|}} = \frac{{\left\langle {2x, - 3, - 1} \right\rangle }}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\]Biz gradientning kattaligini hisoblamadik, chunki biz integral bilan ishlashni boshlaganimizda u bekor qilinishini bilamiz.
Shuni ham yodda tutingki, bu holda biz yuqorida hisoblagan normal vektor to'g'ri yo'nalishga ega. Muammo bayonotida bizga yo'nalish manfiy \(z\) o'qi yo'nalishida ekanligi aytildi va bu normal vektor har doim pastga yo'nalishga ega bo'lishi kerakligini anglatadi (i.e. salbiy \(z\) komponenti) va bu shunday qiladi.
3-qadam
Keyinchalik, biz quyidagi nuqta mahsulotini hisoblashimiz kerak.
\[\begin{align*}\vec F\left( {x,y,2 - 3y + {x^2}} \right)\centerdot \vec n & = \left\langle {3x,2\left( {2 - 3y + {x^2}} \right),1 - {y^2}} \right\rangle \centerdot \frac{{\left\langle {2x, - 3, - 1} \right\rangle }}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\\ & = \frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left( {6{x^2} - 6\left( {2 - 3y + {x^2}} \right) - \left( {1 - {y^2}} \right)} \right)\\ & = \frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left( {{y^2} + 18y - 13} \right)\end{align*}\]Esda tutingki, biz \(z = 2 - 3y + {x^2}\) sirt tenglamasini vektor maydonidagi \(z\) ga ulashimiz kerak edi!
U holda integral,
\[\begin{align*}\iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot \,d\vec S}} & = \iint\limits_{S}{{\frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left( {{y^2} + 18y - 13} \right)\,dS}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left( {{y^2} + 18y - 13} \right)\left\| {\nabla f} \right\|\,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{{y^2} + 18y - 13\,dA}}\end{align*}\]Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, gradientning kattaligini hisoblashning hojati yo'q edi, chunki biz sirt integralini "normal" ikki karrali integralga aylantirganimizda bekor qilinadi.
Shuningdek, \(D\) 1-bosqichda berilganligini eslang. Bu yerda foydalanish uchun ikkita chegaralar to‘plami bor edi, lekin birinchi to‘plamdan foydalanish xuddi shunday oson bo‘lganga o‘xshaydi, shuning uchun biz uni integralda ishlatamiz.
4-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - ikki karrali integralni baholash va bu hozir juda qiyin bo'lmasligi kerak.
Mana integral,
\[\begin{align*}\iint\limits_{S}{{\vec F\centerdot \,d\vec S}} & = \iint\limits_{D}{{{y^2} + 18y - 13\,dA}}\\ & = \int_{0}^{2}{{\int_{{ - 2x}}^{0}{{{y^2} + 18y - 13\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{2}{{\left. {\left( {\frac{1}{3}{y^3} + 9{y^2} - 13y} \right)} \right|_{ - 2x}^0\,dx}}\\ & = \int_{0}^{2}{{\frac{8}{3}{x^3} - 36{x^2} - 26x\,dx}}\\ & = \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^4} - 12{x^3} - 13{x^2}} \right)} \right|_0^2 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - \frac{{412}}{3}}}\end{align*}\]