17.2-bo'lim : Parametrik yuzalar
5. 6 radiusli sharning \(x \ge 0\) bilan qismi.
Yechim
Bizda sharning bir qismi borligi sababli, biz sferik koordinatalarni aylantirish formulalaridan boshlaymiz.
\[x = \rho \sin \varphi \cos \theta \hspace{0.5in}y = \rho \sin \varphi \sin \theta \hspace{0.5in}z = \rho \cos \varphi \]Biroq, biz aslida sharning yuzasidamiz va shuning uchun biz \(\rho = 6\) ekanligini bilamiz. Bu bilan konversiya formulalari shunday bo'ladi:
\[x = 6\sin \varphi \cos \theta \hspace{0.5in}y = 6\sin \varphi \sin \theta \hspace{0.5in}z = 6\cos \varphi \]2-qadam
To'liq sferani beradigan parametrik tenglamalar to'plami shunday bo'ladi:
\[\vec r\left( {\theta ,\varphi } \right) = \left\langle {x,y,z} \right\rangle = \left\langle {6\sin \varphi \cos \theta ,6\sin \varphi \sin \theta ,6\cos \varphi } \right\rangle \]Esda tutingki, biz faqat \(x\), \(y\) va \(z\) uchun konvertatsiya formulalarini \(\left\langle {x,y,z} \right\rangle \) vektorining \(x\), \(y\) va \(z\) komponentlariga ulashimiz va bizda parametrik tenglamalar to‘plami bor. Shuni ham yodda tutingki, natijada olingan vektor tenglama \(\theta \) va \(\varphi \) nuqtai nazaridan tenglama bo'lgani uchun ular parametrik tenglamalar to'plamimiz uchun ham o'zgaruvchilar bo'ladi.
3-qadam
Nihoyat, biz bu erda to'liq sohani istamasligimiz bilan shug'ullanishimiz kerak. Biz faqat \(x \ge 0\) uchun sfera qismini xohlaymiz.
Agar \(\theta \) ni \( - \frac{1}{2}\pi \le \theta \le \frac{1}{2}\pi \) diapazoniga cheklab qo'ysak, biz \(x\)ni ushbu diapazonga cheklashimiz mumkin.
Biz \(z\)-ga hech qanday limitlar qo‘ymadik, shuning uchun biz \(\varphi \) yoki \(0 \le \varphi \le \pi \)-ning to‘liq spektrini olamiz. Eslatib o'tamiz, \(\varphi \) sharsimon koordinatalardagi nuqta musbat \(z\) o'qi bilan hosil qiladigan burchakdir va shuning uchun biz \(z\)ni cheklamoqchi bo'lsak (masalan, \(z \le 0\)) cheklashimiz kerak bo'lgan miqdordir.
Bularning barchasini jamlagan holda, biz kutayotgan sirt qismi uchun quyidagi parametrik tenglamalar to'plamini beradi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\vec r\left( {\theta ,\varphi } \right) = \left\langle {6\sin \varphi \cos \theta ,6\sin \varphi \sin \theta ,6\cos \varphi } \right\rangle \,\,\,\,\,\,\,\, - \frac{1}{2}\pi \le \theta \le \frac{1}{2}\pi \,\,\,\,,\,\,\,\,\,0 \le \varphi \le \pi }}\]