17.2-bo'lim : Parametrik yuzalar
3. \( - 1 \le z \le 6\) uchun \({x^2} + {y^2} = 5\) silindr.
Yechim
Bu sirt shunchaki silindr bo'lgani uchun bizga \(xy\) tekisligidagi qutb koordinatalari bilan silindrsimon koordinatalarni aylantirish formulalari kerak (chunki silindr \(x\) va \(y\) ko'rinishida berilgan).
Konvertatsiya tenglamalari,
\[x = r\cos \theta \hspace{0.5in}y = r\sin \theta \hspace{0.5in}z = z\]Biroq, eslang, biz aslida silindr yuzasidamiz va shuning uchun biz \(r = \sqrt 5 \) ekanligini bilamiz. Konvertatsiya tenglamalari u holda,
\[x = \sqrt 5 \cos \theta \hspace{0.5in}y = \sqrt 5 \sin \theta \hspace{0.5in}z = z\]2-qadam
Endi biz silindr uchun parametrik tenglamalar to'plamini yozishimiz mumkin. Ular,
\[\vec r\left( {z,\theta } \right) = \left\langle {x,y,z} \right\rangle = \left\langle {\sqrt 5 \cos \theta ,\sqrt 5 \sin \theta ,z} \right\rangle \]Esda tutingki, biz faqat \(x\), \(y\) va \(z\) uchun konvertatsiya formulalarini \(\left\langle {x,y,z} \right\rangle \) vektorining \(x\), \(y\) va \(z\) komponentlariga ulashimiz va bizda parametrik tenglamalar to‘plami bor. Shuni ham yodda tutingki, natijada olingan vektor tenglama \(z\) va \(\theta \) nuqtai nazaridan tenglama bo'lgani uchun ular parametrik tenglamalar to'plamimiz uchun ham o'zgaruvchilar bo'ladi.
3-qadam
Endi, yuqoridagi parametrik tenglamalar to'plami bilan bog'liq yagona muammo shundaki, ular to'liq silindr uchundir va biz buni xohlamaymiz. Biz faqat \(z\) ning berilgan diapazonida silindrni xohlaymiz, shuning uchun bu muammoni hal qilish uchun o'zgaruvchilarimizga limitlar yoki diapazonlar to'plamini qo'shishimiz kerak.
Shunday qilib,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\vec r\left( {z,\theta } \right) = \left\langle {\sqrt 5 \cos \theta ,\sqrt 5 \sin \theta ,z} \right\rangle \,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 \le z \le 6\,\,\,,\,\,0 \le \theta \le 2\pi }}\]E'tibor bering, \(z\) diapazoni muammo bayonotida berilgan diapazondir va \(\theta \) diapazoni to'liq noldan \(2\pi \) diapazoniga teng, chunki biz \(\theta \) ga nisbatan silindrning biz xohlagan qismini cheklash haqida hech narsa aytilmagan (masalan, silindrning faqat yuqori yarmi).