17.2-bo'lim : Parametrik yuzalar
4. \(y = 4 - {x^2} - {z^2}\) ning \(y = - 6\) oldidagi qismi.
Yechim
Xo'sh, bu holda parametrik tenglamalarning asosiy to'plami juda oson, chunki bizda "\(y\) =" ko'rinishidagi tenglama mavjud.
To'liq sirtni beradigan parametrik tenglamalar to'plami shunchaki,
\[\vec r\left( {x,z} \right) = \left\langle {x,y,z} \right\rangle = \left\langle {x,4 - {x^2} - {z^2},z} \right\rangle \]Esda tutingki, parametrik tenglamalarni olish uchun biz faqat \(\left\langle {x,y,z} \right\rangle \) vektorining \(y\) komponentiga \(y\) tenglamasini kiritishimiz kerak.
2-qadam
Va nihoyat, biz faqat biz izlayotgan sirt qismini olish uchun \(x\) va \(z\)-ni cheklashimiz kerak. Bu juda oddiy, ammo bizga faqat \(y = - 6\) oldidagi qism kerakligi berilgan.
Bu \(y \ge - 6\) ni talab qilish bilan teng va bizda sirt tenglamasi bor, shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa buni tengsizlikka kiritish va biroz qayta yozish. Shunday qilib,
\[4 - {x^2} - {z^2} \ge - 6\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + {z^2} \le 10\]Boshqacha qilib aytganda, biz faqat \(\sqrt {10} \) radiusi diskida joylashgan \(\left( {x,z} \right)\) nuqtalarini xohlaymiz.
Bularning barchasini jamlagan holda, biz kutayotgan sirt qismi uchun quyidagi parametrik tenglamalar to'plamini beradi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\vec r\left( {x,z} \right) = \left\langle {x,4 - {x^2} - {z^2},z} \right\rangle \,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + {z^2} \le 10}}\]