ParametricSurfaces - 2-masala yechimi | MathModel.uz

17.2-bo'lim : Parametrik yuzalar

2. 1 da joylashgan $7x + 3y + 4z = 15$ tekisligi uchun parametrik tenglamalar to‘plamini yozing.^st oktant.

Yechim

Bu muammo haqiqatan ham avvalgi muammoning kengaytmasi, shuning uchun biz bu safar samolyot uchun parametrik tenglamalar to'plamini biroz tezroq qayta tuzamiz.

Birinchidan, biz uchta o'zgaruvchining har biri uchun tenglamani echishimiz kerak. Bu holda biz $z$ ni hal qilamiz,

\[z = \frac{{15}}{4} - \frac{7}{4}x - \frac{3}{4}y\]

Bu tekislikning parametrik tenglamasi,

\[\vec r\left( {x,y} \right) = \left\langle {x,y,z} \right\rangle = \left\langle {x,y,\frac{{15}}{4} - \frac{7}{4}x - \frac{3}{4}y} \right\rangle \]

Esda tutingki, parametrik tenglamalarni olish uchun biz faqat $\left\langle {x,y,z} \right\rangle $ vektorining $z$ komponentiga $z$ tenglamasini kiritishimiz kerak.

2-qadam

Endi, yuqoridagi parametrik tenglamalar to'plami to'liq tekislik uchundir va bu muammoda biz xohlagan narsa emas. Bu masalada biz faqat samolyotning 1 dagi qismini xohlaymiz^st oktant.

Shunday qilib, biz $x$ va $y$ ni cheklashimiz kerak, shunda 1-bosqichdagi parametrik tenglama tekislikning faqat 1-da joylashgan qismini beradi.^st oktant.

Agar siz $D$ mintaqasini uch karrali integral uchun qanday olishni eslasangiz, buni qanday qilishni bilasiz, chunki u asosan bir xil fikrdir. Bunday holda bizga $D$ mintaqasi $xy$-tekisligida kerak bo'lib, u 1-dagi tekislikni beradi.^st oktant.

Mana bu hududning eskizi.

$A sketch of the region $D$ in the xy-plane. It is the triangle bounded by the x-axis, the y-axis and the line $7x + 3y = 15$, which is where the plane crosses the xy-plane. The inside is shaded green and the triangle runs from the origin out to $\left( {\frac{{15}}{7},0} \right)$ on the x-axis, which is marked, and up to $\left( {0,5} \right)$ on the y-axis.$

Gipotenuza bu tekislikning $xy$ tekisligi bilan kesishgan joyidir va shuning uchun tekislik tenglamasida $z = 0$ ni o'rnatish orqali chiziq tenglamasini tezda topishimiz mumkin.

$x$ va $y$ diapazonlarini olish uchun biz buni $x$ yoki $y$ uchun hal qilishimiz mumkin. Bu erda qaysi birini hal qilishimiz muhim emas, shuning uchun keling, ushbu uchburchakni tasvirlash uchun $x$ va $y$ uchun quyidagi diapazonlarni olish uchun $y$ ni hal qilaylik.

\[\begin{array}{c} \displaystyle 0 \le x \le \frac{{15}}{7}\\ \displaystyle 0 \le y \le - \frac{7}{3}x + 5\end{array}\]

Bularning barchasini jamlab, biz 1 da joylashgan tekislik uchun quyidagi parametrik tenglamalarni olamiz^st oktant.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\vec r\left( {x,y} \right) = \left\langle {x,y,\frac{{15}}{4} - \frac{7}{4}x - \frac{3}{4}y} \right\rangle \,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le x \le \frac{{15}}{7}\,\,\,,\,\,0 \le y \le - \frac{7}{3}x + 5}}\]